прогрессия »

сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 27

  • Четыре числа являются последовательными членами арифметической прогрессии. Сумма первых трёх равна -21, а сумма трёх последних чисел равна -6. Найдите эти числа.


    Решение: Сумма трех первых равна -21
    a1 + a2 + a3 = a1 + a1 + d + a1 + 2d = 3a1 + 3d = -21
    Делим все на 3
    a1 + d = -7
    Сумма трех последних равна -6
    a2 + a3 + a4 = a1 + d + a1 + 2d + a1 + 3d = 3a1 + 6d = -6
    Делим все на 3
    a1 + 2d = -2
    Из 2 уравнения вычитаем 1 уравнение
    a1 + 2d - a1 - d = -2 + 7
    d = 5
    Подставляем в 1 уравнение
    a1 + 5 = -7
    a1 = -12
    Получили прогрессию: a1 = -12, d = 5
    Это числа -12,7,2, 3

  • 4 числа являются последовательными членами арифметической прогрессии.
    Сумма первых трёх равна -21, а сумма трёх последних 6. Найдите сумму этих чисел.


    Решение: Решение:
    Дано:
    S(1по3)=-21
    S(c2по4)=6
    Найти:S4
    S=(a1+an)*n/2
    an=(a1+d*(n-1)
    S(1-3)=(a1+a3)*3/2
    a3=a1+d(3-1)=a1+2d
    S(1-3)=(a1+a1+2d)*3/2=(2a1+2d)*3/2=2(a1+d)*3/2=(a1+d)*3=3a+3d
    или: -21=3a1+3d
    S(2-4)=(a2+a4)*3/2
    a2=a1+d
    a4=a1+d(4-1)=a1+3d
    S(2-4)=(a1+d+a1+3d)*3/2=(2a1+4d)*3/2=2(a1+2d)*3/2=3a+6d
    или: 6=3a1+6d
    Получилась система уравнений:
    -21=3a1+3d
    6=3a1+6d
    Вычтем из первого уравнения второе уравнение:
    -21-6=3a1+3d-3a1-6d
    -27=-3d
    d=-27 :-3
    d=9
    Подставим значение d (разность прогрессии) в первое уравнение:
    -21=3a1+3*9
    -21=3a1+27
    -21-27=3a1
    a1=-48 : 3
    а1=-16
    Найдём S4
    S4=(a1+a4)*4/2
    a4=-16+9*(4-1)=-16+9*3=-16+27=11
    S4=(-16+11)*2=-5*2=-10
    Ответ: S4=-10

  • Четыре числа являются последовательными членами арифметической прогрессии. Сумма первых трех равна -21, а сумма трех последних равна -6. Найдите эти числа.


    Решение: a1+a2+a3=-21 a2+a3+a4=-6

    3a1+3d=-21 3a1+6d=-6

    a1+d=-7 a1+2d=-2

    a2=-7 a3=-2

    d=a3-a2=5

    a1=a2-d=-12

    a4=a3+d=3

    Ответ -12 -7 -2 3

    a1+a2+a3 = -21

    a2+a3+a4 = -6

    вычтем из первого - второе

    a1+(a2+a3) - (a2+a3) - a4 = -21 -(-6)

    a1 -a4 = -15 ;

    a4 = a1 +15 =a1 +(3*5) ; здесь (n-1)=3; d=5

    a1+a2+a3 = 3*a1 + 3d = -21 ; a1 + d = -7 ; a1 + 5= -7 ; a1 = -12

    a2 = -12 +5 = -7

    a3 = -7 +5 = -2

    a4 = -2 + 5 = 3

    проверка

    a2+a3+a4 = -6 ; -7 -2 +3 = -6 

  • Три числа, сумма которых равна 114, можно рассматривать как три последовательных члена возрастающей геометрической прогрессии или как первый, четвертый и двадцать пятый члены арифметической прогрессии. Найдите большее из этих чисел.


    Решение: х - наибольшее число, d - разность арифметической прогрессии;

    х-24d - наименьшее (первое) число,

    (х-24d)+3d=x-21d - второе число (четвертый член арифметичесой прогрессии).

    х-24d+x-21d+x=114,

    (x-21d)^2=(x-24d)x - свойство геометрической прогрессии,

    3x-45d=114,

    444d^2-18xd=0,

    x-15d=38,

    49d-2x=0,

    d=(x-38)/15,

    49(x-38)/15-2x=0,

    49x-1862-30x=0,

    19x=1862,

    x=98.

  • 1. Первый член арифметической прогрессии 2, а пятый 7. Сколько членов прогрессии нужно взять, чтобы их сумма была равна 63?


    Решение: а1=2
    а5=7
    а5=а1+4d=7
    2+4d=7
    4d=5
    d=5/4
    Sn=(2*2+5/4(n-1)):2*n=63
    2n+5/8n²-5/8n=63
    5/8n²+11/8n-63=0
    D = (11/8)^2 - 4·(5/8)·(-63) = 1020164
    n1 = (-11/8 - √10201/64):2·(5/8) = -56.5 это не подходит так как отриц
    n2 = (-11/8 + √10201/64):2·(5/8) = 9
    второе чуть позже, времени нет)))

    А1 = 2
    а5 = 7=a1+b*(5-1)=2+b*4
    b = 5/4
    an=a1+b*(n-1)
    Sn = (a1+an)/2*n = (a1+a1+b*(n-1))/2*n = (4+b*(n-1))/2*n = 63
    (4+5/4*(n-1))*n=126
    (16+5*(n-1))*n=4*126
    5n^2+11n-4*126=0
    n=9

<< < 252627 28 29 > >>