докажите тождество - страница 14
Докажите тождество
1) (х-5) (х+8)-(х+4) (х-1)=-36
2) х-(х-7) (х+7)=49
Решение: X^2 - "икс в квадрате"
(x-5)(x+8)-(x+4)(x-1)=-36
x^2+8x-5х-40-х^2+х-4х+4=-36
-40=-36-4
-40=-40 (верно)
Скорее всего, во втором примере не хватает степени, поэтому:
x^2-(х-7)(х+7)=49
x^2-(x^2-49)=49
x^2-x^2=0
x^2=x^2 (верно)
Если же пример записан правильно - тождество неверное:
х-(х-7)(х+7)=49
х-(x^2-49)=49
х-x^2=0
х=x^2 (не верно)
докажите тождество: 1)3kt+ 3k(в квадрате)+ 2t +2k=(t+k )(3k+ 2) 2)4mn-m+n-4n(в квадрате)=(m-n)(4n-1)
Решение: 1) Просто раскрыть скобки и всё очевидно:3kt + 3k^{2}+2t+2k=3tk+3k^{2}+2t+2k
0=0
2) Тоже всё очевидно:
4mn+n-m-4n^{2}=4mn-4n^{2}+n-m
0=0
1) 3kt+3k^{2}+2t+2k=(t+k )(3k+2)
раскрываем скобки
$$ 3kt+3k^{2}+2t+2k=3kt+2t+3k^{2}+2k $$
левая и правая часть одинаковы, соответственно выражения тождественно равны
=====
2) $$ 4mn-m+n-4n^{2}=(m-n)(4n-1) $$
раскрываем скобки
$$ 4mn-m+n-4n^{2}=4mn-m-4n^{2}+n $$
левая и правая часть одинаковы, соответственно выражения тождественно равны
тождества доказаны
Докажите тождество квадратный корень x2=/x/
Решение: Решение:
Рассмотрим два случая:
$$ x \geq 0 \\ x < 0 $$
Когда x>=0, то по определению арифметического квадратного корня, x и должен быть больше или равно 0, т. е. неотрицательным числом, поэтому, √(x^2)=x, x>=0.
Если x<0, то x^2=(-x)^2, а значит, √(-x)^2=-x. Таким образом, при всех х, значение выражение √(x^2) совпадает со значением |x|, ч. т. д.
Докажите тождество: 1) tg(pi/4+t)=(1+tg t)/(1-tg t)
Решение: 1) раскладываем tg(pi/4+t) по формуле : tg(a+b)= (tga+tgb)/(1-tga*tgb). учитывая, что tg(pi/4)=1, имеем: tg(pi/4+t)=(tg(pi/4)+tgt)/(1-tg(pi/4)*tgt)=(1+tgt)/(1-tgt) ч. т. дДокажите тождество: 29+t(во 2 степени)/(6-t)(во 2 степени) - 2(5t-1)/(t-6)(во 2 степени) + 5-2t/(6-t)(во 2 степени)=1
/ это дробь
Решение: 29+t^2/(6-t)^2 - 2(5t-1)/(t-6)^2 + 5-2t/(6-t)^2=1 ^ - степень
раскрываем вторую скобку
29+t^2/(6-t)^2 - 10t-2/(t-6)^2 + 5-2t/(6-t)^2=
упрощаем
29+t^2/(6-t)^2 + 5-2t/(6-t)^2 - общий знаменатель, получаем (29+t^2+5-2t)/(36-12t+t^2 )=(34+t^2-2t)/ (36-12t+t^2 )
(6-t)^2 по формуле (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
(29+t^2+5-2t)/(36-12t +t^2 ) - 10t-2/(t-6)^2=
(t-6)^2 =t^2-12t+36
приводим к общему знаменателю, раскрыв скобки у двух выражений по предыдущей формуле
(34+t^2-2t-10t+2)/(36-12t +t^2 )=(36-12t+t^2)/(36-12t+t^2 )=1 что и требовалось док
докажите тождество (m-n)(2m+3n)(m-7)+7(2m²+2mn-3n²)=m(2m²+mn-3n²+7n)
Решение: (m-n)(2m+3n)(m-7)+7(2m²+2mn-3n²)=(2m²+3mn-2mn-3n²)(m-7)+14m²+14mn-21n²=
(2m²+mn-3n²)(m-7)+14m²+14mn-21n²=
2m³-14m²+m²n-7mn-3mn²+21n²+14m²+14mn-21n²=
2m³+m²n-3mn²+7mn=
m(2m²+mn-3n²+7n),
что равняется правой стороне тождества.
(m-n)(2m+3n)(m-7)+7(2m²+2mn-3n²)=
(2m²+3mn-2mn-3n²)(m-7)+14m²+14mn-21n²=
(2m²+(3mn-2mn)-3n²)(m-7)+14m²+14mn-21n²=
(2m²+mn-3n²)(m-7)+14m²+14mn-21n²=
2m³-14m²+m²n-7mn-3mn²+21n²+14m²+14mn-21n²=
2m³+(-14m²+14m²)+m²n-3mn²+(21n²-21n²)+(-7mn+14mn)=
2m³+m²n-3mn²+7mn=
m(2m²+mn-3n²+7n)
что равняется правой стороне тождества (чтд)
Докажите тождество \( \frac{ctg t}{tgt+ctgt}=cos^t \)
Упростите выражение: \( ctgt*sin(-t)+cos(2\pi-t) \)
5. Вычислить: \(2sin870 + \sqrt{12}\cdot cos570 - tg^2 60\)
Решение: $$ \frac{ctg t}{tgt+ctgt}=\\=\frac{\frac{cost}{sint}}{\frac{sint}{cost}+\frac{cost}{sint}}=\frac{\frac{cost}{sint}}{\frac{sin^2t+cos^2t}{cost*sint}}=\frac{\frac{cost}{sint}}{\frac{1}{cost*sint}}=\frac{cost}{sint}*\frac{cost*sint}{1}=cos^2t \\ 3) ctgt*sin(-t)+cos(2\pi-t)=-ctgt*sint+cost=\\ =-\frac{cost}{sint}*sint+cost=-cost+cost=0 \\ 5)\\2sin870 + \sqrt{12}\cdot cos570 - tg^2 60=\\=2sin(2*360+150)+\sqrt{12}cos(360+210)+(\sqrt3)^2=\\ =2sin150+\sqrt{12}cos210+3=\\ =2sin(90+60)+\sqrt{12}cos(180+30)+3=\\ =2cos60-\sqrt{12}cos30+3=2*\frac12-\sqrt{12}*\frac{\sqrt3}{2}+3=\\ =1-2\sqrt3*\frac{\sqrt3}{2}+3=1-3+3=1\\ \\ $$
докажите тождество a во 2 степени +7a+10=(a+2)(a+5)
Решение: A²+7a+10=(a+2)(a+5)
a²+(2a+5a)+10=(a+2)(a+5)
a²+2a + 5a+10=(a+2)(a+5)
a(a+2) + 5(a+2)=(a+2)(a+5)
(a+2) (a+5) = (a+2)(a+5)
ДОКАЗАНО
можно тупо перемножить ПРАВУЮ часть, получится ЛЕВАЯ частьТо, что в левой части приравниваем к 0, т. к. это квадратное уравнение.
Решаем его. А потом по формуле
а(х-х1)(х-х2), где а-это первые коэф. уравнения(стоит перед х в квадрате)
х1 и х2 - корни уравнения
Получаем (а+5)(а+2)
И это равно (а+2)(а+5)
Докажите тождество: \( \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{14}}}}}}=\\=\sqrt[64]{6+\sqrt{35}}+\sqrt[64]{6-\sqrt{35}} \)
Решение: $$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{14}}}}}}=\sqrt[64]{6+\sqrt{35}}+\sqrt[64]{6-\sqrt{35}} $$Возведем в квадрат обе части уравнения
$$ 2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{14}}}}}=\sqrt[32]{6+\sqrt{35}} \ +2\sqrt[64]{6-\sqrt{35}}\sqrt[64]{6+\sqrt{35}}+\sqrt[32]{6-\sqrt{35}} \\ 2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{14}}}}}= \ \sqrt[32]{6+\sqrt{35}}+2\sqrt[64]{(6-\sqrt{35})(6+\sqrt{35})}+\sqrt[32]{6-\sqrt{35}} \\ 2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{14}}}}} \ =\sqrt[32]{6+\sqrt{35}}+2\sqrt[64]{36-35}+\sqrt[32]{6-\sqrt{35}} \\ 2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{14}}}}}= \ \sqrt[32]{6+\sqrt{35}}+2+\sqrt[32]{6-\sqrt{35}} \\ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{14}}}}}= \ \sqrt[32]{6+\sqrt{35}}+\sqrt[32]{6-\sqrt{35}} $$
Возведем в квадрат обе части уравнения
$$ 2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{14}}}}= \ \sqrt[16]{6+\sqrt{35}}+2\sqrt[32]{6+\sqrt{35}}\sqrt[32]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[16]{6-\sqrt{35}} \\ 2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{14}}}}= \ \sqrt[16]{6+\sqrt{35}}+2+\sqrt[16]{6-\sqrt{35}} \\ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{14}}}}=\sqrt[16]{6+\sqrt{35}}+\sqrt[16]{6-\sqrt{35}} $$
Возведем в квадрат обе части уравнения
$$ 2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{14}}}= \ \sqrt[8]{6+\sqrt{35}}+2\sqrt[16]{6+\sqrt{35}}\sqrt[16]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[8]{6-\sqrt{35}} \\ 2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{14}}}= \ \sqrt[8]{6+\sqrt{35}}+2+\sqrt[8]{6-\sqrt{35}} \\ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{14}}}= \ \sqrt[8]{6+\sqrt{35}}+\sqrt[8]{6-\sqrt{35}} $$
Возведем в квадрат обе части уравнения
$$ 2+\sqrt{2+\sqrt{14}}= \ \sqrt[4]{6+\sqrt{35}}+2\sqrt[8]{6+\sqrt{35}}\sqrt[8]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[4]{6-\sqrt{35}} \\ \sqrt{2+\sqrt{14}}= \ \sqrt[4]{6+\sqrt{35}}+\sqrt[4]{6-\sqrt{35}} $$
Возведем в квадрат обе части уравнения
$$ 2+\sqrt{14}= \ \sqrt[2]{6+\sqrt{35}}+2\sqrt[4]{6+\sqrt{35}}\sqrt[4]{6-\sqrt{35}}+\sqrt[2]{6-\sqrt{35}} \\ \sqrt{14}= \ \sqrt[2]{6+\sqrt{35}}+\sqrt[2]{6-\sqrt{35}} $$
Возведем в квадрат обе части уравнения
$$ 14= \sqrt[2]{6+\sqrt{35}}+2\sqrt[2]{6+\sqrt{35}}\sqrt[2]{6-\sqrt{35}}+{6-\sqrt{35}} \\ 14= 6+\sqrt{35}+2+6-\sqrt{35} \\ 14=14 $$ => тождество верно
Докажите тождество:
8 - 0,5y^4 0,5y^2-y+2 1
________ × __________ × ___ =1
4+0,5y^3 0,5y^2+2 2-y
Решение: Перепишем в виде (см ниже) и упростим(4-y^2)(y^2+4)/ ((y+2) (y^2-2y+4)) (y^2-2y+2) /(y^2+4) 1/(2-y)=
(2-y)(2+y)(y^2+4)/ ((y+2) (y^2-2y+4)) (y^2-2y+2) /(y^2+4) 1/(2-y)=
1
