прогрессия »

найти первый член и знаменатель прогрессии

  • Найдите первые шесть членов геометрической пргрессии, если: 1) первый член прогрессии равен 4, а знаменатель равен 2. 2) первый член равен -27, а знаменатель равен одной третьей 3) первый член равен 10, а знаменатель минус одна вторая 4) первый член и знаменатель прогрессии одинаковы и равны корню квадратному из 2. № 33.6 Найдите знаменатель геометрической прогрессии: 1) первый член равен 3, второй корню квадратному из 3, третий член равен 1... 2) 0,01; 0,1; 1;... 3) первый член равен одной шестьдесят четвёртой, второй минус одной восьмой, третий плюс один;... 4) первый член равен числу а в десятой степени, второй - числу а в девятой степени, третий - числу а в восьмой степени;...


    Решение: Общая формула: $$ b_{n+1} = b_{n} * q $$
    1) b₁ = 4, q = 2
    b₂ = 4 * 2 = 8, b₃ = 8 * 2 = 16, b₄ = 16 * 2 = 32, b₅ = 32 * 2 = 64, b₆ = 64 * 2 = 128
    2) b₁ = -27, q = 1/3
    b₂ = -27 * 1/3 = -9, b₃ = -9 * 1/3 = -3, b₄ = -3 * 1/3 = -1, b₅ = -1 * 1/3 = -1/3, b₆ = -1/3 * 1/3 = -1/9
    3) b₁ = 10, q = -1/2
    b₂ = 10 * (-1/2) = -5, b₃ = -5 * (-1/2) = 5/2, b₄ = 5/2 * (-1/2) = -5/4, b₅ = -5/4 * (-1/2) = 5/8, b₆ = 5/8 * (-1/2) = -5/16
    4) b₁ = q = √2
    b₂ = √2 * √2 = 2, b₃ = 2 * √2 = 2√2, b₄ = 2√2 * √2 = 4, b₅ = 4 * √2 = 4√2, b₆ =4√2 * √2 = 8

    Общая формула: $$ q=b_{n+1}/b_{n} $$
    1) b₁ = 3, b₂ = √3, b₃ = 1
    q = √3 / 3 = √3/3
    2) b₁ = 0,01, b₂ = 0,1, b₃ = 1
    q = 1 / 0,1 = 10
    3) b₁ = 1/64, b₂ = -1/8, b₃ = 1
    q = 1 / (-1/8) = -8
    4) b₁ = a¹⁰, b₂ =a⁹, b₃ = a⁸
    q = a⁸ / a⁹ = 1/a

  • Определите первый член и знаменатель геометрической прогрессии в которой, разность между пяти и одному её членами ровна 60, а разность между четырёх и двух членами ровна 24.


    Решение: \({b_{n}}\) - геометрическая прогрессия

    \( b_{1} \) - первый член

    q - знаменатель г. п.

    $$ \\b_{n}=b_{1}\cdot q^{n-1} \\ \begin{cases} b_{5}-b_{1}=60\\\\b_{4}-b_{2}=24 \end{cases}\\ b_{5}=b_{1}\cdot q^{4}\\ b_{4}=b_{1}\cdot q^{3}\\ b_{2}=b_{1}\cdot q\\ \begin{cases} b_{1}\cdot q^{4}-b_{1}=60\\\\b_{1}\cdot q^{3}-b_{1}\cdot q=24 \end{cases}\\ \begin{cases} b_{1}\cdot (q^{4}-1)=60\\\\b_{1}q\cdot (q^{2}-1)=24 \end{cases} \\ \begin{cases} b_{1}\cdot (q^{2}-1)(q^{2}+1)=60\\\\b_{1}\cdot (q^{2}-1)q=24 \end{cases} \\ $$

    разделим одно уравнение на другое а другое оставим прежним

    $$ \\\begin{cases} \frac{q^{2}+1}{q}=\frac{5}{2}\\\\b_{1}\cdot (q^{2}-1)q=24 \end{cases}\\ $$

    $$ \\\begin{cases} \frac{2q^{2}+2}{q}=5\\\\b_{1}\cdot (q^{2}-1)q=24 \end{cases}\\ \begin{cases} \frac{2q^{2}+2}{q}-5=0\\\\b_{1}\cdot (q^{2}-1)q=24 \end{cases}\\ \begin{cases} \frac{2q^{2}-5q+2}{q}=0\\\\b_{1}\cdot (q^{2}-1)q=24 \end{cases}\\ \begin{cases} 2q^{2}-5q+2=0\\\\b_{1}\cdot (q^{2}-1)q=24 \end{cases} \\ $$ 

    $$ \\D=25-16=9\\ q=\frac{5+-3}{4}\\ \begin{cases} q=2\\\\b_{1}\cdot (q^{2}-1)q=24 \end{cases} \begin{cases} q=\frac{1}{2}\\\\b_{1}\cdot (q^{2}-1)q=24 \end{cases}\\ \begin{cases} q=2\\\\b_{1}\cdot 6=24 \end{cases} \begin{cases} q=\frac{1}{2}\\\\b_{1}\cdot (-\frac{3}{8})=24 \end{cases}\\ \begin{cases} q=2\\\\b_{1}=4 \end{cases} \begin{cases} q=\frac{1}{2}\\\\b_{1}=-64 \end{cases}\\ $$

  • Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если: (система) b4 - b2 = 120 ^ S4 - S2 = 150.


    Решение: b4 - b2 = 120

    S4 - S2 = 150

    b1q^3-b1q=120

    (b1(q^4-1))/(q-1)-(b1(q^2-1)/(q-1)=150

     b1q(q^2-1)=120 

    ((b1(q^4-1)-(b1(q^2-1)))/(q-1)=150

    b1q(q^2-1)=120

    (b1q^4-b1-b1q^2+b1)/(q-1)=150

    b1q(q^2-1)=120 

    (b1q^2(q^2-1))/(q-1)=150

    q^2-1=120/b1q

    b1q^2(120/b1q)=150(q-1)

    120q=150q-150

    -30q=-150

    q=5

    5^2-1=120/5b1 

    24=120/5b1

    120b1=120

    b1=1

  • Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если b2=6 b4=2/3


    Решение: (Bn) геометрическая прогрессия             Bn(в квадрате)=Bn-1 * Bn+1 (свойство г. п)

    B2=2                                                       B3( в квадрате)=6 * 2/3

    B4=2/3                                                    B3(в квадрате)=4

    q-                                                          B3=2

    B1-                                                        q=Bn+1/Bn

                                                                  q=B3/B2

                                                                   q= 2/6

                                                                  q=1/3

                                                                   B2=B1*q

                                                                   B1=B2/q

                                                                   B1=6/ 1/3= 6*3=18

                                                                

  • найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, учитывая, что: а4-а2=18, а5-а3=36; это система


    Решение: b1*q^3 - b1*q = 18          b1*q^2(q^2 - 1) = 36      разделить первое на второе

    b1*q^4 - b1*q^2 = 36       b1*q(q^2 - 1) = 18

    => q = 2, подставляем знаменатель => b1*q(q^2 - 1) = 18 => 2b1(4 - 1) = 18 => 6b1 = 18 => b1 = 3

    Ответ: b1 = 3, q = 2

    b1*q^3 - b1*q = 18          b1*q^2(q^2 - 1) = 36      разделить первое на второе

    b1*q^4 - b1*q^2 = 36       b1*q(q^2 - 1) = 18  А ответ:b1 = 3, q = 2

1 2 3 > >>