найти первый член и знаменатель прогрессии
Найдите первые шесть членов геометрической пргрессии, если: 1) первый член прогрессии равен 4, а знаменатель равен 2. 2) первый член равен -27, а знаменатель равен одной третьей 3) первый член равен 10, а знаменатель минус одна вторая 4) первый член и знаменатель прогрессии одинаковы и равны корню квадратному из 2. № 33.6 Найдите знаменатель геометрической прогрессии: 1) первый член равен 3, второй корню квадратному из 3, третий член равен 1... 2) 0,01; 0,1; 1;... 3) первый член равен одной шестьдесят четвёртой, второй минус одной восьмой, третий плюс один;... 4) первый член равен числу а в десятой степени, второй - числу а в девятой степени, третий - числу а в восьмой степени;...
Решение: Общая формула: $$ b_{n+1} = b_{n} * q $$
1) b₁ = 4, q = 2
b₂ = 4 * 2 = 8, b₃ = 8 * 2 = 16, b₄ = 16 * 2 = 32, b₅ = 32 * 2 = 64, b₆ = 64 * 2 = 128
2) b₁ = -27, q = 1/3
b₂ = -27 * 1/3 = -9, b₃ = -9 * 1/3 = -3, b₄ = -3 * 1/3 = -1, b₅ = -1 * 1/3 = -1/3, b₆ = -1/3 * 1/3 = -1/9
3) b₁ = 10, q = -1/2
b₂ = 10 * (-1/2) = -5, b₃ = -5 * (-1/2) = 5/2, b₄ = 5/2 * (-1/2) = -5/4, b₅ = -5/4 * (-1/2) = 5/8, b₆ = 5/8 * (-1/2) = -5/16
4) b₁ = q = √2
b₂ = √2 * √2 = 2, b₃ = 2 * √2 = 2√2, b₄ = 2√2 * √2 = 4, b₅ = 4 * √2 = 4√2, b₆ =4√2 * √2 = 8
Общая формула: $$ q=b_{n+1}/b_{n} $$
1) b₁ = 3, b₂ = √3, b₃ = 1
q = √3 / 3 = √3/3
2) b₁ = 0,01, b₂ = 0,1, b₃ = 1
q = 1 / 0,1 = 10
3) b₁ = 1/64, b₂ = -1/8, b₃ = 1
q = 1 / (-1/8) = -8
4) b₁ = a¹⁰, b₂ =a⁹, b₃ = a⁸
q = a⁸ / a⁹ = 1/aОпределите первый член и знаменатель геометрической прогрессии в которой, разность между пяти и одному её членами ровна 60, а разность между четырёх и двух членами ровна 24.
Решение: \({b_{n}}\) - геометрическая прогрессия\( b_{1} \) - первый член
q - знаменатель г. п.
$$ \\b_{n}=b_{1}\cdot q^{n-1} \\ \begin{cases} b_{5}-b_{1}=60\\\\b_{4}-b_{2}=24 \end{cases}\\ b_{5}=b_{1}\cdot q^{4}\\ b_{4}=b_{1}\cdot q^{3}\\ b_{2}=b_{1}\cdot q\\ \begin{cases} b_{1}\cdot q^{4}-b_{1}=60\\\\b_{1}\cdot q^{3}-b_{1}\cdot q=24 \end{cases}\\ \begin{cases} b_{1}\cdot (q^{4}-1)=60\\\\b_{1}q\cdot (q^{2}-1)=24 \end{cases} \\ \begin{cases} b_{1}\cdot (q^{2}-1)(q^{2}+1)=60\\\\b_{1}\cdot (q^{2}-1)q=24 \end{cases} \\ $$
разделим одно уравнение на другое а другое оставим прежним
$$ \\\begin{cases} \frac{q^{2}+1}{q}=\frac{5}{2}\\\\b_{1}\cdot (q^{2}-1)q=24 \end{cases}\\ $$
$$ \\\begin{cases} \frac{2q^{2}+2}{q}=5\\\\b_{1}\cdot (q^{2}-1)q=24 \end{cases}\\ \begin{cases} \frac{2q^{2}+2}{q}-5=0\\\\b_{1}\cdot (q^{2}-1)q=24 \end{cases}\\ \begin{cases} \frac{2q^{2}-5q+2}{q}=0\\\\b_{1}\cdot (q^{2}-1)q=24 \end{cases}\\ \begin{cases} 2q^{2}-5q+2=0\\\\b_{1}\cdot (q^{2}-1)q=24 \end{cases} \\ $$
$$ \\D=25-16=9\\ q=\frac{5+-3}{4}\\ \begin{cases} q=2\\\\b_{1}\cdot (q^{2}-1)q=24 \end{cases} \begin{cases} q=\frac{1}{2}\\\\b_{1}\cdot (q^{2}-1)q=24 \end{cases}\\ \begin{cases} q=2\\\\b_{1}\cdot 6=24 \end{cases} \begin{cases} q=\frac{1}{2}\\\\b_{1}\cdot (-\frac{3}{8})=24 \end{cases}\\ \begin{cases} q=2\\\\b_{1}=4 \end{cases} \begin{cases} q=\frac{1}{2}\\\\b_{1}=-64 \end{cases}\\ $$
Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если: (система) b4 - b2 = 120 ^ S4 - S2 = 150.
Решение: b4 - b2 = 120S4 - S2 = 150
b1q^3-b1q=120
(b1(q^4-1))/(q-1)-(b1(q^2-1)/(q-1)=150
b1q(q^2-1)=120
((b1(q^4-1)-(b1(q^2-1)))/(q-1)=150
b1q(q^2-1)=120
(b1q^4-b1-b1q^2+b1)/(q-1)=150
b1q(q^2-1)=120
(b1q^2(q^2-1))/(q-1)=150
q^2-1=120/b1q
b1q^2(120/b1q)=150(q-1)
120q=150q-150
-30q=-150
q=5
5^2-1=120/5b1
24=120/5b1
120b1=120
b1=1
Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если b2=6 b4=2/3
Решение: (Bn) геометрическая прогрессия Bn(в квадрате)=Bn-1 * Bn+1 (свойство г. п)B2=2 B3( в квадрате)=6 * 2/3
B4=2/3 B3(в квадрате)=4
q- B3=2
B1- q=Bn+1/Bn
q=B3/B2
q= 2/6
q=1/3
B2=B1*q
B1=B2/q
B1=6/ 1/3= 6*3=18
найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, учитывая, что: а4-а2=18, а5-а3=36; это система
Решение: b1*q^3 - b1*q = 18 b1*q^2(q^2 - 1) = 36 разделить первое на второеb1*q^4 - b1*q^2 = 36 b1*q(q^2 - 1) = 18
=> q = 2, подставляем знаменатель => b1*q(q^2 - 1) = 18 => 2b1(4 - 1) = 18 => 6b1 = 18 => b1 = 3
Ответ: b1 = 3, q = 2
b1*q^3 - b1*q = 18 b1*q^2(q^2 - 1) = 36 разделить первое на второе
b1*q^4 - b1*q^2 = 36 b1*q(q^2 - 1) = 18 А ответ:b1 = 3, q = 2
Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если сумма первого и четвёртого членов равна 27, а сумма второго и третьего членов равна 18.
Решение: $$ \left \{ {b_{1}+b_{4}=27} \atop {b_{2}+b_{3}=18} \right. \\ \left \{ {{b_{1}+b_{1}q^3=27} \atop {b_{1}q+b_{1}q^2=18}} \right. $$
$$ \left \{ {{b_{1}= \frac{27}{1+q^3} } \atop {b_{1}= \frac{18}{q+q^2} }} \right. $$
$$ \frac{27}{(1+q)(1-q+q^2)}= \frac{18}{q(1+q)}\\\\18(1-q+q^2)=27q|:9\\2-2q+2q^2-3q=0\\2q^2-5q+2=0\\D=9=3^2\\q_{1}=2, q_{2}= \frac{1}{2} $$
$$ b_{1}= \frac{18}{2(1+2)}= \frac{18}{6}=3\\\\b_{2}= \frac{18}{ \frac{1}{2}(1+ \frac{1}{2}) }=24 $$
Ответ: $$ b_{1}=2, q=3; \\b_{1}= \frac{1}{2}, q=24 $$Определите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если разность между пятым и третьим членами равна 504, а разность между четвертым и вторым членами равна 168.
Решение: Пусть а1 =первый член прогрессии, b- знаменатель прогрессииа(n)=a1*b^(n-1)
тогда пятый член прогрессии a1*b^4
третий член прогрессии a1*b^2
четвертый член прогрессии a1*b^3
второй член прогрессии a1*b
a1*b^4-a1*b^2= a1*b^2(b^2-1)=504 [1]
a1*b^3-a1*b=a1*b(b^2-1)=168 [2]
Разделим равенство [1] на равенство [2] (но введем ограничение: b не равно 1 или -1, чтобы не получить деление на 0)
Получим b=3
Из уравнения [2] a1=168/24=7
Ответ: первый член геометрической прогрессии равен 7, знаменатель 3
определите первый член и знаменатель геометрической прогрессии если известно что разность между шестым и четвертым членами =648 а разность между пятым и третьим членами равна -216
Решение: b₆-b₄=648 b₁q⁵-b₁q³=648b₅-b₃=-216 b₁q⁴-b₁q²=-216
$$ \frac{b_1q^5-b_1q^3}{b_1q^4-b_1q^2}=-\frac{648}{216} $$
$$ \frac{b_1q^3(q^2-1)}{b_1q^2(q^2-1)}=-3 $$
q=-3
b₁(-3)⁴-b₁(-3)²=-216
81b₁-9b₁=-216
72b₁=-216
b₁=-216:72
b₁=-3
b₆-b₄=648 b₁q⁵-b₁q³=648
b₅-b₃=-216 b₁q⁴-b₁q²=-216
q=-3
b₁(-3)⁴-b₁(-3)²=-216
81b₁-9b₁=-216
72b₁=-216
b₁=-216:72
b₁=-3Известны первый член и знаменатель геометрической прогрессии (bn). если b1=243/256. q=2/3. n=8
Решение: Надо найти восьмой член прогрессии.
Разность между первым и вторым членами геометрической прогрессии равна 8, а сумма второго и третьего членов 12. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии.
Решение: $$ b_{1}-b_{2}=8\\ b_{2}+b_{3}=12\\ \\ b_{1}(1-q)=8\\ b_{1}(q+q^2)=12\\ \\ \frac{q+q^2}{1-q}=\frac{3}{2}\\ 2q+2q^2=3-3q\\ 2q^2+5q-3=0\\ D=7^2\\ q=\frac{-5+7}{4}=\frac{1}{2}\\ q=\frac{-5-7}{4}=-3\\ b_{1}=16\\ b_{1}=2 $$Тут полное решение. Все подробно объяснено на фотографии.
