прогрессия »

сумма первых членов арифметической прогрессии - страница 43

  • Cумма 3-го и 7-го членов арифметической прогрессии равна 10. Найти сумму первых 9 членов этой прогрессии.


    Решение: $$ a_3+a_7=10 $$
    $$ a_3=a_1+2d $$
    $$ a_7=a_1+6d $$
    $$ a_3+a_7=a_1+2d+a_1+6d $$
    $$ a_3+a_7=2a_1+8d $$
    $$ 2a_1+8d=10 $$
    $$ S_{9} = \frac{2a_1+8d}{2} *9 $$
    $$ S_{9} = \frac{10}{2} *9 $$
    $$ S_{9} = 45 $$
    Ответ: $$ 45 $$

    A₃+a₇=10 ⇒a₂+a₈=10 ⇒ a₁+a₉=10
    S₉=9*(a1+a9)/2=9*10/2=45
    отв:45

  • 1. Дана арифметическая прогрессия (an). Вычислите а5, если а12=17,d=1

    2. Дана геометрическая прогрессия (bn). Вычислите сумму двух первых членов, если b4=81,q=3.

    3. Из арифметических прогрессий, заданных формулой n-го члена, выберите все те, для которых выполняется условие a9 < 1: \( 1. a_n=\frac{n}{3}+1; \;\;2. a_n=17-2n; \;\;3. a_n=2n-19; \;\;4. a_n=40-4n \)


    Решение: 2. в1=81/34^4=1 в2=1*3=3 3+1=4

    3. 1. 9/3+1=4 нет

        2. 17-2*9=-1 да

        3.  19-2*9=-1 да

        4.  40-4*9=4 нет

    1. Распишем формулу 12 члена арифметической прогрессии.

    $$ a_{12}=a_{1}+11d $$

    Подставим известные значения и найдём первый член арифметичсекой прогрессии:

    $$ 17=a_{1}+11 $$

    $$ a_{1}=17-11=6 $$

    Запишем формулу для пятого члена:

    $$ a_{5}=a_{1}+4d $$

    Подставим и найдём пятый член:

    $$ a_{5}=6+4=10 $$

    Ответ: 10.

    2. Запишем формулу для четвертого члена геометрической прогрессии:

    $$ b_{4}=b_{1}*q^{3} $$

    Подставим значения и найдём первый член геометрической прогрессии:

    $$ 81=b_{1}*3^{3} $$

    $$ b_{1}=\frac{81}{27}=3 $$

    Запишем формулу суммы для двух первых членов геометрической прогрессии:

    $$ S_{2}=\frac{b_{1}(q^{2}-1)}{2-1} $$

    $$ S_{2}=\frac{3*(9-1)}{3-1}=12 $$

    Ответ: 12

    3. В каждый вариант будем подставлять вместо n число 9.

    1)$$ a_{9}=\frac{9}{3}+1=3+1=4 $$

    4>1, ответ не подходит.

    2)$$ a_{9}=17-2*9=17-18=-1 $$

    -1<1, ответ подходит

    3)$$ a_{9}=2*9-19=18-19=-1 $$

    -1<1, ответ подходит

    4)$$ a_{9}=40-4*9=40-36=4 $$

    4>1, ответ не подходит.

  • Найдите разность и количество членов арифметической прогрессии, для которой
    А) а1=27, аn=69, Sn=1056
    Б)a1=35,an=135,Sn=-900
    НАЙДИТЕ СУММУ ПЕРВЫХ 70 НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ


    Решение: А) Sn=((a1+an)*n) / 2 - сумма арифметической прогрессии
    Выражаем отсюда n:
    n = (2*Sn) / (a1+an) = (2*1056) / (27+69) = 22 - количество членов арифметической прогрессии;
    an = a1 + (n - 1)*d - формула n-ого члена арифметической прогрессии
    Выражаем отсюда d:
    an - a1 = (n - 1)*d
    d = (an - a1) / (n - 1) = (69 - 27) / (22 - 1) = 2
    Под буквой Б) решение абсолютно такое же (по аналогии), только цифры другие!

  • Третий и седьмой члены арифметической прогрессии равны 1,1 и 2,3. найти сумму первых десяти её членов.


    Решение: А₃ = а₁ +2d 1.1 = a₁ + 2d a₁ = 1.1-2d a₁ = 1.1-2d
    a₇ = a₁ + 6d 2.3 = a₁ +6d 2.3 = 1.1-2d +6d 2.3-1.1 = 4d
    ₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋₋
    a₁ = 1.1-2d a₁ = 1.1-2d a₁ = 1.1-2*0.3 = 0.5
    1.2 = 4d d = 0.3 d =0.3
    S₁₀ = ((2a₁ + d(n-1))*n)/ 2 = (2*0.5 + 0.3(10-1)) *10) /2 = (1+2.7*10)/2 =
     = (1+27)/2 = 28/2 = 14
    S₁₀ = 14

  • Третий и седьмой члены арифметической прогрессии равны 8 и 20 соответственно. Найдите сумму десяти первых членов этой прогрессии.


    Решение: Решение:
    Дано:
    а3=8
    а7=20
    Найти: S10 ?
    аn=a1+d*(n-1)
    а3=а1+d*(3-1)=a1+2d  или:
    8=а1+2d  (1)
    a7=a1+d*(7-1)=a1+6d  или:
    20=а1+6d  (2)
    Решим получившуюся систему двух уравнений:
    8=а1+2d
    20=a1+6d
    Отнимем из первого уравнения второе уравнение:
    8-20=а1+2d-a1-6d
    -12=-4d
    d=-12 : -4
    d=3
    Подставим значение d  в любое из уравнений, например в первое:
    8=а1+2*3
    8=а1+6
    а1=8-6=2
    Sn=(a1+an)*n/2
    a10=2+3*(10-1)=2+27=29
    S10=(2+29)*10/2=31*5=155
    Ответ: S10=155

<< < 414243 44 45 > >>