тождество »

как доказать тождество - страница 7

  • доказать тождество cos4альфа+1 = 1/2sin4альфа (ctgальфа-tgальфа)


    Решение: разность котангенса и тангенса пишете через синус и косинус и приводите к общему знаменателю, получаете cos альфа^2 - sin альфа^2/sin*cos альфа= cos 2 альфа/sin*cos альфа

    1/2sin4альфа= sin 2 альфа * cos 2 альфа

    sin 2 альфа * cos 2 альфа *cos 2 альфа/sin*cos альфа= 2cos2 альфа^2

    cos4альфа+1=2cos2 альфа^2

    cos4альфа=cos4альфа

  • Доказать тождество:
    1 - 2sin²α / 1 + sin2α = 1 - tgα / 1+tgα


    Решение: (1-2sin²α)/(1+2sinα)=(1-tgα)/(1+tgα)
    1. 1-2sin²α=sin²α+cos²α-2sin²α=cos²α-sin²α
    2. 1+sin2α=sin²α+cos²α+2sinα*cosα=(sinα+cosα)²
    3. 1-tgα=1-sinα/cosα=(cosα-sinα)/cosα
    4. 1+tgα=1+sinα/cosα=(cosα+sinα)/cosα
    (cos²α-sin²α)/(sinα+cosα)²=[(cosα-sinα)/cosα] / [(cosα+sinα)/cosα]
    [(cosα+sinα)*(cosα-sinα)] /(sinα+cosα)²=(cosα-sinα)/(cosα+sinα)
    (cosα-sinα)/(sinα+cosα)=(cosα-sinα)/(cosα+sinα)

    1-2sin²a=cos2a=(cos²a-sin²a)=(cosa-sina)(cosa+sina)
    1+sin2a=sin²a+cos²a+2sinacosa=(cosa+sina)²
    (1-2sin²a)/(1+sin2a)=(cosa-sina)(cosa+sina)/(cosa+sina)²=(cosa-sina)/(cosa+sina)
    1-tga=1-sina/cosa=(cosa-sina)/cosa
    1+tga=1+sina/cosa=(cosa+sina)/cosa
    (1-tga)/(1+tga)=(cosa-sina)/cosa : (cosa+sina)/cosa=
    =(cosa-sina)/cosa *cosa/(cosa+sina)=(cosa-sina)/(cosa+sina)
    (cosa-sina)/(cosa+sina)=(cosa-sina)/(cosa+sina)

  • Tg^2a-sin^2a = tg^2a*sin^2a доказать тождество


    Решение: Sin^2 a/ cos^2 a - sin^2 a /1 = sin^2 a / cos ^2 a * sin^2 a /1;
    (sin^2 a - sin^2a*cos^2a) / cos^2 a = sin^4 a / cos^2 a;
    cos^2a ≠ 0;
     cosa ≠ 0;
    a ≠ pi/2 + pi*k;
    sin^2 a - sin^2a * cos^2 a= sin^4 a;
    sin^2 a(1 - cos^2 a) = sin^4 a;
    sin^2 a * sin^2 a  = sin^4a;
     sin^4 a = sin^4 a.

    Tg²a - sin²a = tg²a · sin²a
    tg²a - sin²a = sin²a/cos²a - sin²a · (cos²a) = sin²a - sin²a · cos²a/cos²a = sin²a(1 - cos²a)/cos²a  = sin²a · sin²a/cos²a = tg²a · sin²a 
     tg²a · sin²a =  tg²a · sin²a 

  • (cos альфа + sin альфа ) / (cos альфа - sin альфа )=tg(pi/4 + альфа) доказать тождество


    Решение: используя формулы косинуса суммы, синуса суммы и основное тригонометрическое тождество:

    (cos альфа + sin альфа ) / (cos альфа - sin альфа )=

    (корень(2)/2*cos альфа + корень(2)/2*sin альфа ) / (корень(2)/2*cos альфа - корень(2)/2*sin альфа )=

    =(sin(pi/4)*cos альфа + cos(pi/4)*sin альфа ) / (cos (pi/4) *cos альфа - sin(pi/4)*sin альфа)

    =sin(pi/4 + альфа)/cos(pi/4 + альфа)=tg(pi/4 + альфа), что и требовалось доказать

  • упростить выражение: tg (-t) * cos t - sin (4 Пи - t)
    И доказать тождество: ctg t * sin^2 t = (tg t +ctg t)^-1


    Решение: 1)
    $$ tg (-t) * cos\ t - sin (4\pi - t) = -tg\ t * cos\ t - sin (-t)=\\ =-\frac{sin\ t}{cos\ t}*cos\ t+sin\ t=-sin\ t+sin\ t=0 $$
    2)
    $$ ctg\ t * sin^2 t = (tg\ t +ctg\ t)^{-1}\\ \frac{cos\ t}{sin\ t} * sin^2 t = (\frac{sin\ t}{cos\ t} +\frac{cos\ t}{sin\ t} )^{-1}\\ cos\ t*sin\ t=(\frac{sin^2\ t+cos^2\ t}{cos\ t*sin\ t} )^{-1}\\ \\ cos\ t*sin\ t=(\frac{1}{cos\ t*sin\ t} )^{-1}\\ cos\ t*sin\ t=cos\ t*sin\ t $$
    Левая часть равна правой. Тождество доказано.

<< < 567 8 9 > >>