докажите тождество - страница 16
(1+tg a)^2+(1-tg a)^2 = 2/cos^2 a докажите тождество
Решение: 1+2tga+tg^2a+1-2tga+tg^2a=2/cos^2a2+2tg^2a=2/cos^2a
2(1+tg^2a)=2/cos^2a
2((cos^2a+sin^2a)/cos^2a=2/cos^2a
Докажите тождества:
1)2sin 2альфа sinальфа + cos3альфа = cosальфа;
2) sinальфа - 2sin(альфа/2 - 15градусов) * cos(альфа/2+15градусов) = 1/2;
3) sinальфа/2-2sin(альфа/4-30градусов) * cos(альфа/4+30градусов) = корень из трех/2.
Решение: 2sin2альфа * sinальфа + cos3альфа = cosальфа4sinальфа * cosальфа * sinальфа+cos(альфа+2альфа) = cosальфа
4sin^2альфа * cosальфа+cosальфа * cos2альфа-sinальфа * sin2альфа = cosальфа
4sin^2альфа * cosальфа+cos (1-sin^2альфа)-2sin^2альфа * cosальфа=cosальфа
4sin^2альфа * cosальфа+cosальфа-2sin^2альфа * cosальфа-2sin^2альфа * cosальфа = cosальфа
cosальфа=cosальфа
(1-tg^2t)cos^2t
Докажите тождества
1-sinα=2sin^2(45°-α/2)
sin^2(3π/4+2t)=1-sin4t/2
p.s / знак дроби
Решение: (1-tg²t)·cos²t=cos²t-sin²tcos²t/cos²t=cos²t-sin²t=cos2t;
1-sinα=2sin²(45⁰-α/2);
2sin²(45-α/2)=2(sin45⁰·cosα/2-cos45⁰·sinα/2)²=
=2·(√2/2·cosα/2-√2/2·sinα/2)²=2·2/4(cosα/2-sinα/2)²=
=(cosα/2-sinα/2)²=cos²α/2-2cosα/2·sinα/2+sin²α/2=1-sinα;
sin²(3π/4+2t)=1-sin4t/2;
sin²(3π/4+2t)=(sin(3π/4)·cos2t+cos(3π/4)·sin2t)²=
=(sin(π-π/4)·cos2t+cos(π-π/4)·sin2t)²=
=(sinπ/4·cos2t+(-cosπ/4)·sin2t)²=
=(√2/2cos2t-√2/2sin2t)²=2/4(cos²2t-2sin2t·cos2t+sin²2t)=
=1/2(1-sin4t);
Докажите тождества
а) \( \frac{cos2a}{1+sin2a} = \frac{1-tga}{1+ tga} \)
б)\( 2cos(45 ^{\circ} +a)*cos(45 ^{\circ} - a) = cos 2a \)
Решение: $$ a)\ \frac{\cos2 \alpha }{1+\sin2 \alpha }=\frac{\cos^2 \alpha -\sin^2 \alpha }{\sin^2 \alpha +\cos^2 \alpha +2\sin \alpha \cos \alpha }=\frac{(\cos \alpha -\sin \alpha )(\cos \alpha +\sin \alpha )}{(\cos \alpha +\sin \alpha )^2}=\\\\=\frac{\cos \alpha -\sin \alpha }{\cos \alpha +\sin \alpha }=\frac{\cos \alpha (1-\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha })}{\cos \alpha (1+\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha })}=\frac{1-tg \alpha }{1+tg \alpha }; \\ b)\ 2\cos(45^\circ+ \alpha )\bullet\cos(45^\circ- \alpha )=\\\\2\bullet\frac{1}{2}(\cos((45^\circ+ \alpha) -(45^\circ- \alpha ))+\cos(45^\circ+ \alpha +45^\circ- \alpha ))=\\\\\cos2 \alpha +\cos90^\circ=\cos2 \alpha +0=\cos2 \alpha. $$
Докажите тождества:
а) sin^4 + sin^2cos^2=1-cos^2
б)(tg - sin)*(cos^2 ДРОБЬ sin + ctg)=sin^2
Решение: sin^4 + sin^2cos^2=вынося общий множитель=sin^2*(sin^2+cos^2)=используя основное тригонометрическое тождество=sin^2*1=sin^2
=используя основное тригонометрическое тождество=1-cos^2
доказано
(tg - sin)*(cos^2 ДРОБЬ sin + ctg)=используя tg x=sin x/cos x, ctg x=cos x/sin x, вынося общий множитель и основное тригонометрическое тождество и формулу разности квадратов
(sin x/cos x-sin x)*(cos^2 x/sin x +cos x/sin x))=
=sin x*(1-cos x)/cos x *cos x*(cos x+1)/sin x=1-cos^2 x=sin^2 x
