как доказать тождество - страница 3
Доказать тождество Sin(2п -a)tg(п/2+a)ctg(a-3/2п)/cos(2п+а)tg(п+a)=1
Решение: $$ \frac{sin(2\pi-\alpha)~tg(\pi/2+\alpha)~ctg(\alpha-3/2\pi)}{cos(2\pi+\alpha)tg(\pi+a)}=1 $$
sin(2π-α)=(sinx периодична с периодом 2π)=sin(-α)=(sinx нечетная)=-sinα
tg(π/2+α)=-ctgα - формула приведения
ctg(α-3/2π)=(ctgx нечетная)=-ctg(3/2π-α)=(сtgx периодична с периодом π)
-ctg(π/2-α)=-tgα - формула приведения
cos(2π+α)=cosα - cosx периодична с периодом 2π
tg(π+α)=tgα - tgx периодична с периодом π
tgα*ctgα=1
$$ \frac{sin(2\pi-\alpha)~tg(\pi/2+\alpha)~ctg(\alpha-3/2\pi)}{cos(2\pi+\alpha)~tg(\pi+\alpha)}=\frac{(-sin\alpha)(-ctg\alpha)(-tg\alpha)}{cos\alpha~tg\alpha}=\\ -\frac{sin\alpha}{cos\alpha~tg\alpha}=-\frac{tg\alpha}{tg\alpha}=-1 $$
Тождеством является, но не тем, которое требуется доказать.упрастить выражение:
ctga/tga + sin^2a + cos^2a
доказать тождество:
1 + ctga/1 + tga = ctga
Решение: котангенс и тангенс расписываем через синус и косинус, а квадрат синуса плюс квадрат косинуса равен единице1) ctg²α/tgα + sin²α + cos²α =
= 1 + 1 = 2
2) (1 + ctga)/(1 + tga) = ctga
(1 + ctga)/(1 + 1/ctga) = ctga
(1 + ctga)·ctga/(1 + ctga) = ctga
ctga ≡ ctga
1+2sinx*cosx/sin^2x-cos^2x=tgx+1/tgx-1 Доказать тождество
Решение: (Sin^2x+cos^2x+2sin x*cos x)/(sin^2x-cos^2x)=(tg x+1)/(tg x-1)
(Sin x+cos x)^2/(sin x+cos x)(sin x-cos x)=(tg x+1)(tg x-1)
(Sin x+cos x)/(sin x-cos x)=(tg x+1)(tg x-1)
Теперь и числитель и знаменатель можно поделить на cos x и получить :
Tg x+1/tg x-1=tg x+1/tg x-1
Ч. т. д.
^2 это квадрат
(Sin x+cos x)^2/(sin x+cos x)(sin x-cos x)=(tg x+1)(tg x-1)
(Sin x+cos x)/(sin x-cos x)=(tg x+1)(tg x-1)
Теперь и числитель и знаменатель можно поделить на cos x и получить :
Tg x+1/tg x-1=tg x+1/tg x-1
Ч. т. д.
^2 это квадрат
Найти значение:
(0.75*tg^2 30º-sin^2 30º+tg^2 45º+cos 60º))^-1
Доказать тождество:
cos^4a(1+tg^2a)+sin^2a=1
Решение:
Тождество:
$$ Cos^4a(1+tg^2a) + sin^2a = 1 $$
$$ Cos^4a(1+tg^2a) + sin^2a = Cos^4a + \frac{cos^4a}{1} * \frac{sin^2a}{cos^2a} + sin^2a =\\= Cos^4 + cos^2asin^2a + sin^2a = cos^2a(cos^2a+sin^2a) + sin^2a = \\ = Cos^2a + sin^2a = 1 $$ чтд
В -1 степени - 1 делить на все это выражение, поэтому я сразу запишу дробью:
$$ \frac{1}{0,75*( \sqrt{3}/3)^2 - 1/4 + 1 + 1/2 } = \frac{1}{1,5} = \frac{10}{15} \\ tg²30° = (\frac{ \sqrt{3} }{3})^2 =\\ = \frac{3}{9} \\ sin²30° = (\frac{1}{2})^2 = 1/4 \\ tg²45° = 1 \\ cos60° = \frac{1}{2} $$Тригонометрия:
\( \\ \) 1. Дано: sin\( \alpha = \frac{7}{25} \); \( \frac{ \pi }{2} \ \ \alpha \ \ \pi \). Вычислить \( sin2 \alpha \) и \( cos \frac{ \alpha }{2} \).
\( \\ \) 2. Упростить:\( \frac{2cos^{2} \alpha -1 }{1-2sin \alpha cos \alpha } - \frac{cos \alpha -sin \alpha }{cos \alpha +sin \alpha } \)
\( \\ \) 3. Доказать тождество: \( \frac{2}{tg \alpha +ctg \alpha } = sin2 \alpha \).
4. Вычислить \(cos^{2} \alpha \), если \(cos2 \alpha = \frac{3}{5}\)
Решение: 1
cosa=-√1-sin²a)=-√(1-49/625)=-24/25
sin2a=2sinacosa=-2*7/25*24/25=-336/625
cos²a/2=(1+cosa)/2=(1-24/25)/2=1/50
cosa/2=1/5√2=√2/10
2
(cos²a-sin²a)/(cosa-sina)² -(cosa-sina)/(cosa+sina)=
=(cosa-sina)(cosa+sina)/(cosa-sina)²-(cosa-sina)/(cosa+sina)=
=(cosa+sina)/(cosa-sina)-(cosa-sina)/(cosa+sina)=
=[(cosa+sina)²-(cosa-sina)²]/(cos²a-sin²a)=
=(cos²a+2sinacosa+cos²a-cos²a+2sinacosa-cos²a)/cos2a=2sin2a/cos2a=2tg2a
3
2:(sina/cosa+cosa/sina))=2:(sin²a+cos²a)/sinacosa=2*sinacosa=sin2a
sin2a=sin2a
4
cos²a=(1+cos2a)/2=(1+3/5)/2=8/5:2=0,8
Нужно доказать тождество: 2tg^2(a/2)*(tga+ctga)(1-tg^2(a/2))=1/cos^4(a/2)
Решение: $$ 2\cdot \frac{sin^2 \frac{ \alpha }{2} }{cos^2 \frac{ \alpha }{2} } \cdot ( \frac{sin \alpha }{cos \alpha } + \frac{cos \alpha }{sin \alpha })\cdot (1- \frac{sin^2 \frac{ \alpha }{2} }{cos^2 \frac{ \alpha }{2} })=\\ \\=2\cdot \frac{sin^2 \frac{ \alpha }{2} }{cos^2 \frac{ \alpha }{2} } \cdot ( \frac{sin^2 \alpha+cos^2 \alpha }{sin \alpha \cdot cos \alpha })\cdot ( \frac{cos^2 \frac{ \alpha }{2}- sin^2 \frac{ \alpha }{2} }{cos^2 \frac{ \alpha }{2} })= \\ =2\cdot \frac{sin^2 \frac{ \alpha }{2} }{cos^2 \frac{ \alpha }{2} } \cdot ( \frac{1 }{sin \alpha \cdot cos \alpha })\cdot ( \frac{cos \alpha }{cos^2 \frac{ \alpha }{2} })=2\cdot \frac{sin^2 \frac{ \alpha }{2} }{cos^2 \frac{ \alpha }{2} } \cdot ( \frac{1 }{sin \alpha })\cdot ( \frac{1 }{cos^2 \frac{ \alpha }{2} })= \\ 2\cdot \frac{sin^2 \frac{ \alpha }{2} }{cos^2 \frac{ \alpha }{2} } \cdot ( \frac{1 }{2sin \frac{ \alpha }{2}cos \frac{ \alpha }{2} })\cdot ( \frac{1 }{cos^2 \frac{ \alpha }{2} })= \frac{sin \frac{ \alpha }{2} }{cos^5 \frac{ \alpha }{2} } $$
Что-то не получается. Проверяйте условие.
Упростить: 2sin^2 a/2+cosa.
Доказать тождество: 2sina-sin2a/2sina+sin2a=tg^2a/2.
Заменить на произведение: a) sin60(градусов)+sin40(градусов), б) cos5п/12-cosп/12.
Решение: 1) упроститьsin 2a cos a 2sina*cosa cosa 2sina*cosa cosa
- * - = - * - = - * - = 2cosa
1+cos a 1+cos a sina sina sina sina
2) доказать тождество
sin 2a 1-cos 2a 2sin a
- = - =
sin 3a-sin a cos a-cos 3a sin 4a
1. решить уравнение
1+sin(2x+4п)-2cos^2 2x=2sin^2 2x2. доказать тождество ((sina-cosa)^2-1)/(tga-sina*cosa) = -2ctg^2a
Решение: 1+sin(2x+4п)-2cos^2 2x=2sin^2 2x1+sinx*cos4П+cosx*sin4П-2*cos^2 2x=2sin^2 2x
cos4П=1
sin4П=0
1+sinx=2sin²x+2cos²x
1+sinx=2
sin²x+cos²x=1
sin x= 1
x=П/2+2П*n
n - только целые
((sina-cosa)^2-1)/(tga-sina*cosa) = -2ctg^2a
л. ч.:
(sina-cosa)^2-1= sin²a-2*sina*cosa+2cos²a-1 =-2* cosa*sina
tga-sina*cosa= sina/cosa-sina*cosa= sina(1-cos²a)/cosa= sina* sin²a/cosa= sin³a/cosa
((sina-cosa)^2-1)/(tga-sina*cosa)= -2* cosa*sina*cosa/sin³a= -2*ctg²a = пр. ч => тождество верно
1) sin2cos3tg4 нужно определить знак выражения. 2) доказать тождество (sinA-cosA)^2 -1/tgA-sinA*cosA= - 2ctg^2A
Решение: если имелось в виду радианы, тоsin2cos3tg4
1.57< pi/2 <2<x<3.14
поєтому sin 2>0
1.57< pi/2 <2<x<3/14
cos 3<0
3.14
поєтому tg 4>0
произведение двух положительных и одного отрицательного число отрицательное,
знак произведения минус
если имелось в виду градусы, то от 0 до 90 градусов тригонометрические функции от углов положительные и знак тогда плюс у произведения
б) ((sinA-cosA)^2 -1)/(tgA-sinA*cosA)=
формула квадрата двучлена, формула для тангенса tg a=sin a/cos a
=(sin^2A-2sinAcosA+cosA^2 -1)/(sinA/cosA-sinA*cosA)=
основное тригонометрическое тождество sin^2a+cos^2a=1, вынос общего множителя sinA? приведение к общем знаменателю, пправила операций деления дробей
=(1-2sinAcos A-1)*cosA/(sinA*(1-cos^2A))=
соприведение подобных членов, сокращение дроби на sinA, основное тригонометрическое тождество
=-2cos^2A/sin^2A=
формуда для котангенса ctg a=cos a/sina
-2ctg^2A
доказано.
*-градус-после скобок умножение,a-альфа.
1. Вычислить.
а)2cos30*+tg(-П/3)=
б)ctg(5П/6)-sin225*=
2. Упростить выражение.
а) (1-cos2a)*(1+tg2a)=
б) tg(П+a)*сtg(2П-a)+cos2a=
в) sin4a+sin2a*cos2a-sin2a=
3. Доказать тождество.
а) sin2a/ctg2a-cos2a=tg4a=
б) 1+tg2a=tg2a/sin2a=
Это всё. Буду очень признательна
Решение: $$ 1.\\a)\; 2cos30^o+tg(-\frac{\pi}{3})=2*\frac{1}{2}-\sqrt3=1-\sqrt3;\\ b)\; ctg(\frac{5\pi}{6})-sin225^o=ctg(\pi-\frac{\pi}{6})-sin(180^o+45^o)=\\=-ctg\frac{\pi}{6}+sin45^o=-\sqrt3+\frac{\sqrt2}{2};\\ 2.\\ a)\; (1-cos^2a)(1+tg^2a)=(sin^2a)(1+\frac{sin^2a}{cos^2a})=sin^2a+\frac{sin^4a}{cos^2a}=\\=\frac{sin^2acos^2a+sin^2a}{cos^2a}=\frac{sin^2a(cos^2a+sin^2a)}{cos^2a}=\frac{sin^2a}{cos^2a}=tg^2a;\\ b)\; tg(\pi+a)*ctg(2\pi-a)+cos^2a=-tga*ctga+cos^2a=\\=-1+cos^2a=-sin^2a;\\ \\ 3.\\ a)\; \frac{sin^2a}{ctg^2a-cos^2a}=tg^4a \\ \frac{sin^2a}{\frac{cos^2a}{sin^2a}-cos^2a}=\frac{sin^2a}{\frac{cos^2a-sin^2acos^2a}{sin^2a}}=\frac{sin^2a}{\frac{cos^2a(1-sin^2a)}{sin^2a}}=\\=\frac{sin^2a}{\frac{cos^2a(cos^2a)}{sin^2a}}= \frac{sin^2a}{\frac{cos^4a}{sin^2a}}=sin^2a*\frac{sin^2a}{cos^4a}=\frac{sin^4a}{cos^4a}=tg^4a;\\ \\ b) \; 1+tg^2a=\frac{tg^2a}{sin^2a}\\ 1+\frac{sin^2a}{cos^2a}=\frac{sin^2a}{cos^2a}*\frac{1}{sin^2a}\\ \frac{cos^2a+sin^2a}{cos^2a}=\frac{1}{cos^2a}\\ \frac{1}{cos^2a}=\frac{1}{cos^2 a} $$
