докажите тождество - страница 19

Докажите тождество: \(sin^2(\frac{15\pi}{8}-2\alpha) - cos^2(\frac{17\pi}{8}-2\alpha)= -\frac{cos4\alpha}{\sqrt2} \)

Докажите тождество:
sin15° + tg30° * cos15° = √6/3

Докажите тождество sinx+cosx tgx/cosx+sinx tgx=2tgx

$$ \frac{sinx+coxtgx}{cosx+sinxtgx} = \frac{sinx+cosx \frac{sinx}{cosx} }{cosx+sinx \frac{sinx}{cosx} } = \frac{sinx+sinx}{cosx+ \frac{sin ^{2}x }{cosx} } = \frac{2sinx}{ \frac{cos ^{2} x+sin ^{2} x}{cosx} } = \\ = \frac{2sinx}{ \frac{1}{cosx} } =2sinxcosx=sin2x $$

Докажите тождество: tg(в квадрате) a-sin(в квадрате) a= tg (в квадрате)a * sin (в квадрате) а

$$ {tg^{2}\alpha - sin^{2}\alpha} = \\ {sin^{2}\alpha \over cos^{2}\alpha} - sin^{2}\alpha = \\ {sin^{2}\alpha \over cos^{2}\alpha} - {sin^{2}\alpha \cdot cos^{2}\alpha\over cos^{2}\alpha} =\\ $$ 

$$ {sin^{2}\alpha - sin^{2}\alpha \cdot cos^{2}\alpha \over cos^{2}\alpha} = \\ {sin^{2}\alpha(1 - cos^{2}\alpha) \over cos^{2}\alpha}=\\ {sin^{2}\alpha \cdot sin^{2}\alpha \over cos^{2}\alpha} = \\ $$ 

$$ {({sin^{2}\alpha \over cos^{2}\alpha}) \cdot sin^{2}\alpha}=\\ {tg^{2}\alpha \cdot sin^{2}\alpha.} $$

Что и требовалось доказать. 

1) известно что:\( sin(\frac{\pi}{2} +\alpha)=-\frac{1}{2}; \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \) найти sin(30 + a)
2) упростите выражения \( a) 2cos^2\alpha-(tg\alpha cos\alpha)^2 - (ctg\alpha sin\alpha)^2;\\ b) \frac{sin\alpha + sin3\alpha}{cos\alpha + cos3\alpha}(1+cos4\alpha) \)
3) докажите тождество \( ctg2\alpha -\frac{2tg\alpha}{1+tg^2\alpha}=cos2\alpha \)

1)
$$ \sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=-\frac{1}{2}; \\ \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2};\ \alpha\in(\pi;\frac{2\pi}{3});\\ \sin(30^0+\alpha)-;\\ \frac{\pi}{2}+\alpha=(-1)^n\arcsin(-\frac{1}{2})+\pi n;\ n\in Z\\ \alpha=-(-1)^n\arcsin(\frac{1}{2})-\frac{\pi}{2}+\pi n;\\ \alpha=(-1)^{n+1}\cdot\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}+\pi n;\\ n=2: \ \alpha=-\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}+2\pi=\frac{-\pi-3\pi+12\pi}{6}=\frac{8\pi}{6}=\frac{4\pi}{3}\in(\pi;\frac{2\pi}{3});\\ \\ \sin(30^0+\alpha)=\sin(\frac{\pi}{6}+\frac{4\pi}{3})=\sin(\frac{\pi+8\pi}{6})=\\ =\sin\frac{9\pi}{6}=\sin{\frac{3\pi}{2}}-1;\\ or: \sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{4\pi}{3}+\sin{\frac{4\pi}{3}}\cos\frac{\pi}{6}=\\ =\frac{1}{2}\cdot(-\frac{1}{2})+(-\frac{\sqrt{3}}{2})\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{4}{4}=-1 \\ \sin(30^0+\alpha)=-1;\\ $$
2)
a)
$$ 2\cos^2\alpha-(tg\alpha\cdot\cos\alpha)^2-(ctg\alpha\cdot\sin\alpha)^2=\\ =2\cos^2\alpha-\left(\left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\cos\alpha\right)^2+\left(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\cdot sin\alpha\right)^2\right)=\\ =2\cos^2\alpha-\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)=2\cos^2\alpha-1=\cos2\alpha;\\ $$
б)
$$ \frac{\sin\alpha+\sin3\alpha}{\cos\alpha+\cos3\alpha}\cdot(1+\cos4\alpha)=\\ =\frac{\sin\alpha+\sin(\alpha+2\alpha)}{\cos\alpha+\cos(\alpha+2\alpha)}\cdot(1+2\cos^22\alpha-1)=\\ =\frac{\sin\alpha+\sin\alpha\cos2\alpha+\cos\alpha\sin2\alpha}{\cos\alpha+\cos\alpha\cos2\alpha-\sin\alpha\sin2\alpha}\cdot2\cos^22\alpha=\\ ==\frac{\sin\alpha+\sin\alpha\cos2\alpha+2\cos^2\alpha\sin\alpha}{\cos\alpha+\cos\alpha\cos2\alpha-2\sin^2\alpha\cos\alpha}\cdot2\cos^22\alpha=\\ \\ =\frac{\sin\alpha(1+\cos2\alpha+2\cos^2\alpha)}{\cos\alpha(1+\cos2\alpha-2\sin^2\alpha)}\cdot2\cos^22\alpha=\\ \frac{\sin\alpha(1+2\cos^2\alpha-1+2\cos^2\alpha)}{\cos\alpha(\cos2\alpha+1-2\sin^2\alpha)}\cdot2\cos^22\alpha=\\ =\frac{\sin\alpha\cdot4\cos^2\alpha}{\cos\alpha\cdot2\cos2\alpha}\cdot2\cos^22\alpha=\\ =4\sin\alpha\cos\alpha\cos2\alpha=2\sin2\alpha2\cos2\alpha=\sin4\alpha;\\ $$
3)
$$ ctg2\alpha\frac{2tg\alpha}{1+tg^2\alpha}=\cos2\alpha;\\ \frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha}\cdot\frac{2\frac{sin\alpha}{\cos\alpha}}{1+(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})^2}=\frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha}\cdot\frac{2\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}=2\cdot\frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha}\cdot\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{1}{\cos^2\alpha}}=\\ =2\cdot\frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha}\cdot\frac{\sin\alpha\cdot\cos^2\alpha}{\cos\alpha}= \\ =2\cdot\frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha}\cdot\sin\alpha\cdot\cos\alpha=\frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha}\cdot2\sin\alpha\cos\alpha=\\=\frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha}\cdot\sin2\alpha=\cos2\alpha; $$

Упростите выражения : х-9у/х^2-9у^2-3у/3ху-х^2
Упростите выражение : 7b-4a-28/7b-4ab+20a-35- 7/7-4a и найдите его значение при a=0,1115;b=2,5
Докажите тождество : 4/а^2-4а-а^2/4-а=а+4+16а+4/а^2-4а

1) Упростите выражения:

(3x^2+y)(2y-5x^2)

(7x-1)(x^2-4x+2)

(a^2+b^2)(2a-b)-ab(b-a)

-8b(b+3)(2-b^2)

2) Разложите на множители:

2x^5+5x^4-2x^2-5x

3a-3b+(a-b)^2

3) Докажите тождество:

x^5+1=(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)

4) Представьте в виде произведения:

x^2-2xy+x-xz+2yz-z

a^3-ab-a^2b+a^2

(7x-1)(x^2-4x+2)=7x^3-28x^2+14x-x^2-4x-2=7x^3-29x^2+18x-2

(a^2+b^2)(2a-b)-ab(b-a)=2a^3-a^2b+2ab^2-b^3-ab^2+a^2=2a^3-b^3-a^2b+ab^2+a^2

-8b(b+3)(2-b^2)=-8b(2b-b^3+6-3b^2)=-16b^2+8b^4-48b+24b^3=8b^4+24b^3-16b^2-48b

2)2x^5+5x^4-2x^2-5x=2x^5-2x^2+5x^4-5x=2x^2(x^3-1)+5x(x^3-1)=(2x^2-1)(x^3-1)

3a-3b+(a-b)^2=3(a-b)+(a-b)^2=(3+a-b)(a-b)

3)x^5+1=(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)

 (x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1) = x^5-x^4+x^3-x^2+x+x^4-x^3+x^2-x+1=x^5+1

Разложите на множители:
а) 25х – х³
б) 2х² – 20х + 50
3. Найдите значение выражения а² – 4bс, если а = 6, b = -11, с = -10
4. Упростите выражение: (с² – b)² – (с² + 1)² + 2bс²
5. Докажите тождество: (а + b)² – (а – b)² = 4аb

Разложить на множители: а) y^3 - 49y

Найдите значение выражения a^2 - 4bc, если a = 6, b = -11, c = -10

Упростите выражения: (a - 1)^2 (a + 1) + (a + 1)( a - 1)

Докажите тождество: (x - y)^2 + (x + y)^2 = 2(x^2 + y^2)

а) сначала выносим у

у(у^2-49)=у((у-7)(у+7))

найдите значение выражения

а^2-4bc если а=6 в=-11 с=-10

сразу подставляем

6*6-4*(-11)*(-10)=36-440=-404

упростите выражения 

= (а^2-1)^2+а^2-1= а^4-2а^2+1+а^2-1 = а^4-а^2

докажите тождество

х^2-2ху+у^2+х^2+2ху+у^2=2х^2+2у^2

упрощаем

2х^2+2у^2=2х^2+2у^2

вроде так!

a) y^3-49y=y(y^2-49)=y(y-7)(y+7)

b) -3a^2-6ab-3d^2=-3(a^2+2ab+d^2)=-3(a+d)^2

  (a-1)^2(a+1)+(a+1)(a-1)=(a-1)(a+1)(a-1)=(a+1)(a-1)^2

(x-y)^2+(x+y)^2=x^2-2xy+y^2+x^2+2xy+y^2=2x^2+2y^2=2(x^2+y^2)

1) Упростите выражение \( 1.\;a)\;\sin(\alpha-\beta)+\cos\alpha\sin\beta\\b)\;\frac12\sin\alpha+\cos\left(\frac\pi6+\alpha\right)\)
2) Докажите тождество \( \cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta \)