прогрессия »

найти первые три числа прогрессии

  • Три числа составляют арифметическую прогрессию. Их сумма равна 27,
    а квадраты этих чисел составляют геометрическую прогрессию. Найти числа.


    Решение: Пусть abs - модуль, все три числа 9 получается, тоесть а2=9. Тогда abs(a1*a3)=a2^2=81
    если a1>0, a3<0 или наоборот a1<0, a3>0
    a1+a3=18
    a1*a3=-81
    Решив систему, в итоге получаем a1=9+9sqrt(2) и a3=9-9sqrt(2) и наоборот. Оба а1 и а3 отрицательными быть не могут. 

    Ответ: 9; 9-9√2; 9+9√2

    Даны 3 числа х-d;x;x+d 
    x-d+x+x+d=27
    3x=27
    x=9
    Исходов может быть 2
    1)9-d<0 U 9+d>0
    2)9-d>0 U 9+d<0
    Иначе все числа равны по 9, что противоречит условию
    Значит (9-d)(9+d)=-81
    81-d²=-81
    d²=162
    d1=9√2
    Получаем последовательность 9-9√2:9;9+9√2
    d2=-9√2
    или последовательность  9+9√2;9;9-9√2
    Проверим
    81/(9+9√2)²=(9-9√2)²/81
    81²=(81-162)²
    81²=(-81)²
    Значит решили верно

  • Сумма трех чисел составляющих возрастающую арифметическую прогрессию, равна 30. Если от первого числа отнять 5, от второго 4, а третье число оставить без изменений, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найти эти числа


    Решение: 1. Имеем арифметическую прогрессию: 
    а₁, а₂, а₃, где а₂ =а₁ + д; или а₁ = а₂ - д;(1)  а₃ = а₂ + д;(2)
    по условию:  а₁+ а₂ + а₃ = 30 (3), но сумма трех членов равна также: (а₁ + а₃)·3:2 = 30, ⇒ а₁ + а₃ = 20 (4). Сравнивая (3) и (4) (или вычитая из (3) (4)), получим: а₂ =10;
    2. По условию: (а₁ - 5); (а₂ - 4); а₃  - геометрическая прогрессия.
    Исходя из ее свойств (а₂ - 4)/(а₁ - 5) = а₃/(а₂ - 4) или, т. к. а₂ =10 и ⇒ а₂ - 4 = 6; 6/(а₁ - 5) = а₃/6 (5).
    Преобразуем (5) и выразим а₁ и а₃ через а₂: пригодятся выражения  (1) и (2).
    а₃·(а₁ - 5) = 36 ; (а₂+д)·(а₂ -д -5) =36, Вставив а₂ = 10, получим: (10+д)·(10 - д - 5) =36; (10+д)·(5 - д) = 36;
    50 + 5д -10д - д² = 36; д² + 5д - 14 = 0;
    д₁ = (-5 + √(25+56):2 = (-5+9):2 = 2
    (т. к. по условию прогрессия возрастающая, отрицательный д₂ на берем)
    тогда а₁ = а₂ - д = 10 - 2 = 8; а₃ = а₂ +д =10 + 2 = 12;
    Прогрессия наша: 8, 10, 12
    Проверка: (а₂-4)/(а₁-5) = 12/(а₂-4) = 6:3=12:6, и новая прогрессия (3,6,12) геометрическая.

  • Найти три числа, составляющих геометрическую прогрессию, если известно, что сумма этих чисел равна 26 и что от прибавления к ним соответственно 1;6 и 3 получаются новые числа, составляющие арифметическую прогрессию


    Решение: Пусть эти числа равны $$ x;y;z $$ соответственно взятые, тогда выполняется такое условие 
    $$ \frac{y}{x}=\frac{z}{y} $$, теперь новые числа $$ x+1;y+6;z+3 $$, для них 
    $$ y+6-(x+1)=z+3-(y+6)\\ y-x+5=z-y-3\\ 2y-x-z=-8 $$. сумма их равна 26, решим систему 
    $$ 2y-x-z=-8\\ \frac{y}{x}=\frac{z}{y}\\ x+y+z=26\\ \\ x+z-2y=8\\ x+z+y=26\\ \\ -2y-y=-18\\ y=6\\ \\ 36=xz\\ x=\frac{36}{z}\\ 6+\frac{36}{z}+z=26\\ 6z+z^2+36=26z\\ z^2-20z+36=0\\ D=400-4*1*36= 16^2\\ z=\frac{20+16}{2}=18\\ z=\frac{20-16}{2}=2\\ x=2\\ x=18 $$
    то есть эти числа равны 2;6;18

  • Найти три числа, составляющих геометрическую прогрессию, зная, что их сумма ровна 26, а сумма квадратов этих чисел равна 364.


    Решение: Обозначим искомые числа x,y,z и учтем свойство геометрической прогрессии - ее член в квадрате равен произведению предыдущего и последующего члена.

    x+y+z=26 (1)
    x²+y²+z²=364 (2)
    y²=x*z (3)
    формулой
     (x+y+z)²=x²+y²+z²+2(xy+yz+xz) найдем
    26²=676=364+2(xy+yz+xz)⇒xy+yz+xz=(676-364)/2=156
    учитывая (3) xy+yz+y²=y(x+y+z)=y*26=156 ⇒y=6

    xz=6²=36
    x+z=26-6=20 z=20-x
    x(20-x)=36 ⇒ x²-20x+36=0
    x1=18 x2=2 по т. Виета
    у1=20-18=2 у2=20-2=18

    Ответ: 2, 6, 18 или 18, 6, 2

  • Русский вариант:

    Найти четыре числа, которые образуют геометрическую прогрессию, в которой сумма крайних чисел равняется 27, а произведение средних равняется 72.

    Украинский вариант:

    Знайти чотири числа, що утворюють геометричну прогресію, у якій сума крайніх чисел дорівнюе 27, а добуток середніх дорівнює 72.


    Решение:

    b1+b4=27   

    b2*b3=72

    b1+b1*q^3=27

    b1*q*b1*q^2=72

    b1+b1*72/b1^2

    q^3=72/b1^2

    (это было всё системами)

    далее решим уравнение b1+72/b1=27 умножим всё уравнение на b1 и получим

    b1^2 -27*b1 + 72 =0

    D=27^2 - 4*1*72 = 729-288=441=21^2

    b1 = (27+21)/2=24     b1=(27-21)/2=3

    q^3=72/24^2                q^3=72/3^2

    q=0.5                             q=2

    если b1=24 q=0.5, то эти числа 24, 12, 6, 3

    ечли b1=3 q=2, то эти числа 3, 6, 12, 24

    но вообще по идее в условии должно быть написано убывающая прогрессия или возрастающая. если такого условия нет, то верны оба ответа

1 2 3 > >>