Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
тождество »

докажите тождество - страница 18

  • Докажите тождество:
    3x(1-2x)(2x+1)=3x-12x^3


    Решение: Для начала умножим 3x на первую скобку
    (3x - 6x^2)(2x+1)= 3x - 12x^3
    Теперь перемножаем скобки
    6x^2 + 3x - 12x^3 - 6x^2 = 3x - 12x^3
    6x^2 и -6x^2 сокращаются и получается, что
    3x - 12x^3 = 3x -12x^3
    Тождество доказано

    (Первые две скобки содержат в себе формулу разности квадрата) 3x(1-4x^2)=3x-12x^3 3x-12x^3=3x-12x^3 Тождество доказано

  • Докажите тождество:

    x^4-27x=(x^2-3x)(x^2+3x+9)


    Решение: x^4-27x=(x^2-3x)(x^2+3x+9)
    Доказательство:
    перемножим скобку на скобку, получим
    (x^2-3x)(x^2+3x+9) =
    х^4 + 3х^3 +9х^2 -3х^3-9х^2 -27х =
    отсюда сокращаются: 3х^3 минус 3х^3 и 9х^2 минус 9х^2;
    остаётся  х^4 - 27х.
    тождество доказано.
    ответ: x^4-27x=(x^2-3x)(x^2+3x+9)

    x^4-27x=(x^2-3x)(x^2+3x+9)

    (x^2-3x)(x^2+3x+9) перемножаем все

    х^4+3х^3+9х^2-3х^3-9^2-27х=х^4-27х

  • Докажите тождество:
    1logak+1loga2k++1loga3k+1loga4k+1loga5k=15logka


    Решение: 1logak+1loga2k+1loga3k+1loga4k+1loga5k=15logka
    Преобразовываем левую часть к правой:
    1logak+1loga2k+1loga3k+1loga4k+1loga5k= =1logak+112logak+113logak+114logak+115logak= =1logak+2logak+3logak+4logak+5logak= =15logak=151logka=15logka

  • Докажите тождество:
    logbkak=logba+logbk1+logbk


    Решение: logbkak=logba+logbk1+logbk
    Преобразуем правую часть к левой. Представим единицу в виде логарифма:
    logba+logbk1+logbk=logba+logbklogbb+logbk
    Запишем сумму логарифмов в виде логарифма произведения:
    logba+logbklogbb+logbk=logbaklogbbk
    По формуле перехода к новому основанию получим:
    logbaklogbbk=logbkak

  • Докажите тождество:(х-y²)+(х+y)²=2(х²+y²)


    Решение: Найдем ответ графически. 
    1) ху>=2. ху=2 или y=2/x это парабола, ветви которой проходят через (-2;-1), (-1;-2); (1;2); (2;1) в I и III четвертях. Рассмотрим неравенство хy≥2. При x>0 y≥2/x. Точки, удовлетворяющие этому условию, составляют часть плоскости I четверти над ветвю вместе с точками гиперболы. При x<0 y≤2/x. Точки, удовлетворяющие этому условию, составляют часть плоскости III четверти под ветвю вместе с точками гиперболы.
    2) (х-2)^2+(y+2)^2≥8. (х-2)^2+(y+2)^2=8 - это окружность с центром (2; -2), R=√8=2√2≈2,8.
    Эта окружность проходит через (0;0), пересекает оси в (4;1) и (0; -4), но не пересекает ветви гиперболы. Точки, удовлетворяющие неравенству (х-2)^2+(y+2)^2≥8, составляют часть плоскости вне построенной окружности вместе с точками окружности.
    Видим, что любая точка, принадлежащая первой области (множеству точек) принадлежит и второй области. Следовательно, все пары, удовлетворяющие неравенству хy≥2, удовлетворяют неравенству (х-2)^2+(y+2)^2≥8.

    X^2+y^2-2xy+x^2+y^2+2xy=2x^2+2y^2

    Удвоенные произведения взаимно сокращаются и остается:

    X^2+y^2+x^2+y^2=2x^2+2y^2

    2X^2+2y^2=2x^2+2y^2

    ИЛи выносим 2 за скобку, получаем:

    2(x^2+y^2)=2(x^2+y^2)

  • Докажите тождество
    1) (a+2)3(степень) -25(а+2) = (а+2)(а+7)(а-3)
    2) a2 + 2 ab + b2 - c2 + 2cd -d2 = (a+b+c-d)(a+b-c+d)


    Решение: Решение
    1) (a+2)3(степень) -25(а+2) = (а+2)(а+7)(а-3)
    Упростим левую часть тождества:
    (a + 2)³ - 25*(a + 2) = (a + 2)*(a² + 4a + 4 - 25) = 
    = (a + 2)*(a² + 4a - 21)
    a² + 4a - 21 = 0
    a₁ = - 7
    a₂ = 3
    a² + 4a - 21 = (a + 7)*(a - 7)
    (a + 2)*(a² + 4a - 21) = (a + 2)*(a + 7)*( a - 3)
     (a + 2)*(a + 7)*( a - 3) =  (a + 2)*(a + 7)*( a - 3)
    доказано
    2) a²+ 2 ab + b² - c² + 2cd -d² = (a+b+c-d)(a+b-c+d)
    Упростим левую часть тождества:
    a² + 2 ab + b² - c² + 2cd -d² = (a² + 2 ab + b²) -(c² - 2cd + d²) =
    = (a + b)² - (c - d)² = (a+b+c-d)(a+b-c+d)
    (a + b + c - d)*(a + b - c + d) = (a + b + c - d)*(a + b - c + d)
    доказано

  • Докажите тождество х(х+4)+3=(х+1)(х+3)


    Решение: x(x+4)+3=(x+1)(x+3)
    x²+4x+3=x²+3x+x+3 ⇒
    x²+4x+3=x²+4x+3
    Что и требовалось доказать

    Доказать тождество значит, что для любого допустимого значения х, левая часть выражения будет равна правой:
    х(х+4)+3 = (х+1)(х+3)
    х²+4х+3=х²+3х+х+3
    х²+4х+3 = х²+4х+3
    Тождество доказано.

  • Докажите тождество:

    1) (y-3) (y+7)-13=(y+8)(y-4)-2
    2) (z-11) (z+10)+10-=(z-5)(z+5)-80
    3) a² + b ² = (a+b) ²-2ab
    4) (a+b)²-2b(a+b)=a²-b²


    Решение: 1) (y-3) (y+7)-13=(y+8)(y-4)-2

    (y-3) (y+7)-13=y²+7y-3y-21-13=y²+4y-34

    (y+8)(y-4)-2=y²-4y+8y-32-2=y²+4y-34

    так как после преобразования получились равные выражение, то тождество верное.

    2) (z-11) (z+10)+10-=(z-5)(z+5)-80

    (z-11) (z+10)+10=z²+10z-11z-110+10=z²-z-100

    (z-5)(z+5)-80=z²-25-80=z²-105

    так как после преобразования получились не равные выражение, то тождество неверное.

    3) a² + b ² = (a+b) ²-2ab

    преобразуем правую часть тождества a²+2ab+b²-2ab=a²+b² так как после преобразования получилось выражение такое же как в левой части тождества, то тождество верное.

    4) (a+b)²-2b(a+b)=a²-b² 

    преобразуем левую часть тождества (a+b)²-2b(a+b)=a²+2ab+b²-2ab-2b²=a²-b² так как после преобразования получилось выражение такое же как в правой части тождества, то тождество верное.

    1) y2+4y2113=y2+4y322y2+4y34y24y+34=00=0

    2) Тождество неверно

    3) a2+b2=(a+b)22aba2+b2=a2+2ab+b22aba2+b2=a2+b2

    4) (a+b)22b(a+b)=a2b2a2+2ab+b22ab2b2=a2b2a2b2=a2b2

  • Докажите тождество:
    1) x² - 9x+20=(x-4)(x-5)
    2) (c-4) (c+7)=c²+3c-28


    Решение: 1) x² - 9x+20=(x-4)(x-5)

    преобразуем правую часть тождества (х-4)(х-5)=х²-5х-4х+20=х²-9х+20 так как после преобразования получилось выражение такое же как в левой части тождества, то тождество верное.
    2) (c-4) (c+7)=c²+3c-28

    преобразуем левую часть тождества (с-4)(с+7)=с²+7с-4с-28=с²+3с-28 так как после преобразования получилось выражение такое же как в правой части тождества, то тождество верное.

  • Докажите тождество sin(5π6+α)=cos(5π3α)


    Решение: sin(5π6+α)=cos(5π3α)sin(ππ6+α)=cos(2ππ3α)sin(π6+α)=cos(π3α)sinπ6cosα+cosπ6sinα=cosπ3cosα+sinπ3sinα12cosα+32sinα=12cosα+32sinα
    Ч. Т. Д