докажите тождество - страница 24
Докажите тождество
ctgA*sinA-(1-2cos²A)/(sinA-cosA)=cos(3П/2-A)
Решение: ctgA*sinA-(1-2cos²A)/(sinA-cosA)=cos(3П/2-A)(cosA/sinA)*sinA-(sin²A+cos²A-2cos²A)/(sinA-cosA)=-sinA
cosA-(sin²A-cos²A)/(sinA-cosA)=-sinA
cosA-(sinA-cosA)(sinA+cosA)/(sinA-cosA)=-sinA
cosA-sinA-cosA=-sinA
-sinA=-sinA
Докажите тождество:
1) a²+b²=(a+b)²-2ab
2) (a+b)²-2b(a+b)=a²-b²
Решение: 1. Тождество= равенство, значит надо доказать, что одна часть равна другой.
a^2+b^2= a^2+2ab+b^2- 2ab
2ab и -2ab противоположны. Значит они уничтожаются, остается a^2+b^2= a^2+b^2
2. a^2+2ab+b^2- 2ab- 2b^2 = a^2- b^2
Опять же 2ab и -2ab уничтожаются.b^2-2b^2= -b^2
a^2-b^2= a^2-b^2.
Оба примера равны, тождества доказаны.
Докажите тождество:
1).(a^2+4)^2-16a^2=(a+2)^2(a-2)^2
2).(4a+1)^2(4a-1)^2=(16a^2+1)^2-64a^2
Решение: 1) (a^2 + 4)^2 - 16a^2 = (a + 2)^2 * (a - 2)^2
a^4 + 8a^2 + 16 - 16a^2 = (a^2 + 4a + 4) * (a^2 - 4a + 4)
a^ - 8a^2 + 16 = a^4 - 4a^3 + 4a^2 + 4a^3 - 16a^2 + 16a + 4a^2-16a - 16
a^4 - 8a^2 + 16 = a^ - 8a^2 + 16
a^ - 8a^2 + 16 -a^4 + 8a^2 - 16 = 0
(4a + 1)^2 * (4a - 1)^2 = (16a^2 + 1)^2 - 64a^2
(16a^2 + 8a +1) * (16a^2 - 8a + 1) = 256a^4 + 32a^2 1 - 64a^2
256a^4 - 128a^3 + 16a^2 + 128a^3 - 64a^2 + 8a + 16a^2 -8a + 1 = 256a^4 - 32a^2 + 1
256a^4 - 32a^2 + 1 = 256a^4 - 32a^2 + 1
256a^4 - 32a^2 + 1 -256a^4 + 32a^2 - 1 = 0
Докажите тождество a(b+c)² + b(c+a)² + c(a+b)² - 4abc = (a+b)(b+c)(c+a)
Решение: a(b+c)² + b(c+a)² + c(a+b)² - 4abc = (a+b)(b+c)(c+a)a(b²+2bc+c²)+b(c²+2ca+a²) +c(a²+2ab+b²)-4abc = (ab+ac+b²+bc)(c+a)
ab²+2abc+ac²+bc²+2abc+ a²b+a²c+2abc+b²c-4abc = abc+a²b+ac²+a²c+b²c+ab²+bc²+abc
(2abc+2abc+2abc-4abc) +ab²+ac²+bc²+a²b+a²c+b²c = (abc+abc)+a²b+ac²+a²c+b²c+ab²+bc²
2abc+ab²+ac²+bc²+a²b+a²c+b²c = 2abc+a²b+ac²+a²c+b²c+ab²+bc²
доказано
решаем слева: a(b^2+2ab+c^2)+b(c^2+2ac+a^2)+C(a^2+2ab+b^2)-4abc=ab^2+2ab+ac^2+bc^2+2abc+ a^2b+a^2c+2abc+ b^2c-4abc = ab^2+ac^2+bc^2+a^2b +a^2c+b^2c+2abc
теперь правую часть:2abc+ac^2+b^2c+ +bc^2+a^2b+a^2c+b^2a решая дальше получим 0=0
Докажите тождество и решите уравнения
Решение: 1) ((n+3)(n+2)(n+1)n(n-1)) /(2*3*4*5)+((n+3)(n+2)n+1)n)/2*3*4=((n+4)(n+3)(n+2)(n+1)n/
/(1*2*3*4*5
((n+3)(n+2)(n+1)n)(n-1+5))/(5!)=((n+4)(n+3)(n+2)(n+1)n)/(5!)
n+4=n+4; 0n=0; n-любое натур число?n+3>5; n>2
n+3>4; n>1; n+4>5; n>1
Ответ. n>2, n-натур число
2) (1*2*.*((2n-3)(2n-2)(2n-1)2n) /(2n-3)!=40*(1*2*3.*(n-1)n) /(n-1)!
(2n-2)(2n-1)2n=40*n
4n^2-6n+2=20
4n^2-6n-18=0; 2n^2-3n-9=0; D=9+72=81=9^2; n1=(3-9)/4=-3/2 постор; n2=(3+9)/4=3
3)7((2n-2)!/(n-2)!(2n-2-n+2)!)=((3(2n-1)!)/((2n-1)!(2n-1-n+1)!
(7(2n-2)!/((n-2)!n!)=(3(2n-1)!/(2n-1)!n!)
умножим на (n-2)!n!) /(2n-2)!
7=3(2n-1)/(n-1); 7(n-1)=3(2n-1)
7n-6n=-3+7; n=4
