в арифметической прогрессии найдите - страница 2
В арифметической прогрессии (аn) а14 = -7, а16 = -1. Найдите а15 и а7 + а23
Решение: ПРЕДСТАВИМ а14 как а1+13d, а а16 как а1+15d
решаем как систему уравнений: -2d=-6 /(-2) d=3, отсюда находим а1= -7-39=-46
отсюда находим а15=а1+14d=-46+14*3=-4
a7+а23= а1+6d+а1+22d=2а1+28d= -8"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
в арифметической прогрессии a7=8 и a11=12,8. Найдите a1
Решение: d=дробь числитель а11-а7 знаменатель 11-7=4,8/4=1.2d=1.2
8=a1+1.2 * 6
8=а1+7.2
a1=8-7.2=0.8
a1=0.8
an = a1 + (n-1)*d
Получается система из двух уравнений:
a7 = a1 + 6d = 8
a11 = a1 + 10d = 12,8
Из обоих выражаем а1:
а1 = 8 - 6d
a1 = 12,8 - 10d
Приравниваем правые части:
8 - 6d = 12,8 - 10d
И решаем уравнение:
4d = 12,8 - 8
4d = 4,8
d = 1,2.
Теперь подставляем d в одно из выражений для нахождения а1:
a1 = 8 - 6d = 8 - 6*1,2 = 8 - 7,2 = 0,8.
В арифметической прогрессии a7 = 8 и a11 = 12,8
Найдите a1 и d.
Решение: a7=8;a11=12.8
an=a1+(n−1)∗d
a11−a7=(a1+(11−1)∗d)−(a1+(7−1)∗d)=4d
4d=12.8−8=4.8
d=4.8:4=1.2
a1=an−(n−1)∗d
a1=8−(7−1)∗1.2=8−6∗1.2=8−7.2=0.8
a7=a1+d(n−1)
a1+6d=8
a11=a1+d(n−1)
a1+10d=12,8
a1+6d=8
-
a1+10d=12,8
______________________
-4d=-4,8
d=1,2; a1=0,8В арифметической прогрессии(аn) a3=10 a7=40. Найдите a5
Решение: Решение:
Дано: а_3=10; а_7=40 Найти а_5
Зная формулу: а_n=a1+d(n-1)
Отсюда а_3=а1+d(n-1)=a1+d(3-1)=a1+2d
a_7=a1+d(n-1)=a1+d(7-1)=a1+6d
Или составим систему уравнений:
10=a1+2d
40=a1+6d
Из первого уравнения найдём a1 a1=10-2d и подставим во второе уравнение:
40=10-2d+6d
4d=30
d=30/4=7,5
a1=10-2*7,5=10-15=-5
Зная а1 и d, можно найти: а_5=-5+7,5(5-1)=-5+30=25
Ответ: а5=25
В арифметической прогрессий a5=8,7 и a8=12,3. Найдите d и a1
Решение: a5 = a1 + 4d = 8.7a8 = a1 + 7d = 12.3
3d = 3.6
d = 1.2
a1 = 8.7 - 1.2*4 = 3.9
рассписываем по формуле
an =a1 + d (n - 1)
a1
a2=a1+1d
a3=a1+d2
a4=a1+3d
a5=a1+4d
a6=a1+5d
a7=a1+6d
a8 = a1 + 7d
составим систему
{ a8=a1+7d
{a5=a1+4d
подставим числа и решим
{12,3=a1+7d
{ 8,7=a1+4d
{a1=12,3-7d
{8,7=12,3-7d+4d
8,7=12,3-3d
3d=12,3-8,7
d=1,2
подставим d в уравнение a1=12,3-7d
a1=12,3-6*1,2
a1=3,9
В арифметической прогрессии (an) найдите
a)a2 и d если: a1=5 a3=13
b)a1 и d a2=3 a3=19
в)a2 и d a12=-2 a3=7
Решение: Формула общего члена арифметической прогрессии:
an=a1+d⋅(n−1)
a)a₃=a₁+d·(3-1)
13=5+d·2
d=(13-5)/2=4
a₂=a₁+d·(2-1)=5+4·1=9
О т в е т. a₂=9; d=4
b)a₂=a₁+d·(2-1)
a₃=a₁+d·(3-1)
{3= a₁+d
{19=a₁+2d
Вычитаем из второго первое
16=d
a₁=3-d=3-16=-13
О т в е т. a₁=-13; d=16
c)a₁₂=a₁+d·(12-1)
a₃=a₁+d·(3-1)
{-2=a₁+11d;
{7 = a₁+2d
Вычитаем из первого уравнения второе
-9=9d
d=-1
a₁=7-2d=7-2·(-1)=9
a₂=a₁+d·(2-1)=9-1·1=-8
О т в е т. a₂=-8; d=-1
В арифметической прогрессии a1=0, d=3. Найдите сумму: a3+a6+a9+.+a33
Решение: В нашей сумме 11 слагаемых.
Имеем (а1+2d) + (a1+5d) +. + (a1+32d) = 11a1+ ( 2d+5d+.+32d)
Поскольку a1=0, наша сумма принимает вид d*(2+5+.+32)
В скобках мы видим арифметическую прогрессию с первым членом 2, последним членом 32, состоящую из 11 членов. Тогда сумма такой прогрессии равна (2+32)/2*11=187.
Искомая сумма равна d*187=3*187=561.В арифметической прогрессии a6 = 3, a13 = -25. Найдите разность прогрессии.
Решение: Используем формулу для нахождения н-го члена арифметической прогрессии
an=a1+d(n−1)a6=a1+d(6−1)=a1+5da13=a1+d(13−1)=a1+12d
Подставим значения и получим систему
{3=a1+5d−25=a1+12d
Из второго уравнения вычтем первое
{3=a1+5d−28=7d{3=a1+5d−287=d{3=a1+5d−4=d{3=a1+5∗(−4)−4=d{3=a1−20−4=d{23=a1−4=d{a1=23d=−4
Ответ: разность арифметической прогрессии равна -4в арифметической прогрессии найдите:
а) а23, если а10 = 25, а30 = 95;
б) а2 + а9, если а5 + а6 = 18.
Решение: 25=a1+9d(квадратные скобки)
95 = a1 + 29d
из второго вычитаем первое и получаем: 70=20d => d = 3,5.
подставляем все значения в первое и получаем:
25=a1 + 9*3.5 => a1 = 25 - 31,5 = -6,5.
a23 = a1 + 22d
a23 = 70,5.
a2 + a9 = a1 + d + a1 + 8d
a2+a9=2a1+9d
a5 + a6 = a1 +4d +a1 +5d
a5+a6= 2a1+9d Следовательно: a2+a9=a5+a6=2a1+9d=18.
В арифметической прогрессии известны c7=-6 c11=-12. найдите c1 и d
Решение: Запишем формулы для с 7 и с 11
с 7 = с 1 + d( 7 - 1 )
c11 = c1 + d ( 11 - 1 ), получим систему уравнений с двумя неизвестными с 1 и d
-6 = c1 +6d c1= -6d -6, подставим во второе уравнение,
- 12= c1 + 10 d 10d = -12 - ( -6d -6 ) 10d = -12 + 6d +6, 4d = -6, d = - 1,5,
c1 = -6* (- 1,5 ) - 6 =9 - 6 = 3, c1 =3, d = -1,5