тождество » как доказать тождество
  • докажите тождества:

    2sin(90-a)*sina=sin2a

    (sina+cosa)^2=1+sin2


    Решение: по формулам приведения sin(90-α)=cosα. ( так как угол (90-α) принадлежит 1 четверти, то знак будет +)

    а (2sinα*cosα) - формула синуса двойного угла и равна sin2α,

    ⇒2cosα*sinα=sin2α, что и требовалось доказать

    (sinα+cosα)²=sin²α + 2sinα*cosα + cos²α

    sin²α+sin²α=1(основное тригонометрическое тождество)

    2sinα*cosα=sin2α 

    ⇒(sinα+cosα)²=sin²α + 2sinα*cosα + cos²α=1 + sin2α, что и требовалось доказать

  • Доказать тождества:
    1. cos36=√5/4+1/4
    2. sin18=√5/4-1/4
    3. ctg10ctg50ctg70=ctg30
    4. sin10sin30sin50sin70=1/16
    5. sin(3π/10)-sin(π/10)=0.5


    Решение: sin18=sin(90-72)=cos72
    sin54=sin(90-54)=cos36, пусть 18°=х, тогда
    sin3x=cos2x
    3sinx-4sin³x=1-2sin²x, пусть sinx=t, тогда
    3t-4t³=1-2t²
    4t³-2t²-3t+1=0 (один из корней равен 1, чтобы найти остальные можно воспользоваться схемой Горнера или делением столбиком)
    4t²+2t-1=0
    D=4+16=20=(2√5)²
    t₁=(-2+2√5)/8=-1/4 + √5/4
    t₂.
    Обратная замена: t=sinx=sin18
    sin18= √5/4 - 1/4 
    cos18=√(1-sin²18)=√(1-(√5/4 - 1/4)²)=√((5+√5)/8)
    cos36=2cos²18-1=(2*(5+√5)/8)-1=(1+√5)/4=√5/4 + 1/4

  • На какое выражение нужно заменить *, чтобы равенство 27-с^6=(3-с^2)(*) стало тождеством?


    Решение: $$ 27-c^6=3^3-(c^2)^3=(3-c^2)(3^2+3c^2+(c^2)^2)= \\ =(3-c^2)(9+3c^2+c^4) $$
  • Доказать тождества:
    \( sin( \frac{ \pi }{2} +3 \alpha )/ 1-sin(3 \alpha - \pi )=\\= ctg( \frac{5}{4} \pi + \frac{3}{2} \alpha ) \)
    2sin²(3π-2α)cos²(5π+2α)=1/4-1/4sin(5/2π-8α)


    Решение: Скобки надо было в знаменателе поставить
    Синус - функция нечетная⇒sin(-α)=-sinα
    cos2α=cos^2(α)-sin^2(α); sin2α=2sinαcosα; 1=sin^2α+cos^2α
    ctg(x+y)=(ctgx*ctgy-1)/(ctgx+ctgy)
    1) sin(π/2+3α)=cos3α - по формулам привидения
    cos3α=cos^2(3α/2)-sin^2(3α/2)=(cos(3α/2)-sin(3α/2))(cos(3α/2)+sin(3α/2)) - результат в числителе
    sin(3α-π)=sin(-(π-3α))=-sin(π-3α)=-sin3α - по формулам привидения
    1-sin(3α-π)=1+sin3α=sin^2(3α/2)+2sin(3α/2)cos(3α/2)+cos^2(3α/2)=
    =(cos(3α/2)+sin(3α/2))^2 - результат в знаменателе
    Разделим числитель на знаменатель, получим слева:
    (cos(3α/2)-sin(3α/2))/(cos(3α/2)+sin(3α/2))
    Теперь разделим числитель и знаменатель почленно на sin(3α/2):
    ((ctg(3α/2)-1)/(1+ctg(3α/2))
    ctg(5π/4+3α/2)=(ctg5π/4*ctg3α/2-1)/(ctg5π/4+ctg3α/2)
    ctg5π/4=ctg(π+π/4)=ctgπ/4=1 - по формулам привидения⇒
    ctg(5π/4+3α/2)=(ctg3α/2-1)/(1+ctg3α/2)
    Видим, что результат слева равен результату справа
    Тождество доказано.

  • Нужно доказать тождества: a) \( 1-tg^2 -\alpha=\frac{cos2\alpha}{cos^2\alpha} \)
    b) \(ctg^2\alpha - 1=\frac{cos2\alpha}{sin^2\alpha} \)


    Решение: А) В левой части тождества запишем тангенс как sin²(-α)/cos²(-α), так как синус и косинус в квадрате, то минусы у аргументов самоуничтожаются и останется sin²α/cos²α, тогда тождество перепишется в виде: 1-sin²α/cos²α=cos2α/cos²α, 
    приведем левую часть тождества к общему знаменателю, получим cos²α-sin²α/cos²α=cos2α/cos²α, выражение cos²α-sin²α является формулой двойного угла косинуса, то есть cos²α-sin²α=cos2α; тогда cos2α/cos²α=cos2α/cos²α. Тождество доказано.
    б) Котангенс представим в виде cos²α/sin²α, тогда cos²α/sin²α-1=cos2α/sin²α,
    левую часть приведем к общему знаменателю, получим cos²α-sin²α/sin²α=cos2α/sin²α. Далее, аналогично первому доказательству. cos2α/sin²α=cos2α/sin²α. Тождество доказано

  • Доказать тождества \(\frac{2sin( \frac{ \pi }{3}+ \alpha ) }{cos \alpha } = \sqrt{3} +tg \alpha \)
    \( \frac{sin( \frac{ \pi }{2}+ \alpha )+ctg( \pi + \alpha ) }{-tg( \frac{3 \pi }{2} + \alpha )} = sin \alpha +1 \)
    \( \frac{2sin (\frac{ \pi }{6}- \alpha ) }{cos \alpha } = 1- \sqrt{3} tg \alpha\)


    Решение: $$ \frac{2sin( \frac{ \pi }{3}+ \alpha ) }{cos \alpha } = \frac{2(sin \frac{ \pi }{3}cos \alpha +cos \frac{ \pi }{3} sin\alpha ) }{cos \alpha } = \frac{2( \frac{ \sqrt{3} }{2} cos \alpha + \frac{ 1}{2} sin\alpha ) }{cos \alpha } = \\ \frac{ \sqrt{3} cos \alpha }{cos \alpha }+\frac{ sin\alpha }{cos \alpha } = \sqrt{3} +tg \alpha \\ \frac{sin( \frac{ \pi }{2}+ \alpha )+ctg( \pi + \alpha ) }{-tg( \frac{3 \pi }{2} + \alpha )} = \frac{cos\alpha +ctg\alpha }{ctg\alpha }=\frac{cos\alpha }{ctg\alpha }+\frac{ctg\alpha }{ctg\alpha }=sin \alpha +1 \\ \frac{2sin (\frac{ \pi }{6}- \alpha ) }{cos \alpha } =\\= \frac{2(sin \frac{ \pi }{6}cos \alpha -cos \frac{ \pi }{6}sin \alpha ) }{cos \alpha } =\\= \frac{2( \frac{1}{2} cos \alpha - \frac{ \sqrt{3} }{2}sin \alpha ) }{cos \alpha } =\frac{ cos \alpha - \sqrt{3} sin \alpha }{cos \alpha } = \\ 1- \sqrt{3} tg \alpha $$

    1. $$ \frac{2sin ( \frac{ \pi }{3}+ \alpha )}{cos \alpha } = \frac{2(sin \frac{ \pi }{3}*cos \alpha+sin \alpha *cos\frac{ \pi }{3})}{cos \alpha } =\\= \frac{2(sin 60*cos \alpha+sin \alpha *cos60)}{cos \alpha } = $$
    =$$ \frac{2(\frac{ \sqrt{3}}{2}*cos \alpha+sin \alpha * \frac{1}{2} )}{cos \alpha } = \frac{ \sqrt{3}*cos \alpha }{cos \alpha } + \frac{ sin \alpha }{cos \alpha } = \sqrt{3}+tg \alpha $$
    2. $$ \frac{sin ( \frac{ \pi }{2}+ \alpha )+ctg( \pi + \alpha )}{-tg( \frac{3 \pi }{2}+ \alpha ) } = \frac{cos \alpha+ctg \alpha }{-(-ctg \alpha)}=\frac{cos \alpha}{ctg \alpha}+\frac{ctg \alpha }{ctg \alpha}=sin \alpha +1 $$
    3. $$ \frac{2sin ( \frac{ \pi }{6}- \alpha )}{cos \alpha }= \frac{2(sin \frac{ \pi }{6}*cos \alpha-sin \alpha *cos\frac{ \pi }{6})}{cos \alpha }=\\= \frac{2(sin30*cos \alpha-sin \alpha *cos30)}{cos \alpha }= $$
    =$$ \frac{2( \frac{1}{2}*cos \alpha-sin \alpha * \frac{ \sqrt{3}}{2} )}{cos \alpha }= \frac{cos \alpha }{cos \alpha } - \frac{ \sqrt{3} sin \alpha }{cos \alpha } =1- \sqrt{3} tg \alpha $$