прогрессия »

в арифметической прогрессии найдите - страница 2

  • В арифметической прогрессии (аn) а14 = -7, а16 = -1. Найдите а15 и а7 + а23


    Решение: ПРЕДСТАВИМ а14 как а1+13d, а а16 как а1+15d
    решаем как систему уравнений: -2d=-6 /(-2) d=3, отсюда находим а1= -7-39=-46
    отсюда находим а15=а1+14d=-46+14*3=-4
    a7+а23= а1+6d+а1+22d=2а1+28d= -8

    """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

    ПРЕДСТАВИМ а как а d а а как а dрешаем как систему уравнений - d - - d отсюда находим а - - - отсюда находим а а d - - a а а d а d а d -...

  • в арифметической прогрессии a7=8 и a11=12,8. Найдите a1


    Решение: d=дробь числитель а11-а7 знаменатель 11-7=4,8/4=1.2

    d=1.2

    8=a1+1.2 * 6 

    8=а1+7.2

    a1=8-7.2=0.8

    a1=0.8

    an = a1 + (n-1)*d

    Получается система из двух уравнений:

    a7 = a1 + 6d = 8

    a11 = a1 + 10d = 12,8

    Из обоих выражаем а1:

    а1 = 8 - 6d

    a1 = 12,8 - 10d

    Приравниваем правые части:

    8 - 6d = 12,8 - 10d

    И решаем уравнение:

    4d = 12,8 - 8

    4d = 4,8

    d = 1,2.

    Теперь подставляем d в одно из выражений для нахождения а1:

    a1 = 8 - 6d = 8 - 6*1,2 = 8 - 7,2 = 0,8.

  • В арифметической прогрессии a7 = 8 и a11 = 12,8
    Найдите a1 и d.


    Решение: $$ a_7=8;a_{11}=12.8 $$
    $$ a_n=a_1+(n-1)*d $$
    $$ a_{11}-a_7=(a_1+(11-1)*d)-(a_1+(7-1)*d)=4d $$
    $$ 4d=12.8-8=4.8 $$
    $$ d=4.8:4=1.2 $$
    $$ a_1=a_n-(n-1)*d $$
    $$ a_1=8-(7-1)*1.2=8-6*1.2=8-7.2=0.8 $$

    $$ a _{7} =a _{1} +d(n-1) $$
    $$ a _{1} +6d=8 $$
    $$ a _{11} =a _{1} +d(n-1) $$
    $$ a _{1} +10d=12,8 $$
    $$ a _{1} +6d=8 $$
    -
    $$ a _{1} +10d=12,8 $$
    ______________________
    -4d=-4,8
    d=1,2; a1=0,8

  • В арифметической прогрессии(аn) a3=10 a7=40. Найдите a5


    Решение: Решение:
    Дано: а_3=10; а_7=40  Найти а_5
    Зная формулу: а_n=a1+d(n-1)
    Отсюда а_3=а1+d(n-1)=a1+d(3-1)=a1+2d
       a_7=a1+d(n-1)=a1+d(7-1)=a1+6d
    Или составим систему уравнений:
    10=a1+2d
    40=a1+6d
    Из первого уравнения найдём a1  a1=10-2d  и подставим во второе уравнение:
    40=10-2d+6d
    4d=30
    d=30/4=7,5
    a1=10-2*7,5=10-15=-5
    Зная а1 и d, можно найти:  а_5=-5+7,5(5-1)=-5+30=25
    Ответ: а5=25

  • В арифметической прогрессий a5=8,7 и a8=12,3. Найдите d и a1


    Решение: a5 = a1 + 4d = 8.7

    a8 = a1 + 7d = 12.3

    3d = 3.6

    d = 1.2

    a1 = 8.7 - 1.2*4 = 3.9 


    рассписываем по формуле 

    an =a1 + d (n - 1)

    a1

    a2=a1+1d

    a3=a1+d2

    a4=a1+3d

    a5=a1+4d

    a6=a1+5d

    a7=a1+6d

    a8 = a1 + 7d

    составим систему

    { a8=a1+7d

    {a5=a1+4d

    подставим числа и решим

    {12,3=a1+7d

    { 8,7=a1+4d

    {a1=12,3-7d

    {8,7=12,3-7d+4d

    8,7=12,3-3d

    3d=12,3-8,7

    d=1,2

    подставим d в уравнение a1=12,3-7d

    a1=12,3-6*1,2

    a1=3,9

  • В арифметической прогрессии (an) найдите
    a)a2 и d если: a1=5 a3=13
    b)a1 и d a2=3 a3=19
    в)a2 и d a12=-2 a3=7


    Решение: Формула общего члена арифметической прогрессии:
    $$ a_{n}=a_{1}+d\cdot (n-1) $$
    a)a₃=a₁+d·(3-1)
       13=5+d·2
     d=(13-5)/2=4
    a₂=a₁+d·(2-1)=5+4·1=9
    О т в е т.  a₂=9; d=4
    b)a₂=a₁+d·(2-1)
       a₃=a₁+d·(3-1)
    {3= a₁+d 
    {19=a₁+2d
    Вычитаем из второго первое
    16=d
    a₁=3-d=3-16=-13
    О т в е т.  a₁=-13; d=16
    c)a₁₂=a₁+d·(12-1)
       a₃=a₁+d·(3-1)
     
       {-2=a₁+11d;
       {7 = a₁+2d
    Вычитаем из первого уравнения второе
    -9=9d
    d=-1
    a₁=7-2d=7-2·(-1)=9
    a₂=a₁+d·(2-1)=9-1·1=-8
    О т в е т. a₂=-8; d=-1

  • В арифметической прогрессии a1=0, d=3. Найдите сумму: a3+a6+a9+.+a33


    Решение: В нашей сумме 11 слагаемых.
    Имеем (а1+2d) + (a1+5d) +. + (a1+32d) = 11a1+ ( 2d+5d+.+32d)
    Поскольку a1=0, наша сумма принимает вид d*(2+5+.+32)
    В скобках мы видим арифметическую прогрессию с первым членом 2, последним членом 32, состоящую из 11 членов. Тогда сумма такой прогрессии равна (2+32)/2*11=187.
    Искомая сумма равна d*187=3*187=561.

  • В арифметической прогрессии a6 = 3, a13 = -25. Найдите разность прогрессии.


    Решение: Используем формулу для нахождения н-го члена арифметической прогрессии
    $$ a_{n}=a_{1}+d(n-1)\\a_{6}=a_{1}+d(6-1)=a_{1}+5d\\a_{13}=a_{1}+d(13-1)=a_{1}+12d $$
    Подставим значения и получим систему
    $$ \left \{ {{3=a_{1}+5d} \atop {-25=a_{1}+12d}} \right. $$
    Из второго уравнения вычтем первое
    $$ \left \{ {{3=a_{1}+5d} \atop {-28=7d}} \right. \left \{ {{3=a_{1}+5d} \atop {\frac{-28}{7}=d}} \right. \left \{ {{3=a_{1}+5d} \atop {-4=d}} \right. \left \{ {{3=a_{1}+5*(-4)} \atop {-4=d}} \right. \\\left \{ {{3=a_{1}-20} \atop {-4=d}} \right. \left \{ {{23=a_{1}} \atop {-4=d}} \right.\left \{ {{a_{1}=23} \atop {d=-4}} \right. $$
    Ответ: разность арифметической прогрессии равна -4

  • в арифметической прогрессии найдите:

    а) а23, если а10 = 25, а30 = 95;

    б) а2 + а9, если а5 + а6 = 18.


    Решение: 25=a1+9d

    (квадратные скобки)

    95 = a1 + 29d

    из второго вычитаем первое и получаем: 70=20d => d = 3,5. 

    подставляем все значения в первое и получаем:

    25=a1 + 9*3.5 => a1 = 25 - 31,5 = -6,5.

    a23 = a1 + 22d

    a23 = 70,5.

    a2 + a9 = a1 + d + a1 + 8d

    a2+a9=2a1+9d

    a5 + a6 = a1 +4d +a1 +5d

    a5+a6= 2a1+9d Следовательно: a2+a9=a5+a6=2a1+9d=18.

  • В арифметической прогрессии известны c7=-6 c11=-12. найдите c1 и d


    Решение: Запишем формулы для с 7 и с 11 
    с 7 = с 1 + d( 7 - 1 )
    c11 = c1 + d ( 11 - 1 ), получим систему уравнений с двумя неизвестными с 1 и d
     -6 = c1 +6d c1= -6d -6, подставим во второе уравнение,
    - 12= c1 + 10 d  10d = -12 - ( -6d -6 ) 10d = -12 + 6d +6, 4d = -6, d = - 1,5,
    c1 = -6* (- 1,5 ) - 6 =9 - 6 = 3, c1 =3, d = -1,5

<< < 12 3 4 > >>