сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 26
Произведение первых трех членов возрастающей геометрической прогрессии с положительными членами равно 64, а их же среднее арифметическое – 14/3. Найти сумму первых пяти членов прогрессии
Решение: A) b₁*b₂*b₃ = 64, ⇒b₁*b₁q * b₁q² = 64, ⇒(b₁q)³= 64, ⇒ b₁q = 4
б) (b₁ + b₂ + b₃)/3 = 14/3, ⇒b₁ + b₂ + b₃ = 14, ⇒b₁ + b₁q + b₁q² = 14,⇒
⇒b₁ + b₁q² = 10
Получили систему двух уравнений с 2-мя переменными:
b₁q = 4
b₁ + b₁q² = 10
решаем:
b₁ + b₁q*q = 10, ⇒ b₁ + 4q = 10, ⇒b₁ = 10 - 4q
Это наша подстановка.
подставим в 1-е уравнение.
b₁q = 4, ⇒ (10 - 4q)*q = 4, ⇒ 10q -4q² = 4, ⇒ 4q² -10q +4 = 0,⇒
⇒ 2q² -5q +2 = 0. Решаем D = 25 -16 = 9
q = (5 +-3)/4
q₁= 2, q₁= 1/2
а) q₁= 2, ⇒b₁ = 10 - 4q = 10 - 8 = 2, S₅ = b₁(q⁵-1)/(q -1) = 2*31+1 = 62
б) q₂ = 1/2, ⇒b₁ = 10 -4q = 10 - 4*1/2 = 8, S₅ = 8(1/32 - 1)/(-1/2) = 15,5Найти сумму 19 первых членов арифметической прогрессии a1, a2, a3, если известно, что a4 + a8 + a12 + a16 = 224.
Решение: Согласно формуле общего члена арифметической прогрессии an = a1 + d(n - 1). Тогда имеем:
a1 + d(4 - 1) + a1 + d(8 - 1) + a1 + d(12 - 1) + a1 + d(16 - 1) = 224
4a1 + 36d = 224
a1 + 9d = 56
a1 = 56 - 9d
По формуле суммы арифметической прогрессии
S19 = (a1 + a19) / 2 * 19 = (2a1 + 18d) / 2 * 19 = (a1 + 9d) * 19 = (56 - 9d + 9d) * 19 = 1064.Исходя из формулы an = a1 + d(n - 1 ). мы получим:
a1 + d(4 - 1) + a1 + d(8 - 1) + a1 + d(12 - 1) + a1 + d(16 - 1) = 224
4a1 + 36d = 224
a1 + 9d = 56
a1 = 56 - 9d
Исходя из формулы арифметической прогрессии следует что:
S19 = (a1 + a19) / 2 * 19 = (2a1 + 18d) / 2 * 19 = (a1 + 9d) * 19 = (56 - 9d + 9d) * 19 = 1064.
Ответ:1064Найти сумму первых шести членов арифметической прогрессии, если выполняется
a5=10-a4 и a6=8
Решение: a_5 = 10 - a_4, a_6 = 8 - арифметическая прогрессия.{a_6 = a_5 + d {8 = 10 - a_4 + d { d = a_4 - 2 -> d = 4 - 2 -> d = 2
{a_5 = a_4 + d {10 - a_4 = a_4 + d {10 - a_4 = a_4 + a_4 - 2 {3a_4 = 12 -> a_4 = 4
a_4 = a_1 + 3d -> a_1 = a_4 - 3d -> a_1 = 4 - 3*2 -> a_1 = -2
S_6 = (a_1 + a_6) * 6 / 2 = (-2 + 8) * 3 = 6 * 3 = 18
Ответ. 18
. Найти сумму первых 20 членов арифметической прогрессии если
а5=14, а10 = 29.
Решение: Распишем a₅ и а₁₀:
a₅=a₁+4·d;a₁₀=a₁+9·d;
Составим систему уравнений:
a₁+4·d=14
a₁+9·d=29
_________
Вычтем из одного другое:
-5d=-15d=3
Тогда a₁=14-4·d=14-4·3=14-12=2
a₂₀=a₁+19·d=2+19·3=57+2=59
Значит S₂₀=(a₁+a₂₀)/2 * 20 = (2+59)/2 * 20=610
Ответ: 610.
Найти сумму первых 12 членов арифметической прогрессии, если a1=-3, a3*a7=24
Решение: a_3=a_1+2ba_7=a_1+6b
(a_1+2b)(a_1+6b)=24
9-6b-18b+12b^{2}=24
12b^{2}-24b-15=0
4b^{2}-8b-5=0
D=64+80=144
b_1=2.5
b_2=-0.5
Для b_1
-3+5=2
-3+15=12
2*12=24
Для b_2
-3-1=-4
-3-3=-6
-4*(-6)=24
Имеем 2 разных прогрессии (обе разницы удовлетворяют условию)
Для b_1
S_n1 = 12* \frac{2*(-3)+2.5*(12-1)} {2}
S_n1 = 147
Для b_2
S_n2 = 12* \frac{2*(-3)+(-0.5)*(12-1)} {2}
S_n2 = 27
Ответа 2: 147; 27
Найти сумму первых шестнадцати членов арифметической прогрессии, в которой 1) а1=6,d=4
Решение: Здесь нужно рассчитывать по формуле: аn=a1+(n-1)*dа2=6+(2-1)*4=10
а3=6+(3-1)*4=14
а4=6+(4-1)*4=18
а5=6+(5-1)*4=22
а6=6+(6-1)*4=26
а7=6+(7-1)*4=30
а8=6+(8-1)*4=34
а9=6+(9-1)*4=38
а10=6+(10-1)*4=42
а11=6+(11-1)*4=46
а12=6+(12-1)*4=50
а13=6+(13-1)*4=54
а14=6+(14-1)*4=58
а15=6+(15-1)*4=62
а16=6+(16-1)*4=66
найти сумму 22 первых членов арифметической прогрессии 25,30,35,40.
Решение: (an) - арифметическая прогрессияа1=25, а2=30, следовательно d=a2-a1=5,
$$ S_{n} =\frac{2a{1}+d(n-1)}{2} * n $$
из формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии находим $$ S_{n}=\frac{50+5*21}{2}*22 = 1705 $$
а1=25
а2=30
а3=35
а4=40
найти S(22)=?
d=a(n+1)-a(n)=a2-a1=30-25
d=5
S(n)=((2*a1+d*(n-1))/2)*n
S(22)=((2*25+5*21)/2)*22=((50+105)/2)*22=(155/2)*22=155*11
S(22)=1705
Найти сумму первых девятнадцать членов арифметической прогрессии, если a4+a8+a12+a16=224
Решение: Аn=a₁+(n-1)d *
Согласно формуле * имеем
а₄+а₈+а₁₂+а₁₆=224
а₁+3d+a₁+7d+a₁+11d+a₁+15d=224
4a₁+36d=224
a₁+9d=56
согласно формуле суммы $$ s_{19}= \frac{a_{1}+a_{19}}{2}*19 \\ S_{19}= \frac{a_{1}+a_{1}+18d}{2}*19 \\ S_{19}= \frac{2a_{1}+18d}{2}*19 \\ S_{19}=(a_{1}+9d)*19=56*19=1064 \\ $$
Ответ : сумма 19 членов ариф прогрессии равно 1064
A4+a8+a12+a16=224
a1+3d+a1+7d+a1+11d+a1+15d=224
4a1+36d=224
2(2a1+18d)=224
2a1+18d=112
S19=(2a1+18d)*19/2
S19=112*19/2=56*19=1064
Найти первые 50 членов двух арифметических прогрессий 2, 7, 12, и 3, 10, 17, которые одинаковы в обеих прогрессиях и найти их сумму S. В ответ записать S/100.
Решение: Для первой прогрессии
$$ a_1=2;a_=7;a_3=12 \\ d=a_2-a_1=7-2=5 \\ a_n=a_1+(n-1)*d=2+5(n-1)=2+5n-5=5n-3 $$
для второй прогрессии
$$ A_1=3;A_2=10;A_3=17 \\ D=A_2-A_1=10-3=7 \\ A_k=A_1+(k-1)*D=3+7(k-1)=7k-7+3=7k-4 \\ 5n-3=7k-4 \\ 7k-5n=1 $$
нужно решить диофантовое уравнение от двух переменных в натуральных числах
получим простым перебором находим "минимальное" решение в натуральных числах
7*3-5*4=1
$$ k_0=3;n_0=4 \\ k=3+5l \\ n=4+7l $$
где \(l є N \cup {0}\)
тогда формула искомых чисел
$$ a_n=5*(4+7l)-3=20+35l-3=17+35l \\ A_n=7*(3+5l)-4=21+35l-4=17+35l $$
где \(l є N \cup {0}\)
первый член равен
$$ L_1=17+35*0=17 $$
50-й член равен
$$ L_{50}=17+35*(50-1)=1732 $$
Сумма первых 50-ти равна
$$ S=\frac{L_1+L_{50}}{2}*50=\frac{17+1732}{2}*50=43725 \\ \frac{S}{100}=\frac{43725}{100}=437.25 $$
-
более просто можно было на первых членах проследить появление первого члена 17 и заметить что разность последовательности образованной с двух данных тоже является арифметической прогрессией с разностью равной 35
Найти первые 50 членов двух арифметических прогрессий 2;7;12;. и 3;10;17;. которые одинаковы в обеих прогрессиях и найти их сумму.
Решение: Одинаковых чисел в этих арифм. прогрессиях не будет.
Общий член ар. прогр. $$ a_{n}=a_1+d(n-1) $$.
Приравняем общие члены заданных ар. прогрессий:
$$ 2+5(n-1)=3+7(n-1)\\\\2n=1\\\=\frac{1}{2} $$
Получили, что номер члена ар. прогр. = 1/2, чего не может быть, т. к. номер - это натуральне число, n=1,2,3,4,5,6,
