член арифметической прогрессии равен
Чему равен пятый член арифметической прогрессии, если второй член равен 2, а восьмой член равен -10?
Решение: a2=a1+d=2, a8=a1+7d=-10. Получили систему. Вычтем из первого уравнения второе:-6d=12, d=-2. Тогда a1=2-d=2+2=4. a5=a1+4d=4-8=-4
Решение:
Составим систему уравнений:
{2=a₁+d \ -6d=12, d=-2.
{-10=a1+7d /
a₁=2-d=2+2=4;
a₅=a₁+4d=4-8=-4
Ответ: а₅=-4.
четвертый член арифметической прогрессии равен 9, а девятый член равен -6. сколько надо взять членов прогрессии, чтобы сумма их была равна 54?
Решение: Дано:(An)-арифметическая прогрессия
A4=9
A9=-6
Sn=54
Найти:n
Решение:
A1+An
Sn=- *n
2
{A4=A1+3d
{A9=A1+8d {A1+3d=9
{A1+8d=-6
{A1=9-3d
{9-3d+8d=-6
5d=-15
d=-3
A1=18
18+An
Sn=- *n
2
18+An
54= - *n
2
An=A1+(n-1)d
An=18+(n-1)*-3
18+18+(n-1)*-3
- *n=54
2
решаем
n1=4 n2=9 18+9 27*4
S4= - *4=-=27*2=54
2 2
18-6 12
S9=- * 9=-*9=6*9=54
Четвертый член арифметической прогрессии равен 9, а девятый член равен -6. сколько надо взять членов прогрессии, чтобы сумма их была равна 54?
Решение: Дано:(An)-арифметическая прогрессияA4=9
A9=-6
Sn=54
Найти:n
Решение:
A1+An
Sn=- *n
2
{A4=A1+3d
{A9=A1+8d
{A1+3d=9
{A1+8d=-6
{A1=9-3d
{9-3d+8d=-6
5d=-15
d=-3
A1=18
18+An
Sn=- *n
2
18+An
54= - *n
2
An=A1+(n-1)d
An=18+(n-1)*-3
Подставляем
18+18+(n-1)*-3
- *n=54
2
решаем
n1=4
n2=9
18+9 27*4
S4= - *4=-=27*2=54
2 2
18-6 12
S9=- * 9=-*9=6*9=54
2 2
Третий член арифметической прогрессии равен 10, а восьмой 30. Сколько нужно взять членов, чтобы сумма их равнялась 242?
Решение: a3=a1+2d=10, a8=a1+7d=30, a1+7d-a1+2d= 5d=20 d=4a1=10-2d=10-8=2
Sn=(2a1+d(n-1))/2 + (4+4n-4)/2*n
2n^2=242
n^2=121
n=11
$$ a_{1}+7d=a_{8} a_{1}+2d=a_{3} $$
$$ \left \{ {a_{1}+7d=30} \atop {a_{1}+2d=10} \right. $$
$$ 5d=20 d=4 $$
$$ 10=a_{1}+8 $$
$$ a_{1}=2 $$
$$ S_{n}=\frac{2*a_{1}+d(n-1)}{2}*n $$
$$ 242=\frac{4+4(n-1)}{2}*n 242=(2+2(n-1))*n $$
$$ 242=(2+2(n-1))*n 242=2n+2n^{2}-2n $$
$$ 242=2n^{2} \ n^{2}=121 \ n=11 $$
Третий член арифметической прогрессии равен -6, а сумма второго и пятого равна -9. Каким членом арифметической прогрессии является число 15.
Решение: D - разность арифметической прогрессии
$$ a_3=a_1+2d=-6 \\\\ a_2+a_5=a_1+d+a_1+4d=2a_1+5d=-9 $$
Получаем систему:
$$ \begin{cases} a_1+2d=-6 \\ 2a_1+5d=-9 \end{cases} \\\\ \begin{cases} 2a_1+4d=-12 \\ 2a_1+5d=-9 \end{cases} $$
Вычитаем из второго уравнения первое:
$$ d=3 \\\\ a_1+2*3=-6 \\\\ a_1=-12 \\\\ a_n=a_1+d(n-1)=15 \\\\ -12+3n-3=15 \\\\ 3n=30 \\\\ n=10 $$
Ответ: число 15 является 10-м членом данной арифметической прогрессии.
Третий член арифметической прогрессии равен 19, а восьмой 36. вычислите восемнадцатый член этой арифметической прогрессии.
Решение: Решение:
Формула an=a1+d*(n-1)
Отсюда:
а3=a1+d*(3-1) или 19=а1+2d
a8=a1+d*(8-1) или 36=a1+7d
Решим выделенную систему уравнений, чтобы найти а1 и d:
Отнимем из второго уравнения первое:
36-19=a1+7d -a1 -2d
17=5d
d=17 :5
d=17/5=3,4
Подставим найденное значение (d) в любое из уравнений, например в первое:
19=а1+2*3,4
а1=19-6,8=12,2
Подставим найденные значения а1 и d в формулу аn
a18=a1+d*(18-1)=12,2+3,4*17=12,2+57,8=70
Ответ: а18=70
В арифметической прогрессии 23-й член равен 17,5. Вычислить сумму 22-го и 24-го членов прогрессии.
Решение: В арифметической прогрессии есть такое правило: член арифметической прогрессии равен полусумме соседних с ним членов, то есть третий равен сумме второго и четвертого, поделенное на 2, десятый равен сумме 9 и 11 члена, поделенное на 2 и т. д. То есть сумма 9 и 11 ченов равна удвоенному 10 члену прогрессии Здесь есть 23 член прогрессии. Запишем уравнение:
а23=(а22+а24)/2;
а22+а24=2*а23;
а22 +а24=2*17,5=35. Ответ : 35Седьмой член арифметической прогрессии, в которой сумма утроенного третьего и учетверенного десятого членов равно 140 равен.
Решение: Представим а3=а1+2da10=a1+9d
Теперь составляем данную нам сумму утроенного третьего и учетверенного десятого членов равно 140. Составляем уравнение
$$ 3a_{3}+4a_{10}=140 $$
Подставляем выведенные нами значения
$$ 3(a_{1}+2d)+4(a_{1}+9d)=140 $$
$$ 3a_{1}+6d+4a_{1}+36d=140 $$
$$ 7a_{1}+42d=140 $$
Выносим общий множитель за скобки и получаем
$$ 7(a_{1}+6d)=140 $$
Делим на 7
$$ a_{1}+6d=20 $$
Но мы также можем представить $$ a_{1}+6d=a_{7} $$
Сл-но $$ a_{7}=20 $$
Четвертый член равен 9, а девятый член -(-6). Сколько нужно взять членов арифметической прогрессии, чтобы сумма их была 54?
Решение: Дано:(An)-арифметическая прогрессияA4=9
A9=-6
Sn=54
Найти:n
Решение:
A1+An
Sn=- *n
2
{A4=A1+3d
{A9=A1+8d
{A1+3d=9
{A1+8d=-6
{A1=9-3d
{9-3d+8d=-6
5d=-15
d=-3
A1=18
18+An
Sn=- *n
2
18+An
54= - *n
2
An=A1+(n-1)d
An=18+(n-1)*-3
18+18+(n-1)*-3
- *n=54
2
решаем
n1=4
n2=9
18+9 27*4
S4= - *4=-=27*2=54
2 2
18-6 12
S9=- * 9=-*9=6*9=54
Четвертый член равен 9, а девятый член -6. сколько нужно взять членов арифметической прогрессии, чтобы сумма их была 54
Решение: A₄ =9
A₉= -6
Sn=54
A₄ = A₁+3d
A₉= A₁+8d
{A₁+3d=9
{A₁+8d= -6
{A₁=9-3d
{A₁= -6-8d
9-3d= -6-8d
-3d+8d = -6 -9
5d= -15
d= -3
A₁ =9 -3*(-3)=9+9=18
Sn=(2A₁+d(n-1))n
2
54 = (2*18-3(n-1))n
2
54*2 = (36-3n+3)n
108=(39-3n)n
39n-3n²-108=0
n²-13n+36=0
D=169-144=25
n₁= 13-5 = 4
2
n₂ = 13+5 = 9
2
Ответ: 4 или 9 членов арифметической прогрессии.
