докажите тождество - страница 18
Докажите тождество:
3x(1-2x)(2x+1)=3x-12x^3
Решение: Для начала умножим 3x на первую скобку
(3x - 6x^2)(2x+1)= 3x - 12x^3
Теперь перемножаем скобки
6x^2 + 3x - 12x^3 - 6x^2 = 3x - 12x^3
6x^2 и -6x^2 сокращаются и получается, что
3x - 12x^3 = 3x -12x^3
Тождество доказано
(Первые две скобки содержат в себе формулу разности квадрата) 3x(1-4x^2)=3x-12x^3 3x-12x^3=3x-12x^3 Тождество доказано
Докажите тождество:
x^4-27x=(x^2-3x)(x^2+3x+9)
Решение: x^4-27x=(x^2-3x)(x^2+3x+9)
Доказательство:
перемножим скобку на скобку, получим
(x^2-3x)(x^2+3x+9) =
х^4 + 3х^3 +9х^2 -3х^3-9х^2 -27х =
отсюда сокращаются: 3х^3 минус 3х^3 и 9х^2 минус 9х^2;
остаётся х^4 - 27х.
тождество доказано.
ответ: x^4-27x=(x^2-3x)(x^2+3x+9)x^4-27x=(x^2-3x)(x^2+3x+9)
(x^2-3x)(x^2+3x+9) перемножаем все
х^4+3х^3+9х^2-3х^3-9^2-27х=х^4-27х
Докажите тождество:
1logak+1loga2k++1loga3k+1loga4k+1loga5k=15logka
Решение: 1logak+1loga2k+1loga3k+1loga4k+1loga5k=15logka
Преобразовываем левую часть к правой:
1logak+1loga2k+1loga3k+1loga4k+1loga5k= =1logak+112logak+113logak+114logak+115logak= =1logak+2logak+3logak+4logak+5logak= =15logak=151logka=15logka
Докажите тождество:
logbkak=logba+logbk1+logbk
Решение: logbkak=logba+logbk1+logbk
Преобразуем правую часть к левой. Представим единицу в виде логарифма:
logba+logbk1+logbk=logba+logbklogbb+logbk
Запишем сумму логарифмов в виде логарифма произведения:
logba+logbklogbb+logbk=logbaklogbbk
По формуле перехода к новому основанию получим:
logbaklogbbk=logbkak
Докажите тождество:(х-y²)+(х+y)²=2(х²+y²)
Решение: Найдем ответ графически.
1) ху>=2. ху=2 или y=2/x это парабола, ветви которой проходят через (-2;-1), (-1;-2); (1;2); (2;1) в I и III четвертях. Рассмотрим неравенство хy≥2. При x>0 y≥2/x. Точки, удовлетворяющие этому условию, составляют часть плоскости I четверти над ветвю вместе с точками гиперболы. При x<0 y≤2/x. Точки, удовлетворяющие этому условию, составляют часть плоскости III четверти под ветвю вместе с точками гиперболы.
2) (х-2)^2+(y+2)^2≥8. (х-2)^2+(y+2)^2=8 - это окружность с центром (2; -2), R=√8=2√2≈2,8.
Эта окружность проходит через (0;0), пересекает оси в (4;1) и (0; -4), но не пересекает ветви гиперболы. Точки, удовлетворяющие неравенству (х-2)^2+(y+2)^2≥8, составляют часть плоскости вне построенной окружности вместе с точками окружности.
Видим, что любая точка, принадлежащая первой области (множеству точек) принадлежит и второй области. Следовательно, все пары, удовлетворяющие неравенству хy≥2, удовлетворяют неравенству (х-2)^2+(y+2)^2≥8.X^2+y^2-2xy+x^2+y^2+2xy=2x^2+2y^2
Удвоенные произведения взаимно сокращаются и остается:
X^2+y^2+x^2+y^2=2x^2+2y^2
2X^2+2y^2=2x^2+2y^2
ИЛи выносим 2 за скобку, получаем:
2(x^2+y^2)=2(x^2+y^2)
Докажите тождество
1) (a+2)3(степень) -25(а+2) = (а+2)(а+7)(а-3)
2) a2 + 2 ab + b2 - c2 + 2cd -d2 = (a+b+c-d)(a+b-c+d)
Решение: Решение
1) (a+2)3(степень) -25(а+2) = (а+2)(а+7)(а-3)
Упростим левую часть тождества:
(a + 2)³ - 25*(a + 2) = (a + 2)*(a² + 4a + 4 - 25) =
= (a + 2)*(a² + 4a - 21)
a² + 4a - 21 = 0
a₁ = - 7
a₂ = 3
a² + 4a - 21 = (a + 7)*(a - 7)
(a + 2)*(a² + 4a - 21) = (a + 2)*(a + 7)*( a - 3)
(a + 2)*(a + 7)*( a - 3) = (a + 2)*(a + 7)*( a - 3)
доказано
2) a²+ 2 ab + b² - c² + 2cd -d² = (a+b+c-d)(a+b-c+d)
Упростим левую часть тождества:
a² + 2 ab + b² - c² + 2cd -d² = (a² + 2 ab + b²) -(c² - 2cd + d²) =
= (a + b)² - (c - d)² = (a+b+c-d)(a+b-c+d)
(a + b + c - d)*(a + b - c + d) = (a + b + c - d)*(a + b - c + d)
доказаноДокажите тождество х(х+4)+3=(х+1)(х+3)
Решение: x(x+4)+3=(x+1)(x+3)
x²+4x+3=x²+3x+x+3 ⇒
x²+4x+3=x²+4x+3
Что и требовалось доказать
Доказать тождество значит, что для любого допустимого значения х, левая часть выражения будет равна правой:
х(х+4)+3 = (х+1)(х+3)
х²+4х+3=х²+3х+х+3
х²+4х+3 = х²+4х+3
Тождество доказано.Докажите тождество:
1) (y-3) (y+7)-13=(y+8)(y-4)-2
2) (z-11) (z+10)+10-=(z-5)(z+5)-80
3) a² + b ² = (a+b) ²-2ab
4) (a+b)²-2b(a+b)=a²-b²
Решение: 1) (y-3) (y+7)-13=(y+8)(y-4)-2(y-3) (y+7)-13=y²+7y-3y-21-13=y²+4y-34
(y+8)(y-4)-2=y²-4y+8y-32-2=y²+4y-34
так как после преобразования получились равные выражение, то тождество верное.
2) (z-11) (z+10)+10-=(z-5)(z+5)-80
(z-11) (z+10)+10=z²+10z-11z-110+10=z²-z-100
(z-5)(z+5)-80=z²-25-80=z²-105
так как после преобразования получились не равные выражение, то тождество неверное.
3) a² + b ² = (a+b) ²-2ab
преобразуем правую часть тождества a²+2ab+b²-2ab=a²+b² так как после преобразования получилось выражение такое же как в левой части тождества, то тождество верное.
4) (a+b)²-2b(a+b)=a²-b²
преобразуем левую часть тождества (a+b)²-2b(a+b)=a²+2ab+b²-2ab-2b²=a²-b² так как после преобразования получилось выражение такое же как в правой части тождества, то тождество верное.
1) y2+4y−21−13=y2+4y−32−2y2+4y−34−y2−4y+34=00=0
2) Тождество неверно
3) a2+b2=(a+b)2−2aba2+b2=a2+2ab+b2−2aba2+b2=a2+b2
4) (a+b)2−2b(a+b)=a2−b2a2+2ab+b2−2ab−2b2=a2−b2a2−b2=a2−b2
Докажите тождество:
1) x² - 9x+20=(x-4)(x-5)
2) (c-4) (c+7)=c²+3c-28
Решение: 1) x² - 9x+20=(x-4)(x-5)преобразуем правую часть тождества (х-4)(х-5)=х²-5х-4х+20=х²-9х+20 так как после преобразования получилось выражение такое же как в левой части тождества, то тождество верное.
2) (c-4) (c+7)=c²+3c-28преобразуем левую часть тождества (с-4)(с+7)=с²+7с-4с-28=с²+3с-28 так как после преобразования получилось выражение такое же как в правой части тождества, то тождество верное.
Докажите тождество sin(5π6+α)=cos(5π3−α)
Решение: sin(5π6+α)=cos(5π3−α)sin(π−π6+α)=cos(2π−π3−α)sin(π6+α)=cos(π3−α)sinπ6cosα+cosπ6sinα=cosπ3cosα+sinπ3sinα12cosα+√32sinα=12cosα+√32sinα
Ч. Т. Д