как доказать тождество - страница 4
доказать тождество cos4альфа+1 = 1/2sin4альфа (ctgальфа-tgальфа)
Решение: разность котангенса и тангенса пишете через синус и косинус и приводите к общему знаменателю, получаете cos альфа^2 - sin альфа^2/sin*cos альфа= cos 2 альфа/sin*cos альфа1/2sin4альфа= sin 2 альфа * cos 2 альфа
sin 2 альфа * cos 2 альфа *cos 2 альфа/sin*cos альфа= 2cos2 альфа^2
cos4альфа+1=2cos2 альфа^2
cos4альфа=cos4альфа
Доказать тождество:
1 - 2sin²α / 1 + sin2α = 1 - tgα / 1+tgα
Решение: (1-2sin²α)/(1+2sinα)=(1-tgα)/(1+tgα)
1. 1-2sin²α=sin²α+cos²α-2sin²α=cos²α-sin²α
2. 1+sin2α=sin²α+cos²α+2sinα*cosα=(sinα+cosα)²
3. 1-tgα=1-sinα/cosα=(cosα-sinα)/cosα
4. 1+tgα=1+sinα/cosα=(cosα+sinα)/cosα
(cos²α-sin²α)/(sinα+cosα)²=[(cosα-sinα)/cosα] / [(cosα+sinα)/cosα]
[(cosα+sinα)*(cosα-sinα)] /(sinα+cosα)²=(cosα-sinα)/(cosα+sinα)
(cosα-sinα)/(sinα+cosα)=(cosα-sinα)/(cosα+sinα)1-2sin²a=cos2a=(cos²a-sin²a)=(cosa-sina)(cosa+sina)
1+sin2a=sin²a+cos²a+2sinacosa=(cosa+sina)²
(1-2sin²a)/(1+sin2a)=(cosa-sina)(cosa+sina)/(cosa+sina)²=(cosa-sina)/(cosa+sina)
1-tga=1-sina/cosa=(cosa-sina)/cosa
1+tga=1+sina/cosa=(cosa+sina)/cosa
(1-tga)/(1+tga)=(cosa-sina)/cosa : (cosa+sina)/cosa=
=(cosa-sina)/cosa *cosa/(cosa+sina)=(cosa-sina)/(cosa+sina)
(cosa-sina)/(cosa+sina)=(cosa-sina)/(cosa+sina)
Tg^2a-sin^2a = tg^2a*sin^2a доказать тождество
Решение: Sin^2 a/ cos^2 a - sin^2 a /1 = sin^2 a / cos ^2 a * sin^2 a /1;
(sin^2 a - sin^2a*cos^2a) / cos^2 a = sin^4 a / cos^2 a;
cos^2a ≠ 0;
cosa ≠ 0;
a ≠ pi/2 + pi*k;
sin^2 a - sin^2a * cos^2 a= sin^4 a;
sin^2 a(1 - cos^2 a) = sin^4 a;
sin^2 a * sin^2 a = sin^4a;
sin^4 a = sin^4 a.Tg²a - sin²a = tg²a · sin²a
tg²a - sin²a = sin²a/cos²a - sin²a · (cos²a) = sin²a - sin²a · cos²a/cos²a = sin²a(1 - cos²a)/cos²a = sin²a · sin²a/cos²a = tg²a · sin²a
tg²a · sin²a = tg²a · sin²a
(cos альфа + sin альфа ) / (cos альфа - sin альфа )=tg(pi/4 + альфа) доказать тождество
Решение: используя формулы косинуса суммы, синуса суммы и основное тригонометрическое тождество:(cos альфа + sin альфа ) / (cos альфа - sin альфа )=
(корень(2)/2*cos альфа + корень(2)/2*sin альфа ) / (корень(2)/2*cos альфа - корень(2)/2*sin альфа )=
=(sin(pi/4)*cos альфа + cos(pi/4)*sin альфа ) / (cos (pi/4) *cos альфа - sin(pi/4)*sin альфа)
=sin(pi/4 + альфа)/cos(pi/4 + альфа)=tg(pi/4 + альфа), что и требовалось доказать
упростить выражение: tg (-t) * cos t - sin (4 Пи - t)
И доказать тождество: ctg t * sin^2 t = (tg t +ctg t)^-1
Решение: 1)
$$ tg (-t) * cos\ t - sin (4\pi - t) = -tg\ t * cos\ t - sin (-t)=\\ =-\frac{sin\ t}{cos\ t}*cos\ t+sin\ t=-sin\ t+sin\ t=0 $$
2)
$$ ctg\ t * sin^2 t = (tg\ t +ctg\ t)^{-1}\\ \frac{cos\ t}{sin\ t} * sin^2 t = (\frac{sin\ t}{cos\ t} +\frac{cos\ t}{sin\ t} )^{-1}\\ cos\ t*sin\ t=(\frac{sin^2\ t+cos^2\ t}{cos\ t*sin\ t} )^{-1}\\ \\ cos\ t*sin\ t=(\frac{1}{cos\ t*sin\ t} )^{-1}\\ cos\ t*sin\ t=cos\ t*sin\ t $$
Левая часть равна правой. Тождество доказано.1. 1 - 4 sin^2 a cos^2 a/2 cos^2 a - 1. Упростить
2. \(\frac{tg(2a)* tg(a)}{tg(2a) - tg(a) }= sin(2a)\) Доказать тождество
Решение: 1 - 4 sin^2 a cos^2 a/2 cos^2 a - 1=1-sin^2(2a)/cos2a=cos^2(2a)/cos2a=cos2a(sin2a*sina)/(sin2a*cosa-sinacos2a)=sin2a*sina/sina=sin2a
вот решение второго:
Доказать тождество:
\( \frac{ctg \alpha }{ctg \alpha +tg \alpha } = cos^{2} \alpha \)
Решение: $$ ctg\alpha: \frac{1}{sin\alpha*cos\alpha} = \frac{cos\alpha}{sin\alpha} :\frac{1}{sin\alpha*cos\alpha} =cos^2\alpha \\ ctg \alpha +tg \alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha} + \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = \frac{cos^2\alpha+sin^2\alpha}{sin\alpha*cos\alpha} = \frac{1}{sin\alpha*cos\alpha} $$
$$ \frac{ctg \alpha }{ctg \alpha +tg \alpha } = \frac{ \frac{1}{tg \alpha } }{\frac{1}{tg \alpha }+tg \alpha } =\frac{1}{tg \alpha (\frac{1}{tg \alpha }+tg \alpha)}=\frac{1}{1+tg^2 \alpha }=\frac{1}{\frac{1}{cos^2 \alpha}}=cos^2 \alpha. $$
Доказать тождество: cos4a + 1 = 1/2 sin4a * (ctga - tga)
Решение: Используемые тождества$$ Sin2x= 2SinxCosx \\ Cos2x = Cos^2x - Sin^2x = 2Cos^2x - 1 $$
. Доказываем правую часть
Помогите доказать тождество: sin(A+B) / sin(A-B) = tgA+tgB / tgA-tgB
Решение: Тождество доказываем, используя формулы синус суммы и разности:sin(A+B) sinA * cosB+sinB * cosA
- = - Разделим числитель и знаменатель на одно и то же
sin(A-B) sinA * cosB-sinB * cosA
выражение (cosA * cosB), не равное 0. Каждое слагаемое в числителе и в знаменателе разделится на это произведение. После сокращения получим
sinA/cosA +sinB/cosB tgA + tgB
- = - что и требовалось доказать. Левая часть=правой части
sinA/cosA-sinB/cosB tgA-tgB
Доказать тождество:
cos 4α + 1 = 0,5 sin 4α (ctg α – tg α)
Решение: Используя формулу для разности квадратов двух чисел, получаем:
sin 4a-cos 4a=(sin 2a+cos 2a) (sin 2a-cos 2a)
Но sin 2a+con 2a=1 Поэтому
sin 4a-con 4a= sin 2a-con 2a, что и требовалось доказать.
