как доказать тождество - страница 2
Доказать тождество:
tg x tg (пи/3 - x)tg (пи/3 + x) = tg 3x
Решение: tgx•tg(pi/3-x)•tg(pi/3+x)=tg3x
tgx•[(tg(pi/3)-tgx)/(1+tg(pi/3)•tgx)]•[(tg(pi/3)+tgx)/(1-tg(pi/3)•tgx)]=tg3x
tgx•(√3-tgx)•(√3+tgx)/(1-√3tgx)•(1+√3tgx)=tg3x
tgx•(3-tg²x)/(1-3tg²x)=tg3x
(3tgx-tg³x)/(1-3tg²x)=tg3x
tg3x=tg3x ✓решение:
tgx*tg(pi/3-x)•tg(pi/3+x)=tg3x
tgx*[(tg(pi/3)-tgx)/(1+tg(pi/3)•tgx)]•[(tg(pi/3)+tgx)/(1-tg(pi/3)•tgx)]=tg3x
tgх*(√3-tgx)•(√3+tgx)/(1-√3tgx)•(1+√3tgx)=tg3x
tgx*3-tg²x)/(1-3tg²x)=tg3x
(3tgx-tg³x)/(1-3tg²x)=tg3x
tg3x=tg3xдоказать тождество (tgx-ctgx)tg2x=-2
Решение: tgx*tg2x-ctgx*tg2x=sinxsin2x/cosxcos2x-cosxsin2x/sinxcos2x - приводим дроби к общему знаменателю:
(sin^2xsin2x-cos^2xsin2x)/sinxcosxcos2x - вынесем sin2x за скобку и представим cos2x=cos^2x-sin^2x:
2sinxcosx(sin^2x-cos^2x)/sinxcosx(cos^2x-sin^2x) - сокращаем на sinxcosx:
2(sin^2x-cos^2x)/(cos^2x-sin^2x) - из любой скобки выносим -1, после этого скобки сократятся и останется -2.
Это тождество справедливо для всех икс, кроме x=п/4 - при таком значении выражение слева будет неопределенно! (ноль*∞).Доказать тождество
1+tg^2t=cos^-2t
1+ctg^2t=sin^-2t
cos^2t(1+tg^2t)=1
sin^2t(1+ctg^2t)=1
Решение: 1+tg^2t=cos^-2t1/cos²t=1/cos²t
1+ctg^2t=sin^-2t
1/sin²t=1/sin²t
cos^2t(1+tg^2t)=1
cos²t(1/cos²t)=1
cos²t·1/cos²t=1
sin^2t(1+ctg^2t)=1
sin²t(1/sin²t)=1
-² степень показывает что нужно перевернуть число, допусти дано число 7 в -² степени, значит получается (1/7)²
Доказать тождество
\( tg \alpha + 2tg2 \alpha + 4tg4 \alpha +\\+ 8tg8 \alpha + 16tg16 \alpha + 32ctg32 \alpha = ctg \alpha \)
Решение:Tgα+2tg2α+4tg4α+8tg8a+16tg16a+32ctg32α=ctgα;
tgα+2tg2α+4tg4α+8tg8α+(16tg16α+32ctg32α)=
=tgα+2tg2α+4tg4α+8tg8α+(16tg16α+32·(1-tg²16α)/2tg16α)=
=tgα+2tg2α+4tg4α+8tg8α+(32tg²16α+32-32tg²16α)/2tg16α=
=tgα+2g2α+4tg4α+(8tg8α+16ctg16α)=
=tgα+2tg2α+4tg4α+(16tg²8α+16-16tg²8α)/2tg8α=
=tgα+2tg2α+(4tg4α+8ctg8α)=
=tgα+(2tg2α+4ctg4α)=tgα+2ctg2a=(2tg²α+2-2tg²α)/2tgα=2/2tgα=ctgα;
ctgα=ctgα;
ДОКАЗАТЬ ТОЖДЕСТВО
\( (tg \alpha + ctg \alpha )(1-cos4 \alpha ) = 4 sin2 \alpha \)
Решение: $$ (tg\alpha+ctg\alpha)(1-cos4\alpha)=4sin2\alpha \\ (\frac{cos\alpha}{sin\alpha}+\frac{sin\alpha}{cos\alpha})(1-cos4\alpha)=4sin2\alpha \\ \frac{cos^2\alpha+sin^2\alpha}{cos\alpha*sin\alpha}*(1-cos4\alpha)=4sin2\alpha \\ (cos^2\alpha+sin^2\alpha)(1-cos4\alpha)=4cos\alpha*sin\alpha*sin2\alpha \\ (\frac{1+cos2\alpha}{2}+\frac{1-cos2\alpha}{2})(1-cos4\alpha)=4cos\alpha*sin\alpha*sin2\alpha \\ 1-cos4\alpha=4cos\alpha*sin\alpha*sin2\alpha \\ 1-cos4\alpha=2sin2\alpha*sin2\alpha \\ 1-cos4\alpha=1-cos4\alpha $$
