тождество »

как доказать тождество - страница 3

  • Найти значение:
    1)sin2(не квадрат) альфа, если 90градусов< альфа< 180градусов,sinальфа = 5/13
    2)cos2(не квадрат) альфа, если sinальфа=√2 - 1
    Доказать тождество:
    sinальфа + tgальфа/1 + cosальфа = tgальфа


    Решение: $$ 1)\; \; sin \alpha =\frac{3}{5}\;,\ \; 90\ < \ \alpha \ < \ 180;(cos \alpha \ < \ 0)\\\\sin2 \alpha =2sin \alpha \cdot cos \alpha =2sin \alpha \cdot (-\sqrt{1-sin^2 \alpha })=\\\\=-2\cdot \frac{3}{5}\cdot \sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{6}{5}\cdot \frac{4}{5}=-\frac{24}{25}\\\\2)\; \; sin \alpha =\sqrt2-1\\\\cos2 \alpha =cos^2 \alpha -sin^2 \alpha =(1-sin^2 \alpha )-sin^2 \alpha =\\\\=1-2sin^2 \alpha =1-2\cdot (\sqrt2-1)^2=1-2\cdot (3-2\sqrt2)=\\\\=1-6+4\sqrt2=4\sqrt2-5 \\ 3)\; \; \frac{sin \alpha +tg \alpha }{1+cos \alpha }= \frac{sin \alpha +\frac{sin \alpha }{cos \alpha }}{1+cos \alpha } = \frac{sin \alpha \cdot cos \alpha +sin \alpha }{cos \alpha (1+cos \alpha )} =\\\\= \frac{sin \alpha \cdot (cos \alpha +1)}{cos \alpha (1+cos \alpha )} =\frac{sin \alpha }{cos \alpha }=tg \alpha $$

    1
    cosa=-√(1-sin²a)=-√(1-25/169)=-√(144/169)=-12/13
    sin2a=2sinacosa=2*5/13*(-12/13)=-120/169
    2
    cos2a=1-2sin²a=1-2(√2-1)²=1-4+4√2-2=4√2-5
    3
    (sina+sina/cosa):(1+cosa)=(sinacosa+sina)/cosa:(1+cosa)=
    sina(cosa+1)/[cosa(1+cosa)]=sina/cosa=tga
    tga=tga

  • Доказать тождество
    \( \frac{tg3 \beta }{tg2 \beta } -1- \frac{tg \beta }{tg2 \beta } =tg \beta tg3 \beta \)


    Решение: $$ \beta =b\\ \frac{tg3b}{tg2b}-1-\frac{tgb}{tg2b}=tgb*tg3b\\\\ tg3b=\frac{sin3b}{cos3b}=\frac{(4cos^2b-1)sinb}{4cos^3b-3cosb}\\\\ tg2b=\frac{sin2b}{cos2b}=\frac{2sinb*cosb}{2cos^2b-1}\\\\ \frac{tg3b}{tg2b} = \frac{8cos^4b-6cos^2b+1}{8cos^4b-6cos^2b}\\\\ \frac{tgb}{tg2b}=\frac{2cos^2b-1}{2cos^2b}\\\\ tgb*tg3b=\frac{ 3sin^2b-4sin^4b}{4cos^4b-3cos^2b}\\\\ \frac{8cos^4b-6cos^2b+1}{8cos^4b-6cos^2b}-\frac{2cos^2b-1}{2cos^2b}-1=\frac{3sin^2b-4sin^4b}{4cos^4b-3cos^2b}\\\\ $$
    то есть надо теперь доказать это выражение
     $$ \frac{8cos^4b-6cos^2b+1}{8cos^4b-6cos^2b}-\frac{2cos^2b-1}{2cos^2b}-1=\frac{3sin^2b-4sin^4b}{4cos^4b-3cos^2b}\\\\ \frac{8cos^4b-6cos^2b+1}{2cos^2b(4cos^2b-3)}-\frac{(2cos^2b-1)(4cos^2b-3)}{2cos^2b(4cos^2b-3)} \\ \frac{8cos^4b-6cos^2b+1}{2cos^2b(4cos^2b-3)}-\frac{(2cos^2b-1)(4cos^2b-3)}{2cos^2b(4cos^2b-3)}-\\ \frac{2cos^2b(4cos^2b-3)}{2cos^2b(4cos^2b-3)}=\frac{3sin^2b-4sin^4b}{4cos^4b-3cos^2b}\\\\ \frac{8cos^4b-6cos^2b+1-(2cos^2b-1)(4cos^2b-3)-2cos^2b(4cos^2b-3)}{2cos^2b(4cos^2b-3)}=\\\\ \frac{6sin^2b-8sin^4b}{8cos^4b-6cos^2b}=\frac{3sin^2b-4sin^4b}{4cos^4b-3cos^2b} $$ 
    то есть верно 

  • Доказать тождество. 2tga / 1 +tg^2a (2cos^2a - 1) = sin2a


    Решение: В условии опечатка, данное выражение не тождество.
    $$ \frac{2tga}{1+tg^2a}(2cos^2a-1)=sin2a \\ \frac{\frac{2sina}{cosa}}{1+\frac{sin^2a}{cos^2a}}(cos2a)=sin2a \\ \frac{\frac{2sina}{cosa}}{\frac{cos^2a+sin^2a}{cos^2a}}(cos2a)=sin2a \\ \frac{\frac{2sina}{cosa}}{\frac{1}{cos^2a}}(cos2a)=sin2a \\ 2sina*cosa(cos2a)=sin2a \\ sin2a*cos2a=sin2a $$ 
    $$ cos2a=1 $$
    Тождество неверно.

  • Доказать тождество.

    2tga / 1 +tg^2a (2cos^2a - 1) = sin2a


    Решение: В условии опечатка, данное выражение не тождество.
    $$ \frac{2tga}{1+tg^2a}(2cos^2a-1)=sin2a \\ \frac{\frac{2sina}{cosa}}{1+\frac{sin^2a}{cos^2a}}(cos2a)=sin2a \\ \frac{\frac{2sina}{cosa}}{\frac{cos^2a+sin^2a}{cos^2a}}(cos2a)=sin2a \\ \frac{\frac{2sina}{cosa}}{\frac{1}{cos^2a}}(cos2a)=sin2a \\ 2sina*cosa(cos2a)=sin2a \\ sin2a*cos2a=sin2a $$ 
    $$ cos2a=1 $$
    Тождество неверно.

  • Доказать тождество (без нигмы) (tga+ctga)(1-cos4a)=4sin2a


    Решение: sina cosa sin²a+cos²a 1 2

    tga+ctga= - +- = - = - = -

      cosa sina sina * cosa 1/2*sin2a sin2a

     

    1-cos4a=2sin²2a (это формула есть готовая)

      2 4sin²2a

    - * 2sin²2a= - =4sin2a

      sin2a sin2a 

    4sin2a=4sin2a

<< < 123 4 5 > >>