тождество »

докажите тождество - страница 18

  • Докажите тождество:
    3x(1-2x)(2x+1)=3x-12x^3


    Решение: Для начала умножим 3x на первую скобку
    (3x - 6x^2)(2x+1)= 3x - 12x^3
    Теперь перемножаем скобки
    6x^2 + 3x - 12x^3 - 6x^2 = 3x - 12x^3
    6x^2 и -6x^2 сокращаются и получается, что
    3x - 12x^3 = 3x -12x^3
    Тождество доказано

    (Первые две скобки содержат в себе формулу разности квадрата) 3x(1-4x^2)=3x-12x^3 3x-12x^3=3x-12x^3 Тождество доказано

  • Докажите тождество:

    x^4-27x=(x^2-3x)(x^2+3x+9)


    Решение: x^4-27x=(x^2-3x)(x^2+3x+9)
    Доказательство:
    перемножим скобку на скобку, получим
    (x^2-3x)(x^2+3x+9) =
    х^4 + 3х^3 +9х^2 -3х^3-9х^2 -27х =
    отсюда сокращаются: 3х^3 минус 3х^3 и 9х^2 минус 9х^2;
    остаётся  х^4 - 27х.
    тождество доказано.
    ответ: x^4-27x=(x^2-3x)(x^2+3x+9)

    x^4-27x=(x^2-3x)(x^2+3x+9)

    (x^2-3x)(x^2+3x+9) перемножаем все

    х^4+3х^3+9х^2-3х^3-9^2-27х=х^4-27х

  • Докажите тождество:
    \( \frac{1}{\log_{a}k} + \frac{1}{\log_{a^2}k} +\\+ \frac{1}{\log_{a^3}k} + \frac{1}{\log_{a^4}k}+ \frac{1}{\log_{a^5}k} =15\log_{k}{a} \)


    Решение: $$ \dfrac{1}{\log_{a}k} + \dfrac{1}{\log_{a^2}k} + \dfrac{1}{\log_{a^3}k} + \dfrac{1}{\log_{a^4}k}+ \dfrac{1}{\log_{a^5}k} =15\log_{k}{a} $$
    Преобразовываем левую часть к правой:
    $$ \dfrac{1}{\log_{a}k} + \dfrac{1}{\log_{a^2}k} + \dfrac{1}{\log_{a^3}k} + \dfrac{1}{\log_{a^4}k}+ \dfrac{1}{\log_{a^5}k} = \\\ = \dfrac{1}{\log_{a}k} + \dfrac{1}{ \frac{1}{2} \log_{a}k} + \dfrac{1}{ \frac{1}{3}\log_{a}k} + \dfrac{1}{ \frac{1}{4}\log_{a}k}+ \dfrac{1}{ \frac{1}{5}\log_{a}k} = \\\ = \dfrac{1}{\log_{a}k} + \dfrac{2}{ \log_{a}k} + \dfrac{3}{ \log_{a}k} + \dfrac{4}{ \log_{a}k}+ \dfrac{5}{ \log_{a}k} = \\\ = \dfrac{15}{ \log_{a}k}= \dfrac{15}{ \frac{1}{\log_{k}a} }=15\log_{k}a $$

  • Докажите тождество:
    \( log_{bk}{ak}= \frac{log_{b}{a}+log_{b}{k}}{1+log_{b}{k}} \)


    Решение: $$ \log_{bk}ak= \dfrac{\log_ba+\log_bk}{1+\log_bk} $$
    Преобразуем правую часть к левой. Представим единицу в виде логарифма:
    $$ \dfrac{\log_ba+\log_bk}{1+\log_bk} =\dfrac{\log_ba+\log_bk}{\log_bb+\log_bk} $$
    Запишем сумму логарифмов в виде логарифма произведения:
    $$ \dfrac{\log_ba+\log_bk}{\log_bb+\log_bk} =\dfrac{\log_bak}{\log_bbk} $$
    По формуле перехода к новому основанию получим:
    $$ \dfrac{\log_bak}{\log_bbk} =\log_{bk}ak $$

  • Докажите тождество:(х-y²)+(х+y)²=2(х²+y²)


    Решение: Найдем ответ графически. 
    1) ху>=2. ху=2 или y=2/x это парабола, ветви которой проходят через (-2;-1), (-1;-2); (1;2); (2;1) в I и III четвертях. Рассмотрим неравенство хy≥2. При x>0 y≥2/x. Точки, удовлетворяющие этому условию, составляют часть плоскости I четверти над ветвю вместе с точками гиперболы. При x<0 y≤2/x. Точки, удовлетворяющие этому условию, составляют часть плоскости III четверти под ветвю вместе с точками гиперболы.
    2) (х-2)^2+(y+2)^2≥8. (х-2)^2+(y+2)^2=8 - это окружность с центром (2; -2), R=√8=2√2≈2,8.
    Эта окружность проходит через (0;0), пересекает оси в (4;1) и (0; -4), но не пересекает ветви гиперболы. Точки, удовлетворяющие неравенству (х-2)^2+(y+2)^2≥8, составляют часть плоскости вне построенной окружности вместе с точками окружности.
    Видим, что любая точка, принадлежащая первой области (множеству точек) принадлежит и второй области. Следовательно, все пары, удовлетворяющие неравенству хy≥2, удовлетворяют неравенству (х-2)^2+(y+2)^2≥8.

    X^2+y^2-2xy+x^2+y^2+2xy=2x^2+2y^2

    Удвоенные произведения взаимно сокращаются и остается:

    X^2+y^2+x^2+y^2=2x^2+2y^2

    2X^2+2y^2=2x^2+2y^2

    ИЛи выносим 2 за скобку, получаем:

    2(x^2+y^2)=2(x^2+y^2)

  • Докажите тождество
    1) (a+2)3(степень) -25(а+2) = (а+2)(а+7)(а-3)
    2) a2 + 2 ab + b2 - c2 + 2cd -d2 = (a+b+c-d)(a+b-c+d)


    Решение: Решение
    1) (a+2)3(степень) -25(а+2) = (а+2)(а+7)(а-3)
    Упростим левую часть тождества:
    (a + 2)³ - 25*(a + 2) = (a + 2)*(a² + 4a + 4 - 25) = 
    = (a + 2)*(a² + 4a - 21)
    a² + 4a - 21 = 0
    a₁ = - 7
    a₂ = 3
    a² + 4a - 21 = (a + 7)*(a - 7)
    (a + 2)*(a² + 4a - 21) = (a + 2)*(a + 7)*( a - 3)
     (a + 2)*(a + 7)*( a - 3) =  (a + 2)*(a + 7)*( a - 3)
    доказано
    2) a²+ 2 ab + b² - c² + 2cd -d² = (a+b+c-d)(a+b-c+d)
    Упростим левую часть тождества:
    a² + 2 ab + b² - c² + 2cd -d² = (a² + 2 ab + b²) -(c² - 2cd + d²) =
    = (a + b)² - (c - d)² = (a+b+c-d)(a+b-c+d)
    (a + b + c - d)*(a + b - c + d) = (a + b + c - d)*(a + b - c + d)
    доказано

  • Докажите тождество х(х+4)+3=(х+1)(х+3)


    Решение: x(x+4)+3=(x+1)(x+3)
    x²+4x+3=x²+3x+x+3 ⇒
    x²+4x+3=x²+4x+3
    Что и требовалось доказать

    Доказать тождество значит, что для любого допустимого значения х, левая часть выражения будет равна правой:
    х(х+4)+3 = (х+1)(х+3)
    х²+4х+3=х²+3х+х+3
    х²+4х+3 = х²+4х+3
    Тождество доказано.

  • Докажите тождество:

    1) (y-3) (y+7)-13=(y+8)(y-4)-2
    2) (z-11) (z+10)+10-=(z-5)(z+5)-80
    3) a² + b ² = (a+b) ²-2ab
    4) (a+b)²-2b(a+b)=a²-b²


    Решение: 1) (y-3) (y+7)-13=(y+8)(y-4)-2

    (y-3) (y+7)-13=y²+7y-3y-21-13=y²+4y-34

    (y+8)(y-4)-2=y²-4y+8y-32-2=y²+4y-34

    так как после преобразования получились равные выражение, то тождество верное.

    2) (z-11) (z+10)+10-=(z-5)(z+5)-80

    (z-11) (z+10)+10=z²+10z-11z-110+10=z²-z-100

    (z-5)(z+5)-80=z²-25-80=z²-105

    так как после преобразования получились не равные выражение, то тождество неверное.

    3) a² + b ² = (a+b) ²-2ab

    преобразуем правую часть тождества a²+2ab+b²-2ab=a²+b² так как после преобразования получилось выражение такое же как в левой части тождества, то тождество верное.

    4) (a+b)²-2b(a+b)=a²-b² 

    преобразуем левую часть тождества (a+b)²-2b(a+b)=a²+2ab+b²-2ab-2b²=a²-b² так как после преобразования получилось выражение такое же как в правой части тождества, то тождество верное.

    1) $$ y^2+4y-21-13=y^2+4y-32-2 \\ y^2+4y-34-y^2-4y+34=0 \\ 0=0 $$

    2) Тождество неверно

    3) $$ a^2+b^2=(a+b)^2-2ab \\ a^2+b^2=a^2+2ab+b^2-2ab \\ a^2+b^2=a^2+b^2 $$

    4) $$ (a+b)^2-2b(a+b)=a^2-b^2 \\ a^2+2ab+b^2-2ab-2b^2=a^2-b^2 \\ a^2-b^2=a^2-b^2 $$

  • Докажите тождество:
    1) x² - 9x+20=(x-4)(x-5)
    2) (c-4) (c+7)=c²+3c-28


    Решение: 1) x² - 9x+20=(x-4)(x-5)

    преобразуем правую часть тождества (х-4)(х-5)=х²-5х-4х+20=х²-9х+20 так как после преобразования получилось выражение такое же как в левой части тождества, то тождество верное.
    2) (c-4) (c+7)=c²+3c-28

    преобразуем левую часть тождества (с-4)(с+7)=с²+7с-4с-28=с²+3с-28 так как после преобразования получилось выражение такое же как в правой части тождества, то тождество верное.

  • Докажите тождество \( sin( \frac{5 \pi }{6} + \alpha )=cos( \frac{5 \pi }{3} - \alpha ) \)


    Решение: $$ sin( \frac{5 \pi }{6} + \alpha )=cos( \frac{5 \pi }{3} - \alpha ) \\ sin( \pi -\frac{ \pi }{6} + \alpha )=cos( 2\pi -\frac{ \pi }{3} - \alpha ) \\ sin( \frac{ \pi }{6} + \alpha )=cos( \frac{ \pi }{3} - \alpha ) \\ sin \frac{ \pi }{6} cos \alpha +cos \frac{ \pi }{6} sin \alpha =cos \frac{ \pi }{3}cos \alpha+sin \frac{ \pi }{3}sin\alpha \\ \frac{1}{2} cos \alpha + \frac{ \sqrt{3} }{2} sin \alpha =\frac{1}{2}cos \alpha+\frac{ \sqrt{3}}{2}sin\alpha $$
    Ч. Т. Д

<< < 161718 19 20 > >>