прогрессия » геометрическая прогрессия найти сумму первых
  • Три числа составляют арифметическую прогрессию. Их сумма равна 27,
    а квадраты этих чисел составляют геометрическую прогрессию. Найти числа.


    Решение: Пусть abs - модуль, все три числа 9 получается, тоесть а2=9. Тогда abs(a1*a3)=a2^2=81
    если a1>0, a3<0 или наоборот a1<0, a3>0
    a1+a3=18
    a1*a3=-81
    Решив систему, в итоге получаем a1=9+9sqrt(2) и a3=9-9sqrt(2) и наоборот. Оба а1 и а3 отрицательными быть не могут. 

    Ответ: 9; 9-9√2; 9+9√2

    Даны 3 числа х-d;x;x+d 
    x-d+x+x+d=27
    3x=27
    x=9
    Исходов может быть 2
    1)9-d<0 U 9+d>0
    2)9-d>0 U 9+d<0
    Иначе все числа равны по 9, что противоречит условию
    Значит (9-d)(9+d)=-81
    81-d²=-81
    d²=162
    d1=9√2
    Получаем последовательность 9-9√2:9;9+9√2
    d2=-9√2
    или последовательность  9+9√2;9;9-9√2
    Проверим
    81/(9+9√2)²=(9-9√2)²/81
    81²=(81-162)²
    81²=(-81)²
    Значит решили верно

  • Сумма трех чисел составляющих возрастающую арифметическую прогрессию, равна 30. Если от первого числа отнять 5, от второго 4, а третье число оставить без изменений, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найти эти числа


    Решение: 1. Имеем арифметическую прогрессию: 
    а₁, а₂, а₃, где а₂ =а₁ + д; или а₁ = а₂ - д;(1)  а₃ = а₂ + д;(2)
    по условию:  а₁+ а₂ + а₃ = 30 (3), но сумма трех членов равна также: (а₁ + а₃)·3:2 = 30, ⇒ а₁ + а₃ = 20 (4). Сравнивая (3) и (4) (или вычитая из (3) (4)), получим: а₂ =10;
    2. По условию: (а₁ - 5); (а₂ - 4); а₃  - геометрическая прогрессия.
    Исходя из ее свойств (а₂ - 4)/(а₁ - 5) = а₃/(а₂ - 4) или, т. к. а₂ =10 и ⇒ а₂ - 4 = 6; 6/(а₁ - 5) = а₃/6 (5).
    Преобразуем (5) и выразим а₁ и а₃ через а₂: пригодятся выражения  (1) и (2).
    а₃·(а₁ - 5) = 36 ; (а₂+д)·(а₂ -д -5) =36, Вставив а₂ = 10, получим: (10+д)·(10 - д - 5) =36; (10+д)·(5 - д) = 36;
    50 + 5д -10д - д² = 36; д² + 5д - 14 = 0;
    д₁ = (-5 + √(25+56):2 = (-5+9):2 = 2
    (т. к. по условию прогрессия возрастающая, отрицательный д₂ на берем)
    тогда а₁ = а₂ - д = 10 - 2 = 8; а₃ = а₂ +д =10 + 2 = 12;
    Прогрессия наша: 8, 10, 12
    Проверка: (а₂-4)/(а₁-5) = 12/(а₂-4) = 6:3=12:6, и новая прогрессия (3,6,12) геометрическая.

  • Найти три числа, составляющих геометрическую прогрессию, если известно, что сумма этих чисел равна 26 и что от прибавления к ним соответственно 1;6 и 3 получаются новые числа, составляющие арифметическую прогрессию


    Решение: Пусть эти числа равны $$ x;y;z $$ соответственно взятые, тогда выполняется такое условие 
    $$ \frac{y}{x}=\frac{z}{y} $$, теперь новые числа $$ x+1;y+6;z+3 $$, для них 
    $$ y+6-(x+1)=z+3-(y+6)\\ y-x+5=z-y-3\\ 2y-x-z=-8 $$. сумма их равна 26, решим систему 
    $$ 2y-x-z=-8\\ \frac{y}{x}=\frac{z}{y}\\ x+y+z=26\\ \\ x+z-2y=8\\ x+z+y=26\\ \\ -2y-y=-18\\ y=6\\ \\ 36=xz\\ x=\frac{36}{z}\\ 6+\frac{36}{z}+z=26\\ 6z+z^2+36=26z\\ z^2-20z+36=0\\ D=400-4*1*36= 16^2\\ z=\frac{20+16}{2}=18\\ z=\frac{20-16}{2}=2\\ x=2\\ x=18 $$
    то есть эти числа равны 2;6;18

  • Найти три числа, составляющих геометрическую прогрессию, зная, что их сумма ровна 26, а сумма квадратов этих чисел равна 364.


    Решение: Обозначим искомые числа x,y,z и учтем свойство геометрической прогрессии - ее член в квадрате равен произведению предыдущего и последующего члена.

    x+y+z=26 (1)
    x²+y²+z²=364 (2)
    y²=x*z (3)
    формулой
     (x+y+z)²=x²+y²+z²+2(xy+yz+xz) найдем
    26²=676=364+2(xy+yz+xz)⇒xy+yz+xz=(676-364)/2=156
    учитывая (3) xy+yz+y²=y(x+y+z)=y*26=156 ⇒y=6

    xz=6²=36
    x+z=26-6=20 z=20-x
    x(20-x)=36 ⇒ x²-20x+36=0
    x1=18 x2=2 по т. Виета
    у1=20-18=2 у2=20-2=18

    Ответ: 2, 6, 18 или 18, 6, 2

  • Русский вариант:

    Найти четыре числа, которые образуют геометрическую прогрессию, в которой сумма крайних чисел равняется 27, а произведение средних равняется 72.

    Украинский вариант:

    Знайти чотири числа, що утворюють геометричну прогресію, у якій сума крайніх чисел дорівнюе 27, а добуток середніх дорівнює 72.


    Решение:

    b1+b4=27   

    b2*b3=72

    b1+b1*q^3=27

    b1*q*b1*q^2=72

    b1+b1*72/b1^2

    q^3=72/b1^2

    (это было всё системами)

    далее решим уравнение b1+72/b1=27 умножим всё уравнение на b1 и получим

    b1^2 -27*b1 + 72 =0

    D=27^2 - 4*1*72 = 729-288=441=21^2

    b1 = (27+21)/2=24     b1=(27-21)/2=3

    q^3=72/24^2                q^3=72/3^2

    q=0.5                             q=2

    если b1=24 q=0.5, то эти числа 24, 12, 6, 3

    ечли b1=3 q=2, то эти числа 3, 6, 12, 24

    но вообще по идее в условии должно быть написано убывающая прогрессия или возрастающая. если такого условия нет, то верны оба ответа

  • Сумма трёх чисел образующих геометрическую прогрессию равна 39. Если первое число умножить на -3, то получится арифметическая прогрессия. Найти три первоначальных числа


    Решение: Три числа, образующих геометрическую прогрессию (исходные) : b, bq, bq².
    Арифметическая прогрессия: −3b, bq, bq².
    Получаем систему
    { b(1 + q + q²) = 39,
    { 2bq = bq² − 3b.
    Из второго уравнения (поскольку b не может быть равным 0)
    q² − 2q − 3 = 0,
    (q − 3)(q + 1) = 0.
    Значит, знаменатель прогрессии либо 3, либо −1. В каждом случае из первого уравнения системы находим соответствующее значение b.
    Ответ:13, 39, 117 (q = 3, b = 13);

  • 1. Три числа, сумма которых равна 26, составляют геометрическую прогрессию. Если к этим числам прибавить соответственно 1,6 и 3, то получаются три числа, составляющих арифметическую прогрессию. Найти эти числа.


    Решение: Пусть х - первый член прогрессии, у -второй, z - третий.
    в конце получается что z = 18 или 2, но так как мы нашли что у = 6 а это второй член прогрессии тогда третий член не может быть меньше первого следовательно z = 18, а х = 2

    Пусть х - первый член прогрессии у -второй z - третий.в конце получается что z или но так как мы нашли что у а это второй член прогрессии тогда третий член не может быть мень...
  • Сумма трех чисел, составляющих возрастающую геометрическую прогрессию, равна 65. Если от 1-го числа отнять 1, второе оставить без изменений, а от третьего отнять 19, то получатся числа, составляющие арифметическую прогрессию. Найти первоначальные 3 числа


    Решение: Х+ух+уух=65
    (х-1)+(ху)+(уух-19)=65-20=45 
    45:3=15
    ху=15
    х=5
    у=3
    Проверка:
     (5-1)+(3*5)+(9*5-19)=45 
    5+3*5+9*5=65
    Ответ: 5, 15, 45

    $$ \left \{ {{b_{1}+b_{1}q+b_{1}q^2=65 \\ \\} \atop {(b_{1}-1)+b_{1}q+(b_{1}q^2-19)=65}} \right. \\ \left \{ {{b_{1}(1+q+q^2)=65} \atop {b_{1}+b_{1}q+b_{1}q^2=45}} \right. \\ \\ b_{1}=a_{1}\\ b_{1}q=a_{2}\\ b_{1}q^2-19=a_{3} \\ \\ b_{1}= \frac{65}{1+q+q^2} \\ \\ \frac{65}{1+q+q^2} -1=a_{1}\\ \frac{65q}{1+q+q^2}=a1+d\\ \frac{65q^2}{1+q+q^2}-19=a_{1}+2d \\ \\ \frac{65}{q^2+q+1}=\frac{65}{q^2+q+1}-1+d \\ \frac{65}{q^2+q+1}-19=\frac{65}{q^2+q+1}-1+2d\\ \\ $$
    затем решаем уравнение 
    (65(q-1)(q+1))/(q^2+q+1)=18+2((65(q-1)/(q^2+q+1))+1)
     отудого q=3
     значит это число 5;15;45

  • Сумма трех чисел, составляющую возрастающую геометрическую прогрессию равна 65. Если от 1-го числа отнять 1, второе оставить без изменений, а от 3-го отнять 19, то получаются числа составляющие арифметическую прогрессию. Найти первоначальные 3 числа.


    Решение: B₁+b₂+b₃=65
    b₁+b₁q+b₁q²=65
    b₁(1+q+q²)=65
    b₁-1=a₁
    b₂=a₂
    b₃-19=a₃
    Основное свойство арифметической прогрессии: разность двух соседних слагаемых одна и та же и равна d
    d=a₂-a₁=a₃-a₂
    b₂-(b₁-1)=b₁q-b₁+1
    b₃-19-b₂=b₁q²-b₁q-19
    и
    b₁q-b₁+1=b₁q²-b₁q-19
    или
    b₁q²-2b₁q+b₁-20=0.
    Решаем систему двух уравнений с двумя неизвестными:
    b₁(1+q+q²)=65  ⇒b₁q²+b₁=65-b₁q   и подставим во второе уравнение.
    иb₁q²-2b₁q+b₁-20=0.
    Получим  65-b₁q-2b₁q-20=0  или  45=3b₁q  или  b₁q=15
    Подставим в первое уравнение:  b₁q²=b₁q·q=15q
    15q+b₁=65-15
    b₁=50-15q
    b₁q=15
    (50-15q)·q=15
    или
    (10-3q)·q=3
    3q²-10q+3=0
    D=100-36=64
    q₁=(10+8)/6=3
    q₂=(10-8)/6=1/3 - не удовлетворяет условию задачи ( геометрическая прогрессия возрастающая)
    b₁=5
    О т в е т. 5; 15; 45.

  • Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 21. Найти эти числа, если известно, что, уменьшив второе из них на 1 и увеличив третье на 1, мы получим геометрическую прогрессию


    Решение: a,b,c арифм. прогрессия, значит b=(a+c)/2,a+b+c=21,3b=21, b=7,a+c=14,a=14-c

    a,b-1,c+1 геом. прогрессия, значит (b-1)^2=a*(c+1), раскрываем скобки и получаем b^2-2b+1=ac+a

    49-14+1=ac+c

    ac+a=36

    (14-c)*c+14-c=36

    c^2-13c+22=0

    c1=11,a1=3,b=7  3,7,11 проверка 3,6,12 геом. прогрессия

    c2=2,a2=12,b=7  12,7,2 проверка 12,6,3 геом. прогрессия

1 2 > >>