докажите тождество - страница 6
\( ( \frac{sin4 \alpha }{sin \alpha }- \frac{cos4 \alpha }{cos \alpha })( \frac{1}{sin3 \alpha }+ \frac{1}{sin \alpha })=4ctg \alpha \).
Докажите тождество
Решение: Решение на фото ниже1)sin4a/sina-cos4a/cosa=(sin4acosa-cosasin4a)/sinacosa=2sin(4a-a)/sin2a=
=2sin3a/sin2a
2)1/sin3a+1/sina=(sina+sin3a)/sinasin3a=(sina+sin3a)/sinasin3a=
=2sin2acosa/sinasin3a
3)2sin3a/sin2a *2sin2acosa/sinasin3a=4cosa/sina=4ctga
4ctga=4ctga
Докажите тождество sin3a/sina - cos3a/cosa=2
Докажите тождество cosa-cos3a/sina+sin3a=tga
Решение: Sin3a/sina-cos3a/cosa=2
1)Sin3a= 3sina-4sin³a
cos3a=4cos³a-3cosa
(3sina-4sin³a)/sina-(4cos³a-3cosa)/cosa
sina(3-4sin²a)/sina-cosa(4cos²a-3)/cosa
3-4sin²a-4cos²a+3=-4(sin²a+cos²a)+6=-4+6=2
2=2
2)cosa-cos3a/sina+sin3a=tga
Тут опять помним чему равен синус и косинус тройного угла и в итоге получим:
4cosa-4cos³a/4sina-4sin³a=tga
4cosa(1-cos²a)/4sina(1-sin²a)=tga
cosa*sin²a/sina*cos²a=tga
Сократим и получаем доказательство :
tga=tgaДокажите тождество:
sina+sin3a+sin5a+sin7a=4cosa*cos2a*sin4a
Решение: Здесь следует воспользоваться тригонометрическими формулами перехода от суммы к произведению:
sina + sinb = 2sin(a + b)/2 * cos(a - b)/2
cosa + cosb = 2cos(a + b)/2 * cos(a - b)/2
sina + sin3a + sin5a + sin7a = (sin7a + sina) + (sin5a + sin3a) = 2sin4a * cos3a + 2sin4a * cosa = 2sin4a(cos3a + cosa) = 2sin4a * 2cos2a * cosa = 4cosa * cos2a * sin4a.
Части тождества равны.
Вычислите значения: cos α, если sin α = -1/2(дробь), π < α < 3π/2
Упростите выражения: б) 1 - sin(в квадрате)α / 1 - sin(в квадрате)α (дробь)
г) ( ctg(в квадрате)α + 1 ) * sin(в квадрате)α - cos(в квадрате)α
Докажите тождества: б) sin(в квадрате)α - cos(в квадрате)α + 1 = 2 sin(в квадрате)α
г) tgα + ctgα = 1 / cosα + sinα (дробь)
α - альфа π - число пи(180 градусов) / - дробь.
Решение: 1) cosα = - √(1-sin²α) = -√(1- (-1/2)²) = -√(3/4) = -√3/2.
б) (1-sin²α) /(1-sin²α) = 1;
(1-sin²α)/(1-cos²α) =cos²α/sin²α =(cosα/sinα)² =tq²α.
г) (ctq²α +1)*sin²α -cos²α = 1/sin²α*sin²α -cos²α =1-cos²α =sin²α.
-
б) sin²α -cos²α+1 =sin²α +(1-cos²α) = sin²α+sin²α =2sin²α.
г) tqα +ctqα =sinα/cosα +cosα/sinα =(sin²α+cos²α)/sinα*α = 1/sinα*cosα
tgα + ctgα = 1 / cosα + sinα (дробь)*
*********************************************************
при переходе от градусной меры (α = n°) к радианной мере :
[ α = n/180)*π ].
докажите тождества cos^2fkmaf(1+tg^2альфа)-sin^2альфа=cos^2альфа
Решение: Для удобства буду обозначать "альфа" - x (одно и тоже)cos^2x(1+tg^2x)-sin^2x=cos^2x
И так, посмотрим на скобку (1+tg^2x, ее можно преобразовать 1+tg^2x=1/cos^2x)
Получим:
cos^2x*1/cos^2x-sin^2x=cos^2x (очевидно, что cos^2x/cos^2x=1)
1-sin^2x=cos^2x (По основному тригонометрическому тождеству sin^2x+cos^2x=1; 1-sin^2x=cos^2x)
cos^2x=cos^2x
Доказано.
1) Разложите на множители: а)sin 2a + sin 3a, б) sin 3a - sin a, в) cos x - cos 3x, г) cos 3x - cos 2x
2) Докажите тождества: а) sin a + sin 5a дробная черта cos a + cos 5a равно tg 3a,
б) sin 2a + sin 6a дробная черта cos 2a + cos 6a равно tg 4a.
Решение: 1)sin2a+sin3a=0
sin5a=0
5a=pin, принад z
a=pin/5, принад z
2)sin3a-sina=0
sin2a=0
2a=pin, принад z
a=pin/2, принад z
3)cosx-cos3x=0
cos3x-cosx=0
cos2x=0
2x=pi/2+pin, принад z
x=pi/4+pin/2, принад z
4)cos3x-cos2x=0
cosx=0
x=pi/2+pin, принад z
1)(sin6a/cos6a)=tg3a
tg6a=tg3a, тождество не верно,
2)(sin8a/cos8a)=tg4a
tg8a=tg4a тождество не верноДокажите тождества cos^2a+tg^2a+sin^2a=tg^2a+1
sin^2a - cos^2a + 1 =2 sin^2a
Решение: tg(2*a) * (1-(tg(a))^2)/(1+(tg(a))^2) = sin(2*a); tg(2*a) *((cos(a))^2-(sin(a))^2)/((cos(a))^2+(sin(a))^2)=tg(2*a) *((cos(a))^2-(sin(a))^2)=tg(2*a)*cos(2*a)=sin(2*a)cos^2a+tg^2a+sin^2a= cos^2a+sin^2a+tg^2a= tg^2a+1 т. к. основное тригонометрическое тождество гласит cos^2a+sin^2=1
sin^2a - cos^2a + 1 представим 1 в виде основного тригонометрического тождества, получим. sin^2a - cos^2a+cos^2a+sin^2=sin^2+sin^2=2 sin^2a
Докажите тождества:
1)cos 2x - cos 3x - cos 4x + cos 5x = (-4 sin x/2)*(cos 7x/2)*sin x
2) (2sinx - sin2x) / (2sinx + sin2x) = tg ^2 (x/2)
Вычислите:
sin ( arcctg 1/2 - arcctg( корень из -3))
Решите уравнения:1) корень из (1 -2 sin4x)= -корень из(6) cos2x
2) корень из (3) sin 2x + cos 2x= корень из (3)
3)sin 2x+ 2 ctg x=3
Решение: sin2x+2cosx/sinx=1+22(cosx-sinx)/sinx=(cosx-sinx)^2
(cosx-sinx)(cosx-sinx-2/sinx)=0
x=П/4+Пk
cosx-sinx-2/sinx=0
cosx*sinx-sin^2(x)=2
1>sin^2x>0
cosx*sinx>2, но |sinx|<=1 |cosx|<=1
следовательно решений уравнение не имеет
ответ
x=П/4+Пk
Докажите тождество:(1-cos2x)/(1+〖cos〗^2 x)=〖tg〗^2 x.
Решение: A) пользуемся формулой двойного угла)cos2x=cos(квадрат)x-sin(квадрат)x1-(cos(квадрат)x-sin(квадрат)x)\1+ cos(квадрат)x-sin(квадрат)x==1-cos(квадрат)x+sin(квадрат)x\1+ cos(квадрат)x-sin(квадрат)x=основное тригонометрическое тождество cos(квадрат)x+sin(квадрат)x=1следовательно 1-cos(квадрат)x= sin(квадрат)x 2sin(квадрат)x\2cos(квадрат)x двойки сокращаем и получается tg(квадрат)xб) а тут как-то слишком жестоко ))Докажите тождество:
1-cos2t+sin2t/1+sin2t+cos2t=tg(пи/4-t)
Решение: (1 + cos2t - sin2t)/(1 + sin2t + cos2t) = (cos^2(t) + sin^2(t) + cos^2(t) - sin^2(t) - 2sintcost)/(cos^2(t) + sin^2(t) + 2sintcost + cos^2(t) - sin^2(t)) = (2cos^2(t) - 2sintcost)/(2cos^2(t) + 2sintcost) = (cos^2(t) - sintcost)/(cos^2(t) + sintcost) = (cost - sint)/(cost + sint)
по формуле
bcosx + asinx = sqrt(a^2 + b^2)sin(x + w)
sinw = b/sqrt(a^2 + b^2); cosw = a/sqrt(a^2 + b^2)
(cost - sint)/(cost + sint) = (sqrt(2)sin(t + 3П/4))/(sqrt(2)sin(t + П/4) = sin(t + 3П/4)/sin(t + П/4) = sin(П - (П/4 - t))/sin(П/2 - (П/4 - t)) = sin(П/4 - t)/cos(П/4 - t) = tg(П/4 - t)
чтд
