докажите тождество - страница 14
Докажите тождество ((1+tan(2a))*(cos(pi/4)+2a))/(1-tan(2a))=cos((pi/4)-2a)
Решение: Проведем тождественное преобразование:
$$ \dfrac{1+tg2a}{1-tg2a}=\dfrac{cos( \frac{ \pi }{4}-2a) }{cos( \frac{ \pi }{4}+2a)} $$
Доказав, что данное тождество верно, таким образом, докажем, что и исходное тождество также верно.
$$ \dfrac{1+\frac{sin2a}{cos2a}}{1-\frac{sin2a}{cos2a}}=\dfrac{cos\frac{ \pi }{4}cos2a+sin \frac{ \pi }{4}sin2a }{cos\frac{ \pi }{4}cos2a-sin \frac{ \pi }{4}sin2a} \\ \dfrac{cos2a+sin2a}{cos2a-sin2a}=\dfrac{\frac{ \sqrt{2}}{2}cos2a+\frac{ \sqrt{2}}{2} sin2a }{\frac{ \sqrt{2}}{2}cos2a-\frac{ \sqrt{2}}{2}sin2a} \\ \dfrac{cos2a+sin2a}{cos2a-sin2a}=\dfrac{\frac{ \sqrt{2}}{2}(cos2a+sin2a) }{\frac{ \sqrt{2}}{2}(cos2a-sin2a)} \\ \dfrac{cos2a+sin2a}{cos2a-sin2a}=\dfrac{cos2a+sin2a}{cos2a-sin2a} $$
Левая и правая части равны - тождество доказано.
Следовательно, доказано и исходное тождество.Докажите тождество:
\( \frac{1-cos2t+sin2t}{1+cos2t+sin2t}\cdot tg(\frac{\pi}{2}-t)=1 \)
Решение: Вместо t в решении написано x:
Докажите тождество
cosx=1-tg^2*x/2 дробь 1+tg^2*x/2
Решение: $$ cos(x)=\frac{1-tg^2(\frac{x}{2})}{1+tg^2(\frac{x}{2})} \\ cos(x)(1+tg^2(\frac{x}{2}))=1-tg^2(\frac{x}{2}) \\ cos(x)(1+(\frac{sin(\frac{x}{2})}{cos(\frac{x}{2})})^2)=1-(\frac{sin(\frac{x}{2})}{cos(\frac{x}{2})})^2 \\ cos(x)(1+\frac{sin^2(\frac{x}{2})}{cos^2(\frac{x}{2})})=1-\frac{sin^2(\frac{x}{2})}{cos^2(\frac{x}{2})} \\ cos(x)\frac{cos^2(\frac{x}{2})+sin^2(\frac{x}{2})}{cos^2(\frac{x}{2})}=1-\frac{sin^2(\frac{x}{2})}{cos^2(\frac{x}{2})} \\ \frac{cos(x)(cos^2(\frac{x}{2})+sin^2(\frac{x}{2}))}{cos^2(\frac{x}{2})}=\frac{cos^2(\frac{x}{2})-sin^2(\frac{x}{2})}{cos^2(\frac{x}{2})} \\ cos(x)(cos^2(\frac{x}{2})+sin^2(\frac{x}{2}))=cos^2(\frac{x}{2})-sin^2(\frac{x}{2}) \\ cos(x)(\frac{1+cos(x)}{2}+\frac{1-cos(x)}{2})=cos^2(\frac{x}{2})-sin^2(\frac{x}{2}) \\ cos(x)(\frac{1}{2}+\frac{cos(x)}{2}+\frac{1}{2}-\frac{cos(x)}{2})=cos^2(\frac{x}{2})-sin^2(\frac{x}{2}) \\ cos(x)=cos^2(\frac{x}{2})-sin^2(\frac{x}{2}) \\ cos(x)=\frac{1}{2}+\frac{cos(x)}{2}+\frac{cos(x)}{2}-\frac{1}{2} \\ cos(x)=cos(x) $$
Cos20 градусов * cos40градусов * cos60градусов * cos80градусов = 1/16. Докажите тождество
Решение: умножим и разделим на sin20 градусовполучим:
(2*1/2*sin20*cos20*cos40*cos60*cos80)/sin20=1/16
(1/2*1/2*2*sin40*cos40*cos60*cos80)/sin20=1/16
(1/4sin80*cos60*cos80)/sin20=1/16
(1/8*sin160*cos60)/sin20=1/16
(1/8*sin20*1/2)/sin20=1/16
1/16=1/16
сos20°·cos40°·cos60°·cos80° = 1/16
сos20°·cos40°·cos60°·cos80° = 1/16
cos60° = 1/2
1/2 · (сos20°·cos40°·cos80°) = 1/16
1/2 · (сos20°·cos40°)·cos80° = 1/16
1/2 · 1/2 ·(сos60° + cos20°)·cos80° = 1/16
1/4 (сos60° + cos20°)·cos80° = 1/16
1/4 · (сos60°·cos80° + cos20°·cos80°) = 1/16
1/4 · (1/2 ·cos80° + 1/2 ·(cos60° + cos100°) = 1/16
1/8 · (cos80° + cos60° + cos100°) = 1/16
1/8 · (cos (90° - 10°) +1/2 + cos(90°+10°)) = 1/16
1/8 · (sin10° +1/2 - sin10°) = 1/16
1/8 · 1/2 = 1/16
1/16≡ 1/16
тождество доказано
(cosx+sinx)/cosx-sinx = tg2x+cos^-1(2x) докажите тождество
Решение: $$ \frac{cosx+sinx}{cosx-sinx}=tg2x+cos^{-1}2x $$Будем работать с правой часть уравнения
$$ tg2x+cos^{-1}2x=\frac{sin2x}{cos2x} + \frac{1}{cos2x}=\\=\frac{sin2x+1}{cos2x}=\frac{cos^2x+sin^2x+2sinxcosx}{cos^2-sin^2}=\\=\frac{(cosx+sinx)^{2}}{(cosx-sinx)(cosx+sinx)}=\frac{cosx+sinx}{cosx-sinx} $$
(cosx+sinx)/(cosx-sinx) = tg2x + 1/cos2x
(cosx+sinx)/(cosx-sinx) = sin2x/cos 2x + 1/cos2x
(cosx+sinx)/(cosx-sinx) = (sin2x + 1)/cos 2x
(cosx+sinx)/(cosx-sinx) = (sin2x + sin²x + cos²x)/cos 2x
(cosx+sinx)/(cosx-sinx) = (sinx + cosx)²/(cos²x - sin²x)
(cosx+sinx)/(cosx-sinx) = (sinx + cosx)·(sinx + cosx)/(cosx - sinx)(sinx + cosx)
(cosx+sinx)/(cosx-sinx) = (sinx + cosx)/(cosx - sinx)
(cosx+sinx)/(cosx-sinx) ≡ ( cosx + sinx)/(cosx - sinx)
