тождество »
докажите тождество - страница 23
Докажите тождество: (z/z-2 - z^2/z^3+8 * z^2+2z/z-2) : 8/z^2-2z+4 + z^2+z+6/4z+8 = 6-z/4z+8
Решение: $$ (\frac{z}{z-2}-\frac{z^2}{z^3+8}*\frac{z^2+2z}{z-2}):\frac{8}{z^2-2z+4}+\frac{z^2+z+6}{4z+8} \\ 1) \frac{z^2}{z^3+8}*\frac{z^2+2z}{z-2}=\\=\frac{z^2}{(z+2)(z^2-2z+4)}*\frac{z(z+2)}{z-2}=\frac{z^3}{(z^2-2z+4)(z-2)} \\ \\ 2) \frac{z}{z-2}-\frac{z^3}{(z^2-2z+4)(z-2)}=\\=\frac{z(z^2-2z+4)-z^3}{(z^2-2z+4)(z-2)}=\\=\frac{z^3-2z^2+4z-z^3}{(z^2-2z+4)(z-2)}= \\ \\ =\frac{-2z^2+4z}{(z^2-2z+4)(z-2)}=\frac{-2z(z-2)}{(z^2-2z+4)(z-2)}=\frac{-2z}{z^2-2z+4} \\ 3) \frac{-2z}{z^2-2z+4}:\frac{8}{z^2-2z+4}=\frac{-2z}{z^2-2z+4}*\frac{z^2-2z+4}{8}=-\frac{z}{4} \\ \\ 4) -\frac{z}{4}+\frac{z^2+z+6}{4z+8}=\\=\frac{z^2+z+6}{4(z+2)}-\frac{z}{4}=\\= \frac{z^2+z+6-z(z+2)}{4(z+2)}=\\=\frac{z^2+z+6-(z^2+2z)}{4(z+2)} = \\ \\ =\frac{z^2+z+6-z^2-2z}{4(z+2)}=\\=\frac{6-z}{4(z+2)}=\frac{6-z}{4z+8} $$
ответ: тождество верноДокажите тождество: (y^2+9/27-3y^2 + y/3y+9 - 3/y^2-3y): (3y+9)^2/3y^2-y^3= y/9y+27
Решение: $$ (\frac{y^2+9}{27-3y^2}+\frac{y}{3y+9}-\frac{3}{y^2-3y}):\frac{(3y+9)^2}{3y^2-y^3} \\ 1) \frac{y^2+9}{27-3y^2}+\frac{y}{3y+9}-\frac{3}{y^2-3y}=\frac{y^2+9}{-3(y-3)(y+3)}+\frac{y}{3(y+3)}-\frac{3}{y(y-3)}= \\ \\ =\frac{y}{3(y+3)}-\frac{y^2+9}{3(y-3)(y+3)}-\frac{3}{y(y-3)}= \frac{y^2(y-3)-y(y^2+9)-9(y+3)}{3y(y-3)(y+3)} = \\ \\ =\frac{(y^3-3y^2)-(y^3+9y)-(9y+27)}{3y(y-3)(y+3)} =\frac{y^3-3y^2-y^3-9y-9y-27}{3y(y-3)(y+3)} = \\ \\ =\frac{-3y^2-18y-27}{3y(y-3)(y+3)} =\frac{-3(y+3)^2}{3y(y-3)(y+3)} =-\frac{y+3}{y(y-3)} \\ 2) -\frac{y+3}{y(y-3)}:\frac{(3y+9)^2}{3y^2-y^3}=-\frac{y+3}{y(y-3)}:(-\frac{9(y+3)^2}{y^2(y-3)})= \\ \\ =\frac{y+3}{y(y-3)}*\frac{y^2(y-3)}{9(y+3)^2}=\frac{y}{9(y+3)}=\frac{y}{9y+27} $$
ответ: тождество верноДокажите тождество и ОБЪЯСНИТЕ
x^2+14x+48=(x+8)(x+6)
Решение: X²+14x+48=(x+8)(x+6)
Приведём правую часть к левой, для этого раскроем скобки
(x+8)(x+6)=х²+8х+6х+48=х²+14х+48
Правая часть равна левой, тождество доказаноХод решения взять одну часть (левую или правую) тождества и привести ее к виду второй части.
возьмем правую часть и раскроем скобки:
(х+8)(х+6)=х²+8х+6х+48=х²+14х+48
правая часть равна левой, т. е. тождество доказано
можно было взять левую часть и привести ее к правой
Докажите тождество: \( 2) \frac{sin2\alpha - 2cos\alpha}{sin\alpha - sin^2\alpha}= -2ctg\alpha;\\ 4) \frac{1-cos2\alpha +sin2\alpha}{1+cos2\alpha +sin2\alpha}\cdot ctg\alpha =1 \)
Решение: 1) $$ \frac{2sin \alpha cos \alpha -2cos \alpha }{sin \alpha (1-sin \alpha )}=-2ctg \alpha \\ \frac{-2cos \alapha (1-sin \alpha )}{sin \alpha (1-sin \alpha )} =-2ctg \alpha \\ \frac{-2cos \alpha }{sin \alpha } =-2 ctg \alpha \\ -2 ctg \alpha=-2 ctg \alpha $$
2) Используем формулу
$$ cos2 \alpha =1-2sin^2 \alpha =2cos^2 \alpha -1 \\ \frac{2sin^ 2\alpha+2sin \alpha cos \alpha }{2cos^2 \alpha+2sin \alpha cos \alpha } *ctg \alpha =1 \\ \frac{2sin \alpha (sin \alpha +cos \alpha )}{2cos \alpha (cos \alpha +sin \alpha )} *ctg \alpha =1 \\ \frac{sin \alpha }{cos \alpha } * \frac{cos \alpha }{sin \alpha } =1 \\ 1=1 $$
Докажите тождество \( \frac{2a-b}{ab}- \frac{1}{a+b}(\frac{a}{b} - \frac{b}{a})= \frac{1}{b} \)
Решение: $$ \frac{2a-b}{ab}- \frac{1}{a+b}(\frac{a}{b} - \frac{b}{a})= \frac{1}{b} \\ \\ \frac{2a-b}{ab}- \frac{1}{a+b}(\frac{a}{b} - \frac{b}{a})=\\= \frac{2a-b}{ab} - \frac{1}{a+b} * \frac{a^2-b^2}{ab}=\\= \frac{2a-b}{ab} - \frac{1}{a+b} * \frac{(a+b)*(a-b)}{ab}= \\ \\ =\frac{2a-b}{ab}- \frac{a-b}{ab}= \frac{a}{ab}= \frac{1}{b} $$
