тождество »

как доказать тождество - страница 7

  • Доказать тождество: cos ^4a - sin^4a = 1 - 2 sin^2 a

    Преобразовать произведение в сумму:

    sin18^0*sin12^0


    Решение: (cosa)^4 - (sina)^4 = ((cosa)^2 - (sina)^2) * ((cosa)^2 + (sina)^2) (разность квадратов)

    = cos(2a) * 1 = 1 - 2*(sina)^2

    второе не очень понятно: sin18^0 - это sin 18 градусов?

    sin18 * sin12 = sin(30-12) * sin12 = (sin30*cos12 - cos30*sin12) * sin12 = (1/2 * cos12 - корень(3)/2 * sin12) * sin12 = 1/2 * cos12 * sin12 - корень(3)/2 * sin12 * sin12 = 1/4 * sin24 - корень(3)/2 * (sin12)^2 = 1/4 * sin24 - корень(3)/4 * (1-cos24) =

    1/4 * sin24 + корень(3)/4 * cos24 - корень(3)/4

  • 1. Доказать тождество:
    4cos^4(a)-2cos(2a)-1/2cos(4a)=3/2
    2. Решить уравнение:
    sin^4 xcos^2(x)-cos^4 xsin^2(x)=cos(2x)


    Решение: 1. 4cos^4 α - 2cos2α -1/2(2cos²2α -1) =
      =4cos^4 α - (cos²2α+2cos2α+1) +3/2 =4cos^4α -(cos2α+1)² +3/2 =
      = 4cos^4 α -(2cos²α -1+1)² +3/2 = 4cos^4 α -4cos^4 α +3/2 = 3/2
    2. 
      sin²xcos²x(cos²x - sin²x) = cos2x
      sin²x·cos²x·cos2x = cos2x
      cos2x(sin²x·cos²x - 1) =0
      cos2x=0 ⇒ 2x = π/2 + πk ; k∈Z ⇒ x=π/4 +πk/2 ; k∈Z
      sin²x·cos²x -1 = 0
      (1/2 ·sin2x)²=1
      1/4·sin²x =1
      sinx = +/-2 нет решений. т. к.1≤x≤1
      Ответ : x = π/4+πk/2 ; k∈Z
     

  • докажите тождества:

    2sin(90-a)*sina=sin2a

    (sina+cosa)^2=1+sin2


    Решение: по формулам приведения sin(90-α)=cosα. ( так как угол (90-α) принадлежит 1 четверти, то знак будет +)

    а (2sinα*cosα) - формула синуса двойного угла и равна sin2α,

    ⇒2cosα*sinα=sin2α, что и требовалось доказать

    (sinα+cosα)²=sin²α + 2sinα*cosα + cos²α

    sin²α+sin²α=1(основное тригонометрическое тождество)

    2sinα*cosα=sin2α 

    ⇒(sinα+cosα)²=sin²α + 2sinα*cosα + cos²α=1 + sin2α, что и требовалось доказать

  • Доказать тождество:2sin(75-a)*cos(75+a)=1/2 - sin2a


    Решение: Применены : формула преобразования произведения в сумму, формула приведения, нечетность синуса, его табличное значение

    Применены формула преобразования произведения в сумму формула приведения нечетность синуса его табличное значение...

  • Доказать тождество
    3 (sin^4x+cos^4x)-2 (sin^6x+cos^6x)=1


    Решение: sin²α+cos²α=1
    Возводим обе части равенства в квадрат
    sin⁴α+2sin²αcos²α+cos⁴α=1  ⇒ 
    sin⁴α+cos⁴α=1-2sin²αcos²α
    и в куб
    sin⁶α+3sin⁴αcos²α+3sin²αcos⁴α+cos⁶α=1  ⇒
    sin⁶α+cos⁶α=1-3sin⁴αcos²α -3sin²αcos⁴α
    Левая часть данного тождества примет вид
    3·(    1-2sin²αcos²α)-2·(1-3sin⁴αcos²α -3sin²αcos⁴α)=
    =3-6    sin²αcos²α-2+6sin⁴αcos²α +6sin²αcos⁴α=
    =1-6    sin²αcos²α+6sin²αcos²α( sin²α+cos²α)=1

    1=1- тождество доказано

  • Доказать тождество sin^6a+cos^6a + 3 sin^2 cos^2 a=1


    Решение: sin^6a+cos^6a + 3 sin^2 cos^2 a=используем формулу суммы кубов=

    =(sin^2 a + cos^2 a)( (sin^2 a)^2-sin^2 acos^2 a+(cos^2 a)^2)+3sin^2 a cos^2 a=

    =используем основное тригонометрическое тождество=

    =1*(sin^4 a-sin^2 a cos^2 a+cos^4 a)+3 sin^2 a cos^2 a=

    =sin^4 a-sin^2acos^2 a+cos^4 a+3sin^2 acos^2 a=

    =sin^4 a + 2sin^2 a cos^2 a+cos^4 a=используем формулу квадрата двучлена

    (sin^2 a +cos^2 a)^2=используем основное тригонометрическое тождество=1^2=1

  • Cos^2(a)/(tg(a/2)-ctg(a/2))=-1/sin(2a)
    tg(a+pi/4)-tg(a-pi/4)=2tg2a
    Доказать тождество.


    Решение: 1)cos²a:(sin(a/2)/cos(a/2)-cos(a/2)/sin(a/2)=cos²a:(sin²(a/2)-cos²(a/2)/sin(a/2)cos(a/2)=
    cos²a:(-2cosa/sina)=-cos²a*sina/2cosa=-(sinacosa)/2=-sin2a/4
    2)sin(a+π/4)/cos(a+π/4)-sin(a-π/4)/cos(a-π/4)=  (sin(a+π/4)cos(a-π/4)-sin(a-π/4)cos(a+π/4))/cos(a+π/4)cos(a-π/4)=
    (sin(a+π/4-a+π/4)):1/2(cos(a+π/4-a+π/4)+cos(a+π/4+a-π/4)=
    sinπ/2:1/2(cosπ/2+cos2a)=2/cos2a

  • Доказать тождество \( \frac{Cos( \alpha - \beta )}{Cos( \alpha + \beta) } = \frac{ctg \alpha *ctg \beta +1}{ctg \alpha *ctg \beta -1} \)


    Решение: $$ \dfrac{\mathrm{ctg}\,\alpha\,\mathrm{ctg}\,\beta+1}{\mathrm{ctg}\,\alpha\,\mathrm{ctg}\,\beta-1}=\dfrac{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\frac{\cos\beta}{\sin\beta}+1}{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\frac{\cos\beta}{\sin\beta}-1}=\dfrac{\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}=\dfrac{\cos(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha+\beta)} $$

    $$ \frac{ctga*ctgb+1}{ctga*ctgb-1}=\frac{\frac{cosa}{sina}*\frac{cosb}{sinb}+1}{\frac{cosa}{sina}*\frac{cosb}{sinb}-1}=\frac{cosacosb+sinasinb}{cosacosb-sinasinb}\\\\ \frac{cos(a-b)}{cos(a+b)} = \frac{cosacosb+sinasinb}{cosacosb-sinasinb} $$
     Верно 

  • Доказать тождества:
    1. cos36=√5/4+1/4
    2. sin18=√5/4-1/4
    3. ctg10ctg50ctg70=ctg30
    4. sin10sin30sin50sin70=1/16
    5. sin(3π/10)-sin(π/10)=0.5


    Решение: sin18=sin(90-72)=cos72
    sin54=sin(90-54)=cos36, пусть 18°=х, тогда
    sin3x=cos2x
    3sinx-4sin³x=1-2sin²x, пусть sinx=t, тогда
    3t-4t³=1-2t²
    4t³-2t²-3t+1=0 (один из корней равен 1, чтобы найти остальные можно воспользоваться схемой Горнера или делением столбиком)
    4t²+2t-1=0
    D=4+16=20=(2√5)²
    t₁=(-2+2√5)/8=-1/4 + √5/4
    t₂.
    Обратная замена: t=sinx=sin18
    sin18= √5/4 - 1/4 
    cos18=√(1-sin²18)=√(1-(√5/4 - 1/4)²)=√((5+√5)/8)
    cos36=2cos²18-1=(2*(5+√5)/8)-1=(1+√5)/4=√5/4 + 1/4

  • Докажите тождества:

    а)(1-cos2x)/(1+cos2x) = tg^2x


    Решение: a) пользуемся формулой двойного угла)

    cos2x=cos(квадрат)x-sin(квадрат)x

    1-(cos(квадрат)x-sin(квадрат)x)\1+ cos(квадрат)x-sin(квадрат)x=

    =1-cos(квадрат)x+sin(квадрат)x\1+ cos(квадрат)x-sin(квадрат)x=

    основное тригонометрическое тождество

     cos(квадрат)x+sin(квадрат)x=1

    следовательно

     1-cos(квадрат)x= sin(квадрат)x 

     2sin(квадрат)x\2cos(квадрат)x двойки сокращаем и получается tg(квадрат)x

<< < 567 8 9 > >>