тождество »

как доказать тождество - страница 5

  • доказать тождество: (cos2x+sin^2x)/sin2x=1/2 ctgx

    (1+sinx+cosx)/(1+sinx-cosx)=ctg x/2

    (cos3x+cos4x+cos5x)/(sin 3x+sin 4x+sin5x)=ctg 4x

    (1+2cosx+cos2x)/(cos2x-cos3x+cos4x)=tg3x

    упростить выражения: 1 + (сos4x / tg (3пи/4-2x))

    tg (x - 5пи/4)*2 sin^2 (x + 5пи/4)

    ctg (3x/2 + 5пи/4)*(1-sin (3x-пи))


    Решение: 1. (cos2x+sin²x)/sin2x=0,5*ctgx;

    (cos²x-sin²x+sin²x)/sin2x=cos²x/2*sinx*cosx=0,5*(cosx/sinx)=0,5*ctgx. доказанно.

    2. (1+sinx+cosx)/(1+sinx-cosx)=ctg(x/2);

    (1+sin(π/2-x)+sinx)/(1+sinx-sin(π/2-x)) = (1+2*sin(π/4)*cos(π/4-x))/(1+2*sin(x-π/4)*cos(π/4)) = (1+√2*cos(π/4-x))/(1+√2*sin(π/4-x)) = ctg(x/2). доказанно.

    3. (cos3x+cos4x+cos5x)/(sin3x+sin4x+sin5x) = ((2*cos4x*cosx)+cos4x)/((2*sin4x*cosx)+sin4x) = cos4x(2cosx+1)/sin4x(2cosx+1) = cos4x/sin4x=ctg4x - доказанно.

    4. (1+2cosx+cos2x)/(cos2x-cos3x+cos4x) = (2cos²x+2cosx)/(2*cos3x*cosx-cos3x) = 2cosx(cosx+1)/cos3x(2cosx-1)= ......

  • Доказать тождество:

    \( \frac{(Sin t + Cos t)^2 - 1}{Ctg t - Sin t Cos t} = 2 Tg^2 t \)


    Решение: (sin t +cos t)^2 - 1/ (ctg t - sin t*cos t) = 
    =(sin t)^2 +2sin t*cos t+(cos t)^2 - ((sin t)^2+(cos t)^2)/ (ctg t - sin t*cos t) = 

    =(sin t)^2 +2sin t*cos t+(cos t)^2 - (sin t)^2-(cos t)^2/ (ctg t - sin t*cos t) = 
    =2sin t*cos t/ (cos t/sin t) - sin t*cos t
    = 2sin t*cos t/ (cos t - (sin t)^2*cos t)/sin t = 
     = 2sin t*cos t/ (cos t (1- (sin t)^2)/sin t =
    = 2sin t/ (1- (sin t)^2)/sin t = 
    = 2(sin t)^2/ (1- (sin t)^2) =
    =2(sin t)^2/ (1- (sin t)^2)=
    = 2(sin t)^2/ ((sin t)^2+(cos t)^2- (sin t)^2)=
     =2(sin t)^2/ (cos t)^2 = 2 (tg t)^2

  • Помогите доказать тождество
    (sin a - sin 3a)/(cos a - cos 3a) - (cos 2a)/(sin(П+ 2a)) = 0
    (sin^4 a + 2sin a*cos a - cos^4 a)/(tg 2a - 1)= cos(3П + 2a) = 0


    Решение: 1) Вспоминаем и (или) выводим формулы
    sin (pi + 2a) = -sin 2a
    sin 3a = sin(2a + a) = sin 2a*cos a + cos 2a*sin a =
    = 2sin a*cos a*cos a + (1 - 2sin^2 a)*sin a =
    = sin a*(2cos^2 a - 2sin^2 a + 1) = sin a*(2 - 2sin^2 a - 2sin^2 a + 1)
    Получаем
    sin 3a = sin a*(3 - 4sin^2 a)
    Аналогично
    cos 3a = cos a*(4cos^2 a - 3)
    Подставляем
    (sin a*(1 - 3 + 4sin^2 a)) / (cos a*(1 - 4cos^2 a + 3)) + cos 2a / sin 2a =
    = tg a*(4sin^2 a - 2) / (4 - 4cos^2 a) + ctg 2a = -2tg a/(4sin^2 a)*cos 2a + ctg 2a =
    = ctg 2a - sin a/cos a*cos 2a/(2sin^2 a) = ctg 2a - cos 2a/(cos a*2sin a) =
    = ctg 2a - cos 2a/sin 2a = ctg 2a - ctg 2a = 0
    2) У вас опечатка. Вместо = cos(3pi + 2a) должно быть + cos(3pi + 2a)
    Числитель
    sin^4 a + 2sin a*cos a - cos^4 a = sin^4 a - cos^4 a + sin 2a =
    = (sin^2 a + cos^2 a)(sin^2 a - cos^2 a) + sin 2a = 1*(-cos 2a) + sin 2a =
    = sin 2a - cos 2a = cos 2a*(sin 2a/cos 2a - 1) = cos 2a*(tg 2a - 1)
    Поэтому дробь равна cos 2a
    Получаем
    cos 2a + cos(3pi + 2a) = cos 2a - cos 2a = 0

    (sina-sin3a)/(cosa-cos3a)-(cos2a)/(sin(π+2a))=0
    (2sin(-a)cos2a)/(-2sin2a·sin(-a))-(cos2a)/sin(-2a)=0
    -(cos2a)/(sin2a)+(cos2a)/(sin2a)=0
    0=0.
    (sin⁴a+2sina·cosa-cos⁴a)(tg2a-1)+cos(3π+2a)=0, косинус в третьей четверти отрицательный: cos(3π+2a)=-cos2a
    (-(cos⁴a-sin⁴a)+sin2a)/(tg2a-1)-cos2a=0
    (-(cos²a-sin²a)(cos²a+sin²a)+sin2a)/(tg2a-1)-cos2a=0
    (-cos2a+sin2a)/(tg2a-1)-cos2a=0, разделим тождество на cos2a≠0,
    (-1+tg2a)/(tg2a-1)-cos2a=0,
    1-1=0

  • Нужно доказать тождество:
    1-cos^{2}t/1-sin^{2}t+tgt*ctgt=1/cos^{2}t
    известно что sint=-15/17, pi<t<3pi/2
    вычислите cost, tgt, ctgt


    Решение: 1)
    $$ cos^2x+sin^2x=1\\tgx*ctgx=1\\tg^2x+1=\frac{1}{cos^2x}\\\\\frac{1-cos^2t}{1-sin^2t}+tgt*ctgt=\frac{1}{cos^2t}\\\frac{sin^2t}{cos^2t}+1=tg^2t+1\\tg^2t+1=tg^2t+1 $$
    2)
    t находится в 3 четверти, в этой четверти cos отрицателен(узнавали для того чтобы знать какой знак перед корнем будет).
    $$ cosx=\pm\sqrt{1-sin^2x}\\tgx=\frac{sinx}{cosx}\\ctgx=\frac{1}{tgx}\\\\cost=-\sqrt{1-(-\frac{15}{17})^2}=-\sqrt{\frac{289}{289}-\frac{225}{289}}=-\sqrt{\frac{64}{289}}=-\frac{8}{17}\\tgt=\frac{-\frac{15}{17}}{-\frac{8}{17}}=\frac{15}{8}\\ctgt=\frac{8}{15} $$

  • Тригонометрия 10 клаcc
    1) Дано: tg a =3 Условия: 5/4 П Вычислить: sin2a-cos2a
    2) Доказать тождество: \( \frac{1+cos\alpha +cos2\alpha +cos3\alpha}{4cos\frac{\alpha}{2}} = cos\alpha \cdot cos\frac{3}{2}\)


    Решение: Tgα =3
    tg2α = 2tgα/(1 - tg²α) = 6/(1-9) = -6/8 = -3/4
    а) 1 + tg² 2α = 1/Cos²2α
    1 + 9/16 = 1/Cos²2α
    25/16 = 1/Cos²2α
    Cos²2α = 16/25
    Cos2α = 4/5
    б) Sin²2α = 1 - Cos²2α = 1 - 16/25 = 9/25
    Sin2α = 3/5
    Sin2α - Cos2α = 3/5 - 4/5 = -1/5
    2) числитель = 1 + Cosα + Cos2α + Cos3α=
     = 1 + Cos3α + 2Cos1,5αCos0,5α= 2Cos²1,5α + 2Cos1,5αCos0,5α=
    = 2Cos1,5α(Cos1,5α + Cos0,5α) = 2Cos1,5α*2CosαCos0,5α=
    =4Cos1,5αCosαCos0,5α
    видно, что дробь можно  сократить на 4Cos0,5α

  • Доказать тождество:
    а) \( cos^{2} \alpha - sin^{2} \alpha( \pi/4 + \alpha )=\\= \frac{ \sqrt{2} }{2}sin( \pi /4 - 2 \alpha ) \)
    б) \( (cos \alpha - cos \beta)^{2} - (sin \alpha - sin \beta) ^{2}=\\= -4sin ^{2} \frac{ \alpha - \beta }{2}cos( \alpha + \beta) \)
    Вычислить:
    \( tg( \frac{ \pi }{2} + arcctg 1). \)
    \( cos(2arcctg1 - arcsin1 + arctg0) \)


    Решение: $$ cos^2a-sin^2(\pi/4+a)=\frac{\sqrt{2}}{2}sin(\pi/4-2a)\\ \\ (cosa-sin(\pi/4+a))(cosa+sin(\pi/4+a))=\\=(\frac{-\sqrt{2}sina-\sqrt{2}cosa+2cosa}{2})(\frac{\sqrt{2}sina+\sqrt{2}cosa+2cosa}{2}) \\ \frac{2cos2a-2sin2a}{4}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}*(\sqrt{2}/2cos2a-\sqrt{2}/2sin2a)=\\=\frac{2cos2a-2sin2a}{4}\\ $$
    то есть обе части равны! 
    $$ (cosa-cosb)^2-(sina-sinb)^2=\\cos^2a-2cosa*cosb+cos^2b-sin^2a+2sina*sinb-sin^2b=\\= cos2a+cos2b-2cosa*cosb+2sina*sinb=cos2a+cos2b-2cos(a+b)\\ \\ -4sin^2\frac{a-b}{2}*cos(a+b)=\\=(2sina*sinb+2cosa*cosb-2)(cosa*cosb-sina*sinb) = \\=-2cos(a+b)+cos2b+sin2a $$
    то есть тоже равны, сперва доказал справедливость левой, затем правой 
    $$ tg(90+arctg1)=\frac{-cos(arcctg1)}{sin(arcctg1)}=-ctg(arcctg1)\\ -ctg(arctg1)=-1 $$
    Ответ -1
    $$ cos(2arcctg1-arcsin1+arctg0)=cos(2arcctg1-arcsin1)=\\ cos(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2})=cos0=1 $$
    Ответ 1

  • Доказать тождество

    1. 2 cos40° - cos20° / sin20° = √3

    2. 2 cos80° + cos40° / sin40° = √3

    Вычислить

    6 sin 15° cos15° / 2 cos^2 15° - 1

    Упросить

    cos^2 (п-x) + cos^2 (3п/2 - x)


    Решение: 6sin15cos15/2cos^215 -1= 3sin30/cos30=3tg30= √3

    cos^2(pi-x) +cos^2(3pi\2-x)= -cos^2x-sin^2x=-1(cos^2x+sin^2x)=-1

     (2 cos80° + cos40°) / sin40° = √3 (синус общий знаменатель)

    Аналогично доказываете первое тождество

    sin cos cos - sin cos tg cos pi-x cos pi -x -cos x-sin x - cos x sin x -   cos cos sin синус общий знаменатель Аналогично доказываете первое тождество...

  • Доказать тождество:
    \( \frac{1-cos 4 \alpha }{cos \alpha -cos3 \alpha } \)=2 cos\( \alpha \)


    Решение: $$ \frac{1-cos 4 \alpha }{cos \alpha -cos3 \alpha }=2 cos \alpha;\\ \frac{1-cos 4 \alpha }{cos \alpha -cos3 \alpha }=\frac{1-(1-2\sin^22\alpha)}{\cos\alpha-\cos(\alpha+2\alpha)}=\\ =\frac{1-1+2\sin^22\alpha}{\cos\alpha-\cos\alpha\cos2\alpha+\sin\alpha\sin2\alpha}=\\ =\frac{2\sin^22\alpha}{\cos\alpha-\cos\alpha(1-2\sin^2\alpha)+\sin\alpha\sin2\alpha}=\\ =\frac{2\sin^22\alpha}{\cos\alpha-\cos\alpha+2\sin^2\alpha\cos\alpha+\sin\alpha\sin2\alpha}=\\ \\ =\frac{2\sin^22\alpha}{2\sin^2\alpha\cos\alpha+\sin\alpha\sin2\alpha}=\\ =\frac{2\sin^22\alpha}{\sin2\alpha\sin\alpha+\sin\alpha\sin2\alpha}=\frac{2\sin^22\alpha}{2\sin2\alpha\sin\alpha}=\\ =\frac{\sin2\alpha}{\sin\alpha}=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha}=2\cos\alpha;\\ \frac{1-\cos4\alpha}{\cos\alpha-\cos3\alpha}=2\cos\alpha $$
    что и требовалось доказать

  • Доказать тождество 1+sin2x=(sinx+cosx)^2


    Решение: 1 + sin2x = (sinx + cosx)²
    1 + sin2x = sin²x + 2 · sinx · cosx + cox²x
    1 + sin2x = (sin²x + cos²x) + 2 · sinx · cosx
    1 + sin2x = 1 + sin2x

    Решение в скане.

       sin x sinx cosx sin x sin x    sinx  cosx cox x sin x sin x cos x    sinx  cosx sin x sin x Решение в скане....

  • Помогите 8sin20 * cos40 * cos80 = 1 доказать тождество


    Решение: Домножим все на cos20, получим:
    8sin20 * cos20 * cos40 * cos80 = cos20. Т. к. 2*sin20*cos20=sin40, тогда:
    4*sin40*cos40*cos80=cos20. Т. к. 2*sin40*cos40=sin80, то: 2*sin80*cos80=cos20. Получили, что: sin160=cos20. Вообще говоря, sin160=sin(180-20)=sin20. Очевидно, что равенство sin20=cos20 не верно, значит в исходном условии была опечатка. Если бы напечатали: 8*cos20*cos40*cos80=1, то домножив все на sin20, выполняя схожие действия мы бы пришли к равенству sin160=sin20, что верно ))

<< < 345 6 7 > >>