тождество »

как доказать тождество - страница 4

  • 1) Доказать тождество:
    ctg6x-ctg4x+tg2x=-ctg6x*ctg4x*tg2x
    2) Найти sin2x, если сosx=0.8 4 четверть
    3) Найти cos2x, если cosx=0.6 4 четверть


    Решение: 1) Доказать тождество: ctg6x-ctg4x+tg2x=-ctg6x*ctg4x*tg2x
    $$ ctgx= \frac{cosx}{sinx}; tgx= \frac{sinx}{cosx} \\ ctg6x-ctg4x+tg2x= \frac{cos6xsin4x-sin6xcos4x}{sin4xsin6x}-tg2x= \\ =\frac{-sin2x}{sin4xsin6x}+ \frac{sin2x}{cos2x}= \frac{sin2x(sin4xsin6x-cos2x)}{cos2xsin4xsin6x}= \\ = \frac{sin2x(1/2cos2x-1/2cos10x-cos2x)}{cos2xsin4xsin6x}= \\ = \frac{-1/2sin2x(cos10x+cos2x)}{cos2xsin4xsin6x}= \frac{-sin2xcos6xcos4x}{cos2xsin4xsin6x}=-ctg6xctg4xtg2x $$
    2) Найти sin2x, если сosx=0.8 4 четверть
    $$ cosx=0.8; |sinx|= \sqrt{1-0.64}=0.6 \\ IV = sinx=-0.6 sin2x=2sinxcosx=2*(-0.6)*(0.8)=-0.96 $$
    3) Найти cos2x, если cosx=0.6 4 четверть

    $$ cos2x=2cos^2x-1=2-0.36-1=-0.28 $$

  • Решить систему: 2^x-y=(1/4)^-3/2;log2x + log2y и ещё одно: Доказать тождество : 2cos2a+sin2a*tga=2cos^2a.


    Решение: 1) Так как логарфимическая функция определена на множестве положительных чисел, то ОДЗ системы: х>0, y>0
    $$ \left \{ {{2 ^{x-y} =(2 ^{-2}) ^{- \frac{3}{2} } } \atop {log _{2} x+log _{2} y=2}} \right. \\ \left \{ {{2 ^{x-y} =2 ^{3} } \atop {log _{2} xy=log _{2} }4} \right. \Rightarrow \left \{ {{x-y=3} \atop {xy=4}} \right. \Rightarrow \left \{ {{y=x-3} \atop {x(x-3)=4}} \right. $$
    Решим второе уравнение
    х²-3х-4=0
    D=9+16=25
    x₁=(3-5)/2=-1<0 не удовлетворяет ОДЗ, x₂=(3+5)/2=4
    тогда
    у₂=х-3=4-3=1
    Ответ х=4, у=1
    2) 2 cos 2α+sin2α·tgα=2(cos²α-sin²α)+2 sinα·cosα· (sinα/cosα)=2cos²α-2sin²α+2sin²α=2 cos²α

  • 1) Упростить

    Cos(альфа-Пи)*ctg(Пи/2+альфа)*sin(4Пи-альфа) / sin(5Пи+альфа)*ctg(3Пи/2-альфа)

    2) Вычислить:

    sinA(альфа), cosA, tgA, если ctgA=корень из 2, Пи< А<3Пи/2

    3) Доказать тождество:

    ctg^A-tg^A / 1-tg^A = 1/sin^A

    4) sin77*sin13


    Решение: $$ 1.\frac{\cos(\alpha-\pi)\cdot ctg(\frac{\pi}2-\alpha)\cdot\sin(4\pi-\alpha)}{\sin(5\pi+\alpha)\cdot ctg(\frac{3\pi}2-\alpha)}=\frac{\cos(\pi-\alpha)\cdot ctg(\frac{\pi}2-\alpha)\cdot\sin(4\pi-\alpha)}{\sin(5\pi+\alpha)\cdot ctg(\frac{3\pi}2-\alpha)}=\\=\frac{-\cos\alpha\cdot tg\alpha\cdot(-\sin\alpha)}{-\sin\alpha\cdot tg\alpha}=-\cos\alpha \\ 2.ctg\alpha=\sqrt2\\tg\alpha=\frac1{ctg\alpha}=\frac1{\sqrt2}\\1+ctg^2\alpha=\frac1{\sin^2\alpha}\Rightarrow\sin^2\alpha=\frac1{1+ctg^2\alpha}=\frac1{1+2}=\frac13\Rightarrow\sin\alpha=\frac1{\sqrt3}\\\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac13}=\sqrt{\frac23}\\ \\ 3.\frac{ctg^2\alpha-tg^2\alpha}{1-tg^2\alpha}=\frac{\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}-\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}{1-\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}=\frac{\cos^4\alpha-\sin^4\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2}:\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\\\frac{(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)((\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}\frac{\cos^2\alpha}{(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)}= \\ =\frac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\frac1{\sin^2\alpha}\\\sin\alpha\sin\beta=\frac{\cos{(\alpha-\beta)}-\cos{(\alpha+\beta)}}{2}\\4.\sin77\sin13=\frac{\cos64-\cos90}2=\frac{\cos64}2 $$

  • 1) Упростить

    Cos(альфа-Пи)*ctg(Пи/2+альфа)*sin(4Пи-альфа) / sin(5Пи+альфа)*ctg(3Пи/2-альфа)

    2) Вычислить:

    sinA(альфа), cosA, tgA, если ctgA=корень из 2, Пи< А<3Пи/2

    3) Доказать тождество:

    ctg^A-tg^A / 1-tg^A = 1/sin^A

    4) sin77*sin13


    Решение: $$ 1.\frac{\cos(\alpha-\pi)\cdot ctg(\frac{\pi}2-\alpha)\cdot\sin(4\pi-\alpha)}{\sin(5\pi+\alpha)\cdot ctg(\frac{3\pi}2-\alpha)}=\frac{\cos(\pi-\alpha)\cdot ctg(\frac{\pi}2-\alpha)\cdot\sin(4\pi-\alpha)}{\sin(5\pi+\alpha)\cdot ctg(\frac{3\pi}2-\alpha)}=\\=\frac{-\cos\alpha\cdot tg\alpha\cdot(-\sin\alpha)}{-\sin\alpha\cdot tg\alpha}=-\cos\alpha \\ 2.ctg\alpha=\sqrt2\\tg\alpha=\frac1{ctg\alpha}=\frac1{\sqrt2}\\1+ctg^2\alpha=\frac1{\sin^2\alpha}\Rightarrow\sin^2\alpha=\frac1{1+ctg^2\alpha}=\frac1{1+2}=\frac13\Rightarrow\sin\alpha=\frac1{\sqrt3}\\\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac13}=\sqrt{\frac23}\\ \\ 3.\frac{ctg^2\alpha-tg^2\alpha}{1-tg^2\alpha}=\frac{\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}-\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}{1-\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}=\frac{\cos^4\alpha-\sin^4\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2}:\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\\\frac{(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)((\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}\frac{\cos^2\alpha}{(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)}= \\ =\frac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\frac1{\sin^2\alpha}\\\sin\alpha\sin\beta=\frac{\cos{(\alpha-\beta)}-\cos{(\alpha+\beta)}}{2}\\4.\sin77\sin13=\frac{\cos64-\cos90}2=\frac{\cos64}2 $$

  • доказать тождество 1+ctg @/1+tg@=ctg@


    Решение: Дробную черту замени знаком деления, приведи дроби к общему знаменателю, деление на дробь замени на умножение обратной дроби, сократи дроби.

    Дробную черту замени знаком деления приведи дроби к общему знаменателю деление на дробь замени на умножение обратной дроби сократи дроби....
<< < 234 5 6 > >>