тождество »
докажите тождество - страница 21
1. Представьте в виде многочлена: а) (а – 3)(а + 6); в) (b – 2)(b2 + 3b – 8). б) (5х – у)(6х + 4у); 2. Разложите на множители: а) c(d – 5) + 6(d – 5); б) bx – by + 4x – 4y. 3. Упростите выражение (c2 + d 2)(c + 3d) – cd(3c – d). 4. Докажите тождество (y – 5)(y + 7) = y(y + 2) – 35. 5. Ширина прямоугольника на 6 см меньше его длины. Если ширину увеличить на 5 см, а длину на 2 см, то площадь его увеличится на 110 см2. Найдите длину и ширину прямоугольника.
Решение: 1. а)= а² - 6а - 3а - 18= а² - 9а - 18б)= b³ + 3b² - 8b - 2b² - 6b + 16 =b³ + b² - 14b + 16
в)= 30х² + 20ху - 6ху + 4у² = 30х² + 14ху + 4у²
2. а)= (с+6) (d-5)
б)= b (x-y) + 4 (x-y) = (b+4) (x-y)
3. = c³ + 3c²d + cd² + 3d³ - 3c²d + cd²= c³ + 2cd² + 3d³
4. (y - 5) (y +7) = у(у+2) - 35
у² + 7у - 5у - 35 = у² + 2у - 35
у² + 2у -35 = у² + 2у - 35
0=0 ч. т. д
5. Пусть длина будет х см. Тогда ширина у см.
составим систему
х - 6 = у
(х+5) (у +2) = 110 +ху
х - 6= у
(х+5) (х-6+2)=110+х(х-6)
х-6=у
х² - 4х + 5х - 20 = 110+х²-6х
х-6=у
х²-4х+5х-х²+6х = 110+20
х-6=у
7х=130
х=19
у=13
ответ: ширина 13 см. длина 19 см
1.a)(a-3)(a+6)=a²+6a-3a-18=a²+3a-18
б)(5x-y)(6x+4y)=30х²+20ху-6ху-4у²=30х²+14ху-4у²
в)(b-2)(b^2+3b-8) =b³+3b²-8b-2b²-6b+16=b³+b²-14b+16
2. а) c (d-5)+6 (d-5) =(d-5)(c+6)
б) bx-by+4x-4y 3=b(x-y)+4(x-y)=(x-y)(b+4)
3.(c^2+d^2)(c+3d)-cd (3c-d)=c³+3c²d+cd²+3d³-3c²d+cd²=c³+2cd²=c(c²+3d²)
4.(y-5)(y+7)=y²+7y-5y-35=y²+2y-35
y (y+2)-35=y²+2y-35
y²+2y-35=y²+2y-35
5. Ширина была-х, длина-х+6, площадь х*(х+6)
Ширина стала х+5, длинах+8, площадь (х+5)(х+8)
(х+5)(х+8)-х*(х+6)=110
х²+8х+5х+40-х²-6х=110
7х=70⇒х=10-была ширина
10+6=16-была длина
1. представьте в виде многочлена:
А)(x-4)(x+2)
Б)(4a-b)(2a+3b)
В)(y-5)(y^2-2y+3)
2. разложите на множители:
А)a(x-y)+4(x-y)
Б)3x-3y+ax-ay
3. упростите выражение:
(x+y)y-(x^3-y)(y-1)
4. докажите тождество:
(y-a)(y-b)=y^2-(a+b)y+ab
5. периметр прямоугольника равен 40 см, если его длину уменьшить на 3 см а ширину увеличить на 6 см. то его площадь увеличится на 3 см^2. Определите площадь первоначального прямоугольника.
Решение: 1А)=х2-2х-8
1Б)=8а2+12ав-2ав-3в2=8а2+10ав-3в2
1В)=у3-2у2+3у-5у2+3у-5у2+10у-15=у3-12у2+16у-15
2А) =(х-у)(а+4)
2Б) =3(х-у)+а(х-у)=(х-у)(а+3)
3. =ху+у2-(х3у-х3-у2+у)=ху+у2-х3у+х3+у2-у=2у2+х3+ху-х3у-у
4.) у2-ув-уа+ав=у2-(уа-ув)+ав
у2-уа-ув+ав=у2-уа-ув+ав
Задача 5
обозначим длину за x, а ширину за y
2х+2у=40
S=xy
(x-3)(y+6)=S+3(где S=xy)
xy+6x-3y-18=xy+3
xy+6x-3y-18-xy-3=0
6x-3y-21=0
6x-3y=21
6x=21+3y/6
x=(21+3y)/6
подставляем в первое уравнение, где периметр
2((21+3y)/6)+2y=40
7+y+2y=40
7+3y=40
3y=33
y=11
x=9
S=99
1. Представьте в виде многочлена:
а)(х-4)(х+2)
б)(4a-b)(2a+3b)
в)(y-5)(yв квадрате-2y+3)
2. Разложите на множители:
a)a(x-y)+4(x-y)
б)3x-3y+ax-ay
3. Упростите выражение (x+y)y-(x в кубе-y)(y-1)
4. Докажите тождество
(y-a)(y-b)=y в квадрате-(a+b)y+ab.
5. Периметр прямоугольника равен 40 см. Если его длину уменьшить на 3 см, а ширину увеличить на 6 см, то его площадь увеличиться на 3 см в квадрате. Определите площадь первоначального прямоугольника.
Решение: 1)
а)$$ x^2-2*x-8 $$
б)$$ -3*b^2+10*a*b+8*a^2 $$
в)$$ y^3-7*y^2+13*y-15 $$
2)
а)-(a+4)*(y-x)
б)(a-3)*(y-x)
3)
$$ 2*y^2-x^3*y+x*y-y+x^3 $$
4)
(y-a)(y-b) = y^2 - by-ay+ab = y^2-(a+b)y + ab
5)
Пусть a и b стороны первоначального прямоугольника. Его периметр равен 2(a+b)=40 Если длину уменьшить на 3 см, то она станет (a-3) см, а ширину увеличить на 6 => (b+6), то исходная площадь уменьшится на 3 см т. е станет (ab-3) см
Составим и решим систему уравнений
2(a+b)=40
(a-3)(b+6)=ab-3
_______________
a=20-b
(a-3)(b+6)=ab-3
_________________
a=20-b
(20-b-3)(b+6)=(20-b)b-3
____________________
a=20-b
-b^2+11b+102=-b^2+20b-3
_______________________
a=20-b
-9b=-105
_______________________
a=20-b
b=11 целых 2/3
________________________
a=20-11 целых 2/3
b=11 целых 2/3
__________________
a=8 целых 1/3
b=11 целых 2/3
_____________________
S=ab = 8 целых 1/3 * 11 целых 2/3=875/9=97 целых 2/91. Представьте в виде многочлена:
а) ( у + 7)(у – 2) б) (х + 5)(х2 - 3х + 8)
в) (4а - b)(6а + 3b)
2. Разложите на множители:
а) у(а - b) – 2(b + а) б) 3х – 3у + ах - ау
3. Упростите выражение:
(а2 – b2)(2а + b) - аb( а + b)
а ) 2а3 +в3 – 3ав2 б) 2а3 - в3 – 3ав2 в) 2а3 - в3 + 3ав2
4. Докажите тождество: а( а – 2) – 8 = ( а + 2)(а – 4).
5. Длина прямоугольника на 12 см больше его ширины. Если длину увеличить на 3 см, а ширину – на 2 см, то площадь прямоугольника увеличится на 80 см2. Найдите длину и ширину прямоугольника.
Решение: 5) Пускай ширина - х см. тогда длина - (х+12) см.
А площадь прямоугольника S=(x+12)x=x^2+12x
Когда мы увеличиваем длину на 3 см. а ширину на 2, то получаем:
длина - (х+15) см. а ширина х+2.
Площадь увеличенного прямоугольника S=(x+15)(x+2)=x^2+2x+15x+30=x^2+17x+30
Сказано, что после увеличения ширины и длины площадь увеличится на 80 см.
Тогда x^2+17x+30-80=x^2+12x
x^2-x^2+17x-12x=80-30
5x=50
x=10
Тогда ширина - 10 см. а длина 10+2=12 см.
Ответ:10см. 12 см.
а) ( у + 7)(у – 2) = у в квадрате +7у-2у-14=у в квадрате + 5у - 14
6. Найдите произведение и назовите степень полученных многочленов:
а)-2x^4y(x^2-2xy+y^3-6)
б) (x+8)(x-7)
в) (x+y-2)(x^3+4)
2) Разложите многочлен на множитель:
а) a^3-a^2+a-1
б) x^2-xy-9x+9y
в) m^2-8m+12
3) Решите уравнение:
а)m(m-5)+8(m-5)=0
б) y(y+2)+y+2=0
4) Докажите тождество:
а) a(b-x)+x(a+b)=b(a+x)
б) 16-(a+3)(a+2)=4-(6+a)(a-1)
Решение: Если начать с третьего, то
1) m(m-5)+8(m-5)=0
(m-5)(m+8)=0
Ответ: m=5, m=-8
2) y(y+2)+y+2=0
(y+2)(y+1)=0
y=-2, y=-1
2) Разложите многочлен на множитель:
а) a^3-a^2+a-1=(a-1)(a^2+1)
б) x^2-xy-9x+9y=x(x-9)-y(x-9)=(x-9)(x-y)
в) m^2-8m+12 по теореме Виета сумма равна 8, произведение 12. очевидно, m=6 и m=2. Тогда m^2-8m+12=(m-6)(m-2)
5. Разложите на множители: а) 16х² + 40хb³ + 25b⁶
б) (9 - a²)a² - 2a(9 - a²) + 9 - a²
6. Решите уравнение: (x² - 5x) - x + 5 =0;
7. Вычислите наиболее рациональным способом: (3,6·7,6² - 3,6·2,4²)/(1,8·6,5² - 1,8·3,5²);
8. Докажите тождество: (ax + by)² + (ay - bx)² = (a² + b²)(x² + b²);
9. Найдите значение выражения: (0,4x - y)/(0,8x² - 5y²), если 2x+5y=1
Решение: 5. 16х² + 40хb³ + 25b⁶ = 4²x² + 2·4x·5b³ + 5²b⁶ = (4x +5b³)²
(9 - a²)a² - 2a(9 - a²) + 9 - a² = (9 - a²)(a² - 2a + 1) = (3 - a)(3 + a)( a - 1)²
6. (x² - 5x) - x + 5 =0;
x(x - 5) - (x -5) = 0;
(x - 5)(x - 1) = 0;
x - 5 = 0 или x - 1 = 0
x = 5, x = 1
7, (3,6·7,6² - 3,6·2,4²)/(1,8·6,5² - 1,8·3,5²) = 3,6·(7,6 + 2,4)(7,6 - 2,4)/(1,8·(6,5 + 3,5)(6,5 - 3,5) = 3,6·10·5,2/1,8·10·3= 10,4/3
8. (ax + by)² + (ay - bx)² = a²x² + 2abxy +b²y² + a²y² - 2abxy + b²x² = a²x² + b²x² + a²y² + b²y² = a²(x² + y²) + b²(x² + y²) = (a² + b²)(x² + b²)
9. (0,4x - y)/(0,8x² - 5y²) = (0,4x - y)/5(0,4x - y)(0,4x +y) = 1/5(0,4x +y) = 1/(2x +5y) = 1/1 = 1представьте в виде многочлена
(х+2)(х-2)(х^2+4)
докажите тождество
(m-n)(m+n)+(n-p)(n+p)=(m-p)(m+p)
Решение: представьте в виде многочлена(х+2)(х-2)(х^2+4) = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = x^4 - 16
докажите тождество
(m-n)(m+n)+(n-p)(n+p)=(m-p)(m+p)
m^2 - n^2 + n^2 - p^2 = (m-p)(m+p)
сокращаем n^2
m^2 - p^2 = (m-p)(m+p)
(m-p)(m+p) = (m-p)(m+p)
а) (х+2)(х-2)(х^2+4) = (x^2-4)* (x^2+4)= x^4- 16
б) (m-n)(m+n)+(n-p)(n+p)=(m-p)(m+p)
Левая часть. (m-n)(m+n)+(n-p)(n+p)=(m^2-n^2)+ (n^2-p^2)=m^2-n^2+n^2-p^2=m^2-p^2
Правая часть.(m-p)(m+p)= m^2-p^2
m^2-p^2=m^2-p^2, то есть
(m-n)(m+n)+(n-p)(n+p)=(m-p)(m+p), чтд
