тождество »

докажите тождество - страница 6

  • Найдите значения выражения a)ctg 135 градусов b)cos 7пи/6

    Упростите выражение a)tg(пи/2-a)+ctg(пи-a) b)cos(альфа+бета) - sin альфа sin бета

    c)2 tg a /sin 2a

    Докажите тождество cos^2 a - sin^2 a/4 sin a cos a = ctg 2a/2


    Решение: a)ctg 135=-ctg45=-1

    b)cos 7пи/6=cos210=-cos30=-√3/2

    a)tg(пи/2-a)+ctg(пи-a)=ctga+(-ctga)=0

    c)2 tg a /sin 2a =   2 tg a/(2 tg a/(1+tg²a) = 1+tg²a

    Формулы, которые использовались: 

    $$ cos2a=cos^2a-sin^2a\\sin2a=2sina*cosa\\ctg2a=\frac{cos2a}{sin2a} $$ 

    $$ \frac{cos^2a-sin^2a}{4sina*cosa}=\frac{ctg2a}{2}\\\frac{cos2a}{2*sin2a}=\frac{ctg2a}{2}\\\frac{ctg2a}{2}=\frac{ctg2a}{2} $$

  • докажите тождество 1-cos^2t/1-sin^2t+tgt*ctgt=1/cos^2t.


    Решение: 1-cos²t sin²t sin²t+cos²t 1

    - + tgt *ctgt= - + 1=- = -

     1-sin²t cos²t cos²t cos²t

     

      1 1

      - = -

      cos²t cos²t

    sin^2t/cos^2t+1=1/cos^2t

    А sin^2t/cos^2t это и есть tg^2t

    следовательно tg^2t+1=1/cos^2t

    тождество доказано)

  • ДОКАЖИТЕ ТОЖДЕСТВО
    \( cos ^{6} a+sin ^{6} a=1-0,75sin ^{2}2a \)


    Решение: Займемся сначала левой частью равенства
    $$ cos^6 \alpha + sin^6 \alpha =(1-sin^2 \alpha )^3+sin^6 \alpha= \\ =(1-2sin^2 \alpha +sin^4 \alpha )(1-sin^2 \alpha )+sin^6 \alpha = \\ =1-2sin^2 \alpha +sin^4 \alpha -sin^2 \alpha +2sin^4 \alpha -sin^6 \alpha +sin^6 \alpha= \\ =1-3sin^2 \alpha +3sin^4 \alpha $$
    теперь рассмотрим правую часть
    $$ 1-0,75sin^2(2 \alpha )=1-0,75(2sin \alpha cos \alpha )^2=1-3sin^2 \alpha cos^2 \alpha = \\ =1-sin^2 \alpha (1-sin^2 \alpha )=1-3sim^2 \alpha +3sin^4 \alpha $$
    видим, что обе части равенства свелись к одному и тому же выражению

  • 1. Найдите значение выражений: a) sin58*cos13* - cos 58*sin13* b) cos pi/12 cos 7pi/12- sin pi/12sin 7pi/12 2. Упростите выражение: a) cos(t-s) - sin t sin s b) 1/2 cos a(альфа) - sin (pi/6 + a(альфа) ). 3. Докажите тождество sin (a(альфа) - b(бета) ) + sin ( a - b ) = 2sin a cos b. 4. Решить уравнение sin 3x cos x + cos 3x sin x = 0. 5. Зная, что sin a(альфа) = - 12/13, pi < a < 3pi/2, найдите tg (pi/4 - a). 6. Известно, что cos (pi/4 + t) +cos (pi/4 - t) = p Найдите cos (pi/4 + t ) cos (pi/4 - t).


    Решение: 1

    a) sin58*cos13* - cos 58*sin13*=sin(58-13)=sin(45)=√2/2

    b) cos pi/12 cos 7pi/12- sin pi/12sin 7pi/12=cos(pi/12+ 7pi/12)=

    =cos(8pi/12)=-1/2

    2

    a) cos(t-s) - sin t sin s=cost cos s+ sin t sin s-sin t sin s=cost cos s

    b) 1/2 cos a(альфа) - sin (pi/6 + a(альфа) =1/2 cos a(альфа)-sinpi/6cosa - cos pi/6sina=1/2 cos a(альфа)-1/2 cosa - √3/2sina=- √3/2sina

    3

    Вы неверно указали условие.

    4

    sin 3x cos x + cos 3x sin x = 0.

    sin4x=0=sin 0

    4x=πn, n∈Z

    x=πn/4, n∈Z

    5

    sin a(альфа) = - 12/13, pi < a < 3pi/2, найдите tg (pi/4 - a).

    sin²a+cos²a=1

    cos²a=1-144/169=25/169

    cosa=-5/13

    tga=12/5=2.4

    tg (pi/4 - a)=(tg pi/4-tg a)/(1+tgatg pi/4)=(1-2.4)/(1+2.4)=-1.4/3.4=-7/17

  • Докажите тождество
    cos(3/2π+4α)+sin(3π-8α)-sin(4π-12α)=4cos2α cos4α sin 6α


    Решение: cos(3/2π+4α)+sin(3π-8α)-sin(4π-12α)=4cos2α cos4α sin 6α
    Упростим левую часть
    cos(3/2π + 4α) + sin(3π - 8α) - sin(4π - 12α) = sin4α + sin8α + sin12α = 
    = (sin4α + sin8α) + sin12α = 2sin(4α + 8α)/2*cos(4α - 8α)/2 + sin12α =
    = 2sin6α*cos2α + sin12α =  2sin6α*cos2α + sin[2*(6α)] = 
    2sin6α*cos2α + 2sin6αcos6α  = 2sin6α(cos2α + cos6α) = 
    = [2sin6α]*[2cos(2α + 6α)/2*cos(2α - 6α)/2] = 4cos2αcos4αsin6α
    4cos2αcos4αsin6α = 4cos2αcos4αsin6α
    Тождество доказано

<< < 456 7 8 > >>