как доказать тождество - страница 8
На какое выражение нужно заменить *, чтобы равенство 27-с^6=(3-с^2)(*) стало тождеством?
Решение: $$ 27-c^6=3^3-(c^2)^3=(3-c^2)(3^2+3c^2+(c^2)^2)= \\ =(3-c^2)(9+3c^2+c^4) $$Решить: 1) доказать тождество 1=sin^(2)a+ctg^(2)asin^(2)a
2) найти площадь фигуры ограниченную линиями:
Y=x^2; y=-3x
Решение: $$ sin^{2} \alpha + ctg^{2} \alpha *sin^{2} \alpha =1 \\ sin^{2} \alpha + \frac{cos ^{2} \alpha *sin ^{2} \alpha }{sin ^{2} \alpha } =1 $$
Синус квадрат альфа сократиться, и получится основное тригонометрическое тождество:
$$ sin^{2} \alpha + cos^{2} \alpha =1 $$
1)sin²a+cos²a/sin²a *sin²a=sin²a+cos²a=1
1=1
2)x²=-3x⇒x²+3x=0⇒x(x+3)=0⇒x=0 U x=-3
s=S(от -3 до 0)(-3x-x²)dx=-3x²/2-x³/3(от -3 до 0)=27/2-9=4,5кв ед
Доказать тождество:
\((sin\alpha+ 1/sin\alpha)^2 - (sin\alpha - 1/sin\alpha)^2=4\)
Решение: . Решение основано на разложении разности квадратов чисел на произведение их суммы на разность.a^2-b^2=(a+b)(a-b)
Ограничением является условие sin(alfa) не равен 0, т. е alfa не равен 0
Помогите доказать тождество
(1+ctg2a)/(1-ctg2a) = sin(2a+п/4)/sin(2a-п/4)
Решение: Числитель 1 дроби 1 + Ctg 2a = 1 + Co2a/Sin2a = (Sin 2a +Cos 2a)/Sin 2a
знаменатель 1 дроби 1 - Ctg 2a = 1 - Cos 2a/Sin 2a = (Sin 2a - Cos 2a)/Sin 2a
После сокращения останется: (Sin 2a +Cos 2a)/ (Sin 2a - Cos 2a)
Числитель 2 дроби = Sin 2a Cos π/4 + Cos 2a Sinπ/4 = √2/2( Sin 2a + Cos 2a)
Знаменатель 2 дроби = Sin 2a Cos π/4 -Cos 2a Sinπ/4 =√2/2( Sin 2a - Cos 2a)
После сокращения останется :(Sin 2a +Cos 2a)/ (Sin 2a - Cos 2a)
Правая и левая части равны ⇒ тождество доказано.доказать тождество
ctg a - ctg 2a = 1/sin 2a
Решение: ctg (a) - ctg (2a)=использовав формулу для котангенса двойного угла, получим
=ctg (a) - (ctg^ 2 (a) -1)/(2 *ctg (a))=
сведя к общему знаметелю=
=(ctg^2 (a) - (ctg^ 2 (a) -1)) / (2* ctg (a))=
раскрывая скобки
=(2*ctg^2 (a) - ctg^ 2 (a) +1)) /(2 * ctg (a))=
упрощая подобные
раскрывая скобки
=(ctg^ 2 (a) +1)) /(2 * ctg (a))=
=домножая на sin^2 (a) числитель и знаменатель, и использовав одно из основных тригонометрчиеских соотношений, получим
=(cos^ 2 (a) +sin^2 (a))) /(2 *cos (a)*sin a)=
использовав основное тригонометрическое тождество и формулу синуса двойного угла, получим=
= 1/(sin 2a),
а значит данное равенство является тождеством (левую часть путем преобрзования выражений привели в вид выражения в правой части).
Доказано
1) sin 2t * ctg t - 1 - упростить
2) ( sin t - cos t) в квадрате = 1 - sin 2t ; - доказать тождество
2cos в квадрате t = 1 + cos 2t
Решение: 1) sin2t*ctgt -1 = 2sint*cost*cost/sint - cosв квадратеt - sinв квадратеt = 2cosв квадратеt - sinв квадратеt - cosв квадратеt = cosв квадратеt - sinв квадратеt = cos2t2) ( sin t - cos t) в квадрате = 1 - sin 2t
sinв квадратеt - 2sint*cost +cosв квадратеt = 1 - sin2t
1 - sin2t = 1 - sin2t
3) cos в квадрате t = 1 + cos 2t
формула понижения степени
2*(1 + cos2t)/2 = 1 + cos2t
1 +cos2t = 1 + cos2t
Доказать тождества:
\( sin( \frac{ \pi }{2} +3 \alpha )/ 1-sin(3 \alpha - \pi )=\\= ctg( \frac{5}{4} \pi + \frac{3}{2} \alpha ) \)
2sin²(3π-2α)cos²(5π+2α)=1/4-1/4sin(5/2π-8α)
Решение: Скобки надо было в знаменателе поставить
Синус - функция нечетная⇒sin(-α)=-sinα
cos2α=cos^2(α)-sin^2(α); sin2α=2sinαcosα; 1=sin^2α+cos^2α
ctg(x+y)=(ctgx*ctgy-1)/(ctgx+ctgy)
1) sin(π/2+3α)=cos3α - по формулам привидения
cos3α=cos^2(3α/2)-sin^2(3α/2)=(cos(3α/2)-sin(3α/2))(cos(3α/2)+sin(3α/2)) - результат в числителе
sin(3α-π)=sin(-(π-3α))=-sin(π-3α)=-sin3α - по формулам привидения
1-sin(3α-π)=1+sin3α=sin^2(3α/2)+2sin(3α/2)cos(3α/2)+cos^2(3α/2)=
=(cos(3α/2)+sin(3α/2))^2 - результат в знаменателе
Разделим числитель на знаменатель, получим слева:
(cos(3α/2)-sin(3α/2))/(cos(3α/2)+sin(3α/2))
Теперь разделим числитель и знаменатель почленно на sin(3α/2):
((ctg(3α/2)-1)/(1+ctg(3α/2))
ctg(5π/4+3α/2)=(ctg5π/4*ctg3α/2-1)/(ctg5π/4+ctg3α/2)
ctg5π/4=ctg(π+π/4)=ctgπ/4=1 - по формулам привидения⇒
ctg(5π/4+3α/2)=(ctg3α/2-1)/(1+ctg3α/2)
Видим, что результат слева равен результату справа
Тождество доказано.
Докажите тождества
\( \frac{1-tg^{2}(45 -a)}{1+tg^{2}(45-a)}=sin2a \)
Решение: $$ tg( \alpha \pm \beta )= \frac{tg \alpha \pm tg \beta }{1\mp tg \alpha tg \beta } \\\ tg( 45-a )= \frac{tg45-tg a}{1+tg 45tg a} = \frac{1-tg a}{1+tg a} \\ \frac{1-tg^{2}(45 -a)}{1+tg^{2}(45-a)}= \cfrac{1- (\frac{1-tg a}{1+tg a})^2 }{1+(\frac{1-tg a}{1+tg a})^2}= \cfrac{1- \frac{1-2tg a+tg^2a}{1+2tg a+tg^2a} }{1+\frac{1-2tg a+tg^2a}{1+2tg a+tg^2a}}= \\\ =\cfrac{\frac{1+2tg a+tg^2a-1+2tg a-tg^2a}{1+2tg a+tg^2a} }{\frac{1+2tg a+tg^2a+1-2tg a+tg^2a}{1+2tg a+tg^2a}}=\\= \frac{1+2tg a+tg^2a-1+2tg a-tg^2a}{1+2tg a+tg^2a+1-2tg a+tg^2a}= \frac{4tg a}{2+2tg^2a}= \\\ =\frac{2tg a}{1+tg^2a}= \frac{2sina}{cosa} \cdot cos^2a=2 sinacosa=sin2a $$
Доказать тождество:
косинус квадрат 75 + синус квадрат 75 = 1
пж
Решение: $$ cos ^{2} \alpha +sin ^{2} \alpha =1 $$
основное тригонометрическое тождество выполняется при любом α∈(0;90°)
Доказывается по теореме Пифагора.
На единичной окружности углу α соответствуют две координаты
х=сosα
y=sinα
Это катеты прямоугольного треугольника, а гипотенуза равна радиусу, т. е равна 1
Доказать тождество
\( \frac{b}{a-b} - \frac{a^{2} - b^{2} }{a + 3b} * ( \frac{a+b}{(a-b)^{2}} + \frac{b}{a^{2} - b^{2}} ) = 1 \)
Решение: $$ \frac{b}{a-b} - \frac{ a^{2} -b ^{2} }{a+3b} *( \frac{a+b}{(a-b)^{2}} +\frac{b}{a ^{2} -b ^{2} })= \\ \frac{b}{a-b} - \frac{ a^{2} -b ^{2} }{a+3b}* \frac{(a+b)^{2}+b(a-b)}{(a-b)^{2}*(a+b)} = \\ \frac{b}{a-b} - \frac{ a^{2} -b ^{2} }{a+3b}* \frac{a ^{2}+2ab+b ^{2} +ab-b^{2} }{(a-b)^{2}*(a+b)}= \\ \frac{b}{a-b} - \frac{ a^{2} -b ^{2} }{a+3b}* \frac{a ^{2}+3ab }{(a-b)^{2}*(a+b)}= \\ \frac{b}{a-b} - \frac{ a^{2} -b ^{2} }{a+3b}* \frac{a (a+3b) }{(a^{2}-b^{2})*(a-b)}= \\ \\ \frac{b}{a-b} - \frac{a}{a-b} = \frac{b-a}{a-b} =-1 \\ $$
