второй член геометрической прогрессии - страница 2
Второй, девятый и тринадцатый член арифметической прогрессии являются последовательными членами некоторой умывающей геометрической прогрессии. Найдите её знаменатель
Решение: A₂=a₁+d; a₉=a₁+8d; a₁₃=a₁+12d
являются последовательными членами геометрической прогрессии:
b₁=a₁+d; b₂=a₁+8d; b₃=a₁+12d.
По свойству геометрической прогрессии
b₂:b₁=b₃:b₂ или b₂²=b₁b₃
или
(a₁+8d)²=(a₁+d)(a₁+12d);
a₁²+16a₁d+64d²=a₁²+13a₁d+12d²;
3a₁d+52d²=0;
d(3a₁+52d)=0;
a₁=-52d/3;
b₃=a₁+12d=-(-52d/3)+12d=-16d/3;
b₂=a₁+8d=-(52d/3)+8d=-28d/3;
b₁=a₁+d=-(52d/3)+d=-49d/3;
q=b₃:b₂=(-16d/3):(-28d/3) = - 16/28 = - 4/7;
q=b₂:b₁=(-28d/3):(-49d/3) = -28/49= - 4/7.
О т в е т. q = - 4/7.
Найдите сумму восьми первый членов геометрической прогрессии второй член которой равен 6, а четвертый равен 24. Знаменатель прогрессии является положительным числом
Решение: $$ b_{n} ^{2} = b_{n-1} * b_{n+1} $$
$$ b_{4}^{2} =6*24=144 $$
$$ b_{4} =12 $$
$$ q= \frac{12}{6} =2 $$ разность нашей прогрессии
$$ b_{1} = \frac{b_{2} }{q} $$
$$ b_{1} = \frac{6}{2} =3 $$
$$ S_{n} = \frac{ b_{1}( q^{n}-1) }{q-1} $$
$$ S_{8} = \frac{3( 2^{8}-1) }{2-1} = \frac{3(256-1)}{1} = 3*255=765 $$
Найдите сумму восьми первый членов геометрической прогрессии второй член которой равен 6, а четвертый равен 24. Знаменатель прогрессии является положительным числом
===========================
b2=6
b4=24
b4/b2=b1q^3/b1q=q^2=4
q=-2 не подходит
q=2
b2=b1q
b=3
S8=b1(q^8-1)/(q-1)=3*(256-1)/1=3*255=765Найти четыре числа, образующие геометрическую прогрессию, у которой третий член больше первого на 9, а второй больше четвертого на 18
Решение: Используя тот факт, что числа составляют геометрическую прогрессию, запишем их как b, bq, bq2, bq3.По условию:
1) bq2 = b + 9.
2) bq = bq3 + 18.
Домножаем первое уравнение на q и складываем со вторым:
9q + 18 = 0.
Откуда q = -2. Из первого уравнения находим b. b = 3.
Теперь легко найдем все числа: 3,6, 12,24.
Ответ: 3,6, 12,24.
Найти три числа образующих геометрическую прогрессию если сумма первого и третьего членов равна 52 и квадрат второго члена равен 100
Решение: Если число в квадрате равно 100, то второе число равно 10. 10-это произведение первого числа на некотрое число, то есть первое число 2 или 5. Если 2, то число на котрое умножаем члены последовательности равно 5. Получаем, что третий член равен 10*5=50. Проверяем 2+50=52- сходится по условию. Ответ: 2,10,50Три числа составляют геометрическую прогрессию. Если уменьшить третье число на 4, то соответствующие числа составляют арифметическую прогрессию. Но если из второго и третьего членов полученной арифметической прогрессии вычесть 1, то вновь получим геометрическую прогрессию. надо найти эти числа.
Решение: Пусть x, y и z - те самые три числа. они составляют геом. прогр. т. е. y/x = z/y. После того, как третье число уменьшили на 4, они стали составлять арифм. прогр. т. е. y-x = (z-4)-y. После того, как второе и третье уменьшили на 1, они снова стали членами геом. прогр. т. е. (y-1)/x = (z-5)/(y-1). ПОлучаем систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:$$ \\\begin{cases}\frac yx=\frac zy\\y-x=z-4-y\\\frac{y-1}x=\frac{z-5}{y-1}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}z=\frac{y^2}x\\y-x=\frac{y^2}x-4-y\\\frac{y-1}x=\frac{\frac{y^2}x-5}{y-1}\end{cases}\\3:\\\frac{y-1}x=\frac{\frac{y^2}x-5}{y-1}\\(y-1)^2=x\left(\frac{y^2}{x}-5\right)\\y^2-2y+1=y^2-5x\\5x=y^2-y^2+2y-1\\x=\frac15(2y-1)\\2:\\y-x=\frac{y^2}x-4-y\\y-\frac15(2y-1)=\frac{y^2}{\frac15(2y-1)}-4-y\\y-\frac25y+\frac15+4+y=\frac{5y^2}{2y-1}\\\left(\frac85y+\frac{21}{5}\right)(2y-1)={5y^2}\\\frac{16}{5}y^2+\frac{34}{5}y-\frac{21}{5}=5y^2\\16y^2+34y-21=25y^2\\9y^2-34y+21=0\\D=1156-756=400\\y_1=3\\y_2=-\frac79\leftarrow HE\quad nogx.\\\begin{cases}z=9\\y=3\\x=1\end{cases} $$