докажите тождество - страница 3
1) ДОКАЖИТЕ ТОЖДЕСТВО: cos(a-90)+sin(a-180)+tg^2(180-a)+ctg^2(a-180)=tg^2(a)+ctg^2(a)
2)sin(t)=5/13 pi>t>pi/2, найти cos(t),tg^2(t),sin^2(t)
Решение: Cos(α-90)=cos(-(90-α))=cos(90-α)=sinα
sin(α-180)=sin(-(180-α))=-sin(180-α)=-sinα
tg²(180-α)=(tg(180-α))²=(-tgα)²=tg²α
ctg²(α-180)=(ctg(-(180-α)))²=(-ctg(180-α))²=(ctgα)²=ctg²α
cos(α-90)+sin(α-180)+tg²(180-α)+ctg²(α-180)=sinα-sinα+tg²α+ctg²α=tg²α+ctg²α
tg²α+ctgα=tg²α+ctg²α
2. sin²t=(5/13)², sin²t=25/169
sin²t+cos²t=1
cos²t=1-(5/13)², cos²t=144/169
cost=+-12/13, π/2<t<π, ⇒cost<0
cost=-12/13
tg²t=sin²t/cos²t, tg²t=(25/169)/(144/169).
tg²t=25/144$$ 1)cos(a-90)+sin(a-180)+tg ^{2} (180-a)+ctg ^{2} (a-180)= \\ =tg ^{2} a+ctg ^{2} a \\ \\ cos(a-90)+sin(a-180)+tg ^{2} (180-a)+ctg ^{2} (a-180)= \\ =cos(90-a)-sin(180-a)+tg^{2} a-ctg ^{2} (180-a)= \\ =sina-sina+tg ^{2} a+ctg ^{2} a=tg ^{2} a+ctg ^{2} a \\ 2)sint= \frac{5}{13} ;t\in ( \frac{ \pi }{2} ; \pi ) \tot\in II \\ \\ cost=- \sqrt{1-sin ^{2} t} =- \sqrt{1- (\frac{5}{13} ) ^{2} } =- \sqrt{1- \frac{25}{169} } =- \sqrt{ \frac{169-25}{169} } = \\ \\ =- \sqrt{ \frac{144}{169} } =- \frac{12}{13} \\ \\ sin ^{2}t = \frac{25}{169} \\ \\ cos ^{2} t= \frac{144}{169} \\ \\ tg ^{2} t= \frac{sin ^{2} t}{cos^{2} t} = \frac{25}{169} : \frac{144}{169} = \frac{25*169}{169*144} = \frac{25}{144} $$
Cos^2a(1+tg^2a)-sin^2a=cos^2a докажите тождество
Решение: Дополнительные формулы: $$ 1+tg^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha } \\ 1-\sin^2 \alpha =\cos^2 \alpha \\ \cos^2 \alpha (1+tg^2 \alpha )-\sin^2 \alpha =\cos^2 \alpha \\ \cos^2 \alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha } -\sin^2 \alpha =\cos^2 \alpha \\ 1-\sin^2 \alpha =\cos^2 \alpha \\ \cos^2 \alpha =\cos^2 \alpha $$
Что и требовалось доказать
Упрастите выражение (sin2a-cosa)/(2sina-1)
докажите тождество cos(a-b)+sin(-a)*sin(-b)=cosa cosb
Решение: $$ 1) \frac{sin2 \alpha -cos \alpha }{2sin \alpha -1}= \frac{2sin \alpha\cdot cos \alpha -cos \alpha }{2sin \alpha -1}= \frac{cos \alpha (2sin \alpha-1) }{2sin \alpha -1}=cos \alpha $$
2) применяем формулу cos (α+β)=cosβcosβ-sinαsinβ,
так как функция sin х - нечетная, то sin(-α)=-sinα, sin (-β)=-sinβ
$$ cos( \alpha + \beta )+sin(- \alpha )\cdot sin(- \beta )= cos \alpha \cdot cos \beta \\ cos \alpha\cdot cos \beta -sin \alpha \cdot sin \beta +sin \alpha \cdot sin \beta =cos \alpha \cdot cos \beta \\ cos \alpha \cdot cos \beta =cos \alpha \cdot cos \beta $$
равенство cos(α-β)+sinα·sinβ=cosαcosβ+sinα·sinβ+sinα·sinβ≠cosα·cosβ1. Докажите тождество: cos^2t/1-sint (дробь) - sin^2t - cos^2t= sint
2. Известно, что tg t= 7/24 (дробь), пи < t < 3пи/2 (дробь)
Вычислить sint, cost, ctg t.
Решение: 1) Итак, t лежит во второй четверти. Из основного тригонометрического тождества sin^2a+cos^2a=1 => cos^2a=1-sin^2a => cosa=(+/-) корень из(1-sin^2a). Теперь к нашему примеру. Найдем косинус. Так как t лежит во второй четверти, где косинус отрицательный, перед корнем ставим знак минус: cost=-корень из(1-(8/17)^2)=-корень из(1-(64/289))=-корень из(225/289)=-15/17.
Далее tgt=sint/cost=(8/17)/(-15/17)=-8/15
ctg=1/tgt=cost/sint=-15/8
2) ctgt=1/tgt=-35/12
t лежит во второй и третьей четверти.
Имеем формулу: 1+tg^2a=1/cos^2a => cos^2a=1/(1+tg^2a). Переходим к нашему примеру.
cos^2t=1/(1+tg^2t)=1/(1+(-12/35)^2)=1/(1+144/1225)=1/(1369/1225)=1225/1369
Т. е. получили, что cos^2t=1225/1369. Тогда cost=-корень из (1225/1369)=-35/37
Перед корнем ставится знак минуса, потому что косинус во второй и третьей четверти отрецательный. Найдем синус из формулы tgt=sint/cost -12/35=sint/(-35/37) => sint=(-12/35)*(-35/37)=12/371. Докажите что верно равенство sin20+sin40-cos10=0
2. упростите выражение: sin3a-sin a* cos2a
_______________
sin3a+sin a
3. докажите тождество : sin4a +2cos3a-sin2a
________________ =ctg3a
cos4a -2sin3a-cos2a
Решение: sin20+sin40-cos10=0Сложим синусы по формулам суммы:
2sin30*cos10-cos10=0
Вынесем общий множитель:
cos10(2sin30-1)=0
Произведение равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0, в данном случае
(2sin30-1)=(2*1/2-1)=0
2.sin3a-sina*cos2a
По формулам произведения умножим синус на косинус:
sin3a-1/2 (sin(-a)+sin3a)=sin3a+1/2 sina - 1/2 sin3a=1/2(sin3a+sina)
По формулам суммы сложим синусы:
1/2(sin3a+sina)=1/2*2sin2a*cosa = sin2a*cosa=2sina*cosa*cosa = 2sina*cos^2 a
3.$$ \frac{sin4a+2cos3a-sin2a}{cos4a-2sin3a-cos2a}=-ctg3a $$
Т. к. в правой части ничего изменить нельзя, то будем работать только с левой части уравнения, пытаюсь представить ее в виде -ctg3a.
В числители вычтем синусы, в знаменателе - косинусы.
$$ \frac{sin4a+2cos3a-sin2a}{cos4a-2sin3a-cos2a}=\frac{2sina*cos3a+2cos3a}{-2sin3a*sina-2sin3a} $$
Вынесем в числителе и знаменателе общий множитель:
$$ \frac{2cos3a(sina+1)}{-2sin3a(sina+1)} $$
Сокращаем и получаем -cos3a/sin3a=-ctg3a
Найдите значения выражения a)ctg 135 градусов b)cos 7пи/6
Упростите выражение a)tg(пи/2-a)+ctg(пи-a) b)cos(альфа+бета) - sin альфа sin бета
c)2 tg a /sin 2a
Докажите тождество cos^2 a - sin^2 a/4 sin a cos a = ctg 2a/2
Решение: a)ctg 135=-ctg45=-1b)cos 7пи/6=cos210=-cos30=-√3/2
a)tg(пи/2-a)+ctg(пи-a)=ctga+(-ctga)=0
c)2 tg a /sin 2a = 2 tg a/(2 tg a/(1+tg²a) = 1+tg²a
Формулы, которые использовались:
$$ cos2a=cos^2a-sin^2a\\sin2a=2sina*cosa\\ctg2a=\frac{cos2a}{sin2a} $$
$$ \frac{cos^2a-sin^2a}{4sina*cosa}=\frac{ctg2a}{2}\\\frac{cos2a}{2*sin2a}=\frac{ctg2a}{2}\\\frac{ctg2a}{2}=\frac{ctg2a}{2} $$
докажите тождество 1-cos^2t/1-sin^2t+tgt*ctgt=1/cos^2t.
Решение: 1-cos²t sin²t sin²t+cos²t 1- + tgt *ctgt= - + 1=- = -
1-sin²t cos²t cos²t cos²t
1 1
- = -
cos²t cos²t
sin^2t/cos^2t+1=1/cos^2t
А sin^2t/cos^2t это и есть tg^2t
следовательно tg^2t+1=1/cos^2t
тождество доказано)
ДОКАЖИТЕ ТОЖДЕСТВО
\( cos ^{6} a+sin ^{6} a=1-0,75sin ^{2}2a \)
Решение: Займемся сначала левой частью равенства
$$ cos^6 \alpha + sin^6 \alpha =(1-sin^2 \alpha )^3+sin^6 \alpha= \\ =(1-2sin^2 \alpha +sin^4 \alpha )(1-sin^2 \alpha )+sin^6 \alpha = \\ =1-2sin^2 \alpha +sin^4 \alpha -sin^2 \alpha +2sin^4 \alpha -sin^6 \alpha +sin^6 \alpha= \\ =1-3sin^2 \alpha +3sin^4 \alpha $$
теперь рассмотрим правую часть
$$ 1-0,75sin^2(2 \alpha )=1-0,75(2sin \alpha cos \alpha )^2=1-3sin^2 \alpha cos^2 \alpha = \\ =1-sin^2 \alpha (1-sin^2 \alpha )=1-3sim^2 \alpha +3sin^4 \alpha $$
видим, что обе части равенства свелись к одному и тому же выражению
1. Найдите значение выражений: a) sin58*cos13* - cos 58*sin13* b) cos pi/12 cos 7pi/12- sin pi/12sin 7pi/12 2. Упростите выражение: a) cos(t-s) - sin t sin s b) 1/2 cos a(альфа) - sin (pi/6 + a(альфа) ). 3. Докажите тождество sin (a(альфа) - b(бета) ) + sin ( a - b ) = 2sin a cos b. 4. Решить уравнение sin 3x cos x + cos 3x sin x = 0. 5. Зная, что sin a(альфа) = - 12/13, pi < a < 3pi/2, найдите tg (pi/4 - a). 6. Известно, что cos (pi/4 + t) +cos (pi/4 - t) = p Найдите cos (pi/4 + t ) cos (pi/4 - t).
Решение: 1a) sin58*cos13* - cos 58*sin13*=sin(58-13)=sin(45)=√2/2
b) cos pi/12 cos 7pi/12- sin pi/12sin 7pi/12=cos(pi/12+ 7pi/12)=
=cos(8pi/12)=-1/2
2
a) cos(t-s) - sin t sin s=cost cos s+ sin t sin s-sin t sin s=cost cos s
b) 1/2 cos a(альфа) - sin (pi/6 + a(альфа) =1/2 cos a(альфа)-sinpi/6cosa - cos pi/6sina=1/2 cos a(альфа)-1/2 cosa - √3/2sina=- √3/2sina
3
Вы неверно указали условие.
4
sin 3x cos x + cos 3x sin x = 0.
sin4x=0=sin 0
4x=πn, n∈Z
x=πn/4, n∈Z
5
sin a(альфа) = - 12/13, pi < a < 3pi/2, найдите tg (pi/4 - a).
sin²a+cos²a=1
cos²a=1-144/169=25/169
cosa=-5/13
tga=12/5=2.4
tg (pi/4 - a)=(tg pi/4-tg a)/(1+tgatg pi/4)=(1-2.4)/(1+2.4)=-1.4/3.4=-7/17
Докажите тождество
cos(3/2π+4α)+sin(3π-8α)-sin(4π-12α)=4cos2α cos4α sin 6α
Решение: cos(3/2π+4α)+sin(3π-8α)-sin(4π-12α)=4cos2α cos4α sin 6α
Упростим левую часть
cos(3/2π + 4α) + sin(3π - 8α) - sin(4π - 12α) = sin4α + sin8α + sin12α =
= (sin4α + sin8α) + sin12α = 2sin(4α + 8α)/2*cos(4α - 8α)/2 + sin12α =
= 2sin6α*cos2α + sin12α = 2sin6α*cos2α + sin[2*(6α)] =
2sin6α*cos2α + 2sin6αcos6α = 2sin6α(cos2α + cos6α) =
= [2sin6α]*[2cos(2α + 6α)/2*cos(2α - 6α)/2] = 4cos2αcos4αsin6α
4cos2αcos4αsin6α = 4cos2αcos4αsin6α
Тождество доказано
