как доказать тождество - страница 2
Найти значение:
1)sin2(не квадрат) альфа, если 90градусов< альфа< 180градусов,sinальфа = 5/13
2)cos2(не квадрат) альфа, если sinальфа=√2 - 1
Доказать тождество:
sinальфа + tgальфа/1 + cosальфа = tgальфа
Решение: $$ 1)\; \; sin \alpha =\frac{3}{5}\;,\ \; 90\ < \ \alpha \ < \ 180;(cos \alpha \ < \ 0)\\\\sin2 \alpha =2sin \alpha \cdot cos \alpha =2sin \alpha \cdot (-\sqrt{1-sin^2 \alpha })=\\\\=-2\cdot \frac{3}{5}\cdot \sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{6}{5}\cdot \frac{4}{5}=-\frac{24}{25}\\\\2)\; \; sin \alpha =\sqrt2-1\\\\cos2 \alpha =cos^2 \alpha -sin^2 \alpha =(1-sin^2 \alpha )-sin^2 \alpha =\\\\=1-2sin^2 \alpha =1-2\cdot (\sqrt2-1)^2=1-2\cdot (3-2\sqrt2)=\\\\=1-6+4\sqrt2=4\sqrt2-5 \\ 3)\; \; \frac{sin \alpha +tg \alpha }{1+cos \alpha }= \frac{sin \alpha +\frac{sin \alpha }{cos \alpha }}{1+cos \alpha } = \frac{sin \alpha \cdot cos \alpha +sin \alpha }{cos \alpha (1+cos \alpha )} =\\\\= \frac{sin \alpha \cdot (cos \alpha +1)}{cos \alpha (1+cos \alpha )} =\frac{sin \alpha }{cos \alpha }=tg \alpha $$
1
cosa=-√(1-sin²a)=-√(1-25/169)=-√(144/169)=-12/13
sin2a=2sinacosa=2*5/13*(-12/13)=-120/169
2
cos2a=1-2sin²a=1-2(√2-1)²=1-4+4√2-2=4√2-5
3
(sina+sina/cosa):(1+cosa)=(sinacosa+sina)/cosa:(1+cosa)=
sina(cosa+1)/[cosa(1+cosa)]=sina/cosa=tga
tga=tga
Доказать тождество
\( \frac{tg3 \beta }{tg2 \beta } -1- \frac{tg \beta }{tg2 \beta } =tg \beta tg3 \beta \)
Решение: $$ \beta =b\\ \frac{tg3b}{tg2b}-1-\frac{tgb}{tg2b}=tgb*tg3b\\\\ tg3b=\frac{sin3b}{cos3b}=\frac{(4cos^2b-1)sinb}{4cos^3b-3cosb}\\\\ tg2b=\frac{sin2b}{cos2b}=\frac{2sinb*cosb}{2cos^2b-1}\\\\ \frac{tg3b}{tg2b} = \frac{8cos^4b-6cos^2b+1}{8cos^4b-6cos^2b}\\\\ \frac{tgb}{tg2b}=\frac{2cos^2b-1}{2cos^2b}\\\\ tgb*tg3b=\frac{ 3sin^2b-4sin^4b}{4cos^4b-3cos^2b}\\\\ \frac{8cos^4b-6cos^2b+1}{8cos^4b-6cos^2b}-\frac{2cos^2b-1}{2cos^2b}-1=\frac{3sin^2b-4sin^4b}{4cos^4b-3cos^2b}\\\\ $$
то есть надо теперь доказать это выражение
$$ \frac{8cos^4b-6cos^2b+1}{8cos^4b-6cos^2b}-\frac{2cos^2b-1}{2cos^2b}-1=\frac{3sin^2b-4sin^4b}{4cos^4b-3cos^2b}\\\\ \frac{8cos^4b-6cos^2b+1}{2cos^2b(4cos^2b-3)}-\frac{(2cos^2b-1)(4cos^2b-3)}{2cos^2b(4cos^2b-3)} \\ \frac{8cos^4b-6cos^2b+1}{2cos^2b(4cos^2b-3)}-\frac{(2cos^2b-1)(4cos^2b-3)}{2cos^2b(4cos^2b-3)}-\\ \frac{2cos^2b(4cos^2b-3)}{2cos^2b(4cos^2b-3)}=\frac{3sin^2b-4sin^4b}{4cos^4b-3cos^2b}\\\\ \frac{8cos^4b-6cos^2b+1-(2cos^2b-1)(4cos^2b-3)-2cos^2b(4cos^2b-3)}{2cos^2b(4cos^2b-3)}=\\\\ \frac{6sin^2b-8sin^4b}{8cos^4b-6cos^2b}=\frac{3sin^2b-4sin^4b}{4cos^4b-3cos^2b} $$
то есть верноДоказать тождество. 2tga / 1 +tg^2a (2cos^2a - 1) = sin2a
Решение: В условии опечатка, данное выражение не тождество.
$$ \frac{2tga}{1+tg^2a}(2cos^2a-1)=sin2a \\ \frac{\frac{2sina}{cosa}}{1+\frac{sin^2a}{cos^2a}}(cos2a)=sin2a \\ \frac{\frac{2sina}{cosa}}{\frac{cos^2a+sin^2a}{cos^2a}}(cos2a)=sin2a \\ \frac{\frac{2sina}{cosa}}{\frac{1}{cos^2a}}(cos2a)=sin2a \\ 2sina*cosa(cos2a)=sin2a \\ sin2a*cos2a=sin2a $$
$$ cos2a=1 $$
Тождество неверно.Доказать тождество.
2tga / 1 +tg^2a (2cos^2a - 1) = sin2a
Решение: В условии опечатка, данное выражение не тождество.
$$ \frac{2tga}{1+tg^2a}(2cos^2a-1)=sin2a \\ \frac{\frac{2sina}{cosa}}{1+\frac{sin^2a}{cos^2a}}(cos2a)=sin2a \\ \frac{\frac{2sina}{cosa}}{\frac{cos^2a+sin^2a}{cos^2a}}(cos2a)=sin2a \\ \frac{\frac{2sina}{cosa}}{\frac{1}{cos^2a}}(cos2a)=sin2a \\ 2sina*cosa(cos2a)=sin2a \\ sin2a*cos2a=sin2a $$
$$ cos2a=1 $$
Тождество неверно.Доказать тождество (без нигмы) (tga+ctga)(1-cos4a)=4sin2a
Решение: sina cosa sin²a+cos²a 1 2tga+ctga= - +- = - = - = -
cosa sina sina * cosa 1/2*sin2a sin2a
1-cos4a=2sin²2a (это формула есть готовая)
2 4sin²2a
- * 2sin²2a= - =4sin2a
sin2a sin2a
4sin2a=4sin2a
1) Доказать тождество:
ctg6x-ctg4x+tg2x=-ctg6x*ctg4x*tg2x
2) Найти sin2x, если сosx=0.8 4 четверть
3) Найти cos2x, если cosx=0.6 4 четверть
Решение: 1) Доказать тождество: ctg6x-ctg4x+tg2x=-ctg6x*ctg4x*tg2x
$$ ctgx= \frac{cosx}{sinx}; tgx= \frac{sinx}{cosx} \\ ctg6x-ctg4x+tg2x= \frac{cos6xsin4x-sin6xcos4x}{sin4xsin6x}-tg2x= \\ =\frac{-sin2x}{sin4xsin6x}+ \frac{sin2x}{cos2x}= \frac{sin2x(sin4xsin6x-cos2x)}{cos2xsin4xsin6x}= \\ = \frac{sin2x(1/2cos2x-1/2cos10x-cos2x)}{cos2xsin4xsin6x}= \\ = \frac{-1/2sin2x(cos10x+cos2x)}{cos2xsin4xsin6x}= \frac{-sin2xcos6xcos4x}{cos2xsin4xsin6x}=-ctg6xctg4xtg2x $$
2) Найти sin2x, если сosx=0.8 4 четверть
$$ cosx=0.8; |sinx|= \sqrt{1-0.64}=0.6 \\ IV = sinx=-0.6 sin2x=2sinxcosx=2*(-0.6)*(0.8)=-0.96 $$
3) Найти cos2x, если cosx=0.6 4 четверть
$$ cos2x=2cos^2x-1=2-0.36-1=-0.28 $$
Решить систему: 2^x-y=(1/4)^-3/2;log2x + log2y и ещё одно: Доказать тождество : 2cos2a+sin2a*tga=2cos^2a.
Решение: 1) Так как логарфимическая функция определена на множестве положительных чисел, то ОДЗ системы: х>0, y>0
$$ \left \{ {{2 ^{x-y} =(2 ^{-2}) ^{- \frac{3}{2} } } \atop {log _{2} x+log _{2} y=2}} \right. \\ \left \{ {{2 ^{x-y} =2 ^{3} } \atop {log _{2} xy=log _{2} }4} \right. \Rightarrow \left \{ {{x-y=3} \atop {xy=4}} \right. \Rightarrow \left \{ {{y=x-3} \atop {x(x-3)=4}} \right. $$
Решим второе уравнение
х²-3х-4=0
D=9+16=25
x₁=(3-5)/2=-1<0 не удовлетворяет ОДЗ, x₂=(3+5)/2=4
тогда
у₂=х-3=4-3=1
Ответ х=4, у=1
2) 2 cos 2α+sin2α·tgα=2(cos²α-sin²α)+2 sinα·cosα· (sinα/cosα)=2cos²α-2sin²α+2sin²α=2 cos²α1) Упростить
Cos(альфа-Пи)*ctg(Пи/2+альфа)*sin(4Пи-альфа) / sin(5Пи+альфа)*ctg(3Пи/2-альфа)
2) Вычислить:
sinA(альфа), cosA, tgA, если ctgA=корень из 2, Пи< А<3Пи/2
3) Доказать тождество:
ctg^A-tg^A / 1-tg^A = 1/sin^A
4) sin77*sin13
Решение: $$ 1.\frac{\cos(\alpha-\pi)\cdot ctg(\frac{\pi}2-\alpha)\cdot\sin(4\pi-\alpha)}{\sin(5\pi+\alpha)\cdot ctg(\frac{3\pi}2-\alpha)}=\frac{\cos(\pi-\alpha)\cdot ctg(\frac{\pi}2-\alpha)\cdot\sin(4\pi-\alpha)}{\sin(5\pi+\alpha)\cdot ctg(\frac{3\pi}2-\alpha)}=\\=\frac{-\cos\alpha\cdot tg\alpha\cdot(-\sin\alpha)}{-\sin\alpha\cdot tg\alpha}=-\cos\alpha \\ 2.ctg\alpha=\sqrt2\\tg\alpha=\frac1{ctg\alpha}=\frac1{\sqrt2}\\1+ctg^2\alpha=\frac1{\sin^2\alpha}\Rightarrow\sin^2\alpha=\frac1{1+ctg^2\alpha}=\frac1{1+2}=\frac13\Rightarrow\sin\alpha=\frac1{\sqrt3}\\\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac13}=\sqrt{\frac23}\\ \\ 3.\frac{ctg^2\alpha-tg^2\alpha}{1-tg^2\alpha}=\frac{\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}-\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}{1-\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}=\frac{\cos^4\alpha-\sin^4\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2}:\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\\\frac{(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)((\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}\frac{\cos^2\alpha}{(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)}= \\ =\frac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\frac1{\sin^2\alpha}\\\sin\alpha\sin\beta=\frac{\cos{(\alpha-\beta)}-\cos{(\alpha+\beta)}}{2}\\4.\sin77\sin13=\frac{\cos64-\cos90}2=\frac{\cos64}2 $$1) Упростить
Cos(альфа-Пи)*ctg(Пи/2+альфа)*sin(4Пи-альфа) / sin(5Пи+альфа)*ctg(3Пи/2-альфа)
2) Вычислить:
sinA(альфа), cosA, tgA, если ctgA=корень из 2, Пи< А<3Пи/2
3) Доказать тождество:
ctg^A-tg^A / 1-tg^A = 1/sin^A
4) sin77*sin13
Решение: $$ 1.\frac{\cos(\alpha-\pi)\cdot ctg(\frac{\pi}2-\alpha)\cdot\sin(4\pi-\alpha)}{\sin(5\pi+\alpha)\cdot ctg(\frac{3\pi}2-\alpha)}=\frac{\cos(\pi-\alpha)\cdot ctg(\frac{\pi}2-\alpha)\cdot\sin(4\pi-\alpha)}{\sin(5\pi+\alpha)\cdot ctg(\frac{3\pi}2-\alpha)}=\\=\frac{-\cos\alpha\cdot tg\alpha\cdot(-\sin\alpha)}{-\sin\alpha\cdot tg\alpha}=-\cos\alpha \\ 2.ctg\alpha=\sqrt2\\tg\alpha=\frac1{ctg\alpha}=\frac1{\sqrt2}\\1+ctg^2\alpha=\frac1{\sin^2\alpha}\Rightarrow\sin^2\alpha=\frac1{1+ctg^2\alpha}=\frac1{1+2}=\frac13\Rightarrow\sin\alpha=\frac1{\sqrt3}\\\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac13}=\sqrt{\frac23}\\ \\ 3.\frac{ctg^2\alpha-tg^2\alpha}{1-tg^2\alpha}=\frac{\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}-\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}{1-\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}=\frac{\cos^4\alpha-\sin^4\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2}:\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\\\frac{(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)((\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}\frac{\cos^2\alpha}{(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)}= \\ =\frac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\frac1{\sin^2\alpha}\\\sin\alpha\sin\beta=\frac{\cos{(\alpha-\beta)}-\cos{(\alpha+\beta)}}{2}\\4.\sin77\sin13=\frac{\cos64-\cos90}2=\frac{\cos64}2 $$доказать тождество 1+ctg @/1+tg@=ctg@
Решение: Дробную черту замени знаком деления, приведи дроби к общему знаменателю, деление на дробь замени на умножение обратной дроби, сократи дроби.