прогрессия » равен член арифметической прогрессии
  • Чему равен пятый член арифметической прогрессии, если второй член равен 2, а восьмой член равен -10?


    Решение: a2=a1+d=2, a8=a1+7d=-10. Получили систему. Вычтем из первого уравнения второе:

    -6d=12, d=-2. Тогда a1=2-d=2+2=4. a5=a1+4d=4-8=-4

    Решение:

    Составим систему уравнений:

    {2=a₁+d           \  -6d=12, d=-2.

    {-10=a1+7d     /

    a₁=2-d=2+2=4; 

    a₅=a₁+4d=4-8=-4

    Ответ: а₅=-4.

  • четвертый член арифметической прогрессии равен 9, а девятый член равен -6. сколько надо взять членов прогрессии, чтобы сумма их была равна 54?


    Решение: Дано:(An)-арифметическая прогрессия
    A4=9
    A9=-6
    Sn=54
    Найти:n
    Решение:
       A1+An   
    Sn=- *n 
      2
      {A4=A1+3d
       {A9=A1+8d  {A1+3d=9
    {A1+8d=-6
    {A1=9-3d
    {9-3d+8d=-6 
    5d=-15
    d=-3
    A1=18
       18+An 
    Sn=- *n 
      2 
       18+An
     54= - *n
      2  
     An=A1+(n-1)d
    An=18+(n-1)*-3
    18+18+(n-1)*-3
     - *n=54
      2
     решаем 
    n1=4 n2=9 18+9 27*4
               S4= - *4=-=27*2=54 
      2 2
           18-6 12
     S9=- * 9=-*9=6*9=54


  • Четвертый член арифметической прогрессии равен 9, а девятый член равен -6. сколько надо взять членов прогрессии, чтобы сумма их была равна 54?


    Решение: Дано:(An)-арифметическая прогрессия

    A4=9

    A9=-6

    Sn=54

    Найти:n

      Решение:

      A1+An 

    Sn=- *n 

      2 

    {A4=A1+3d

    {A9=A1+8d 

    {A1+3d=9

    {A1+8d=-6

    {A1=9-3d

    {9-3d+8d=-6 

    5d=-15

    d=-3

    A1=18

      18+An

    Sn=- *n 

      2 

      18+An

    54= - *n

      2 

    An=A1+(n-1)d

    An=18+(n-1)*-3

    Подставляем

    18+18+(n-1)*-3

    - *n=54

      2 

    решаем

    n1=4

    n2=9

      18+9 27*4

    S4= - *4=-=27*2=54 

      2 2

      18-6 12

    S9=- * 9=-*9=6*9=54

      2 2

  • Третий член арифметической прогрессии равен 10, а восьмой 30. Сколько нужно взять членов, чтобы сумма их равнялась 242?


    Решение: a3=a1+2d=10, a8=a1+7d=30, a1+7d-a1+2d= 5d=20 d=4

    a1=10-2d=10-8=2

    Sn=(2a1+d(n-1))/2 + (4+4n-4)/2*n

    2n^2=242

    n^2=121

    n=11

    $$ a_{1}+7d=a_{8} a_{1}+2d=a_{3} $$

    $$ \left \{ {a_{1}+7d=30} \atop {a_{1}+2d=10} \right. $$

    $$ 5d=20 d=4 $$

    $$ 10=a_{1}+8 $$

    $$ a_{1}=2 $$

    $$ S_{n}=\frac{2*a_{1}+d(n-1)}{2}*n $$

    $$ 242=\frac{4+4(n-1)}{2}*n 242=(2+2(n-1))*n $$

    $$ 242=(2+2(n-1))*n 242=2n+2n^{2}-2n $$

    $$ 242=2n^{2} \ n^{2}=121 \ n=11 $$

  • Третий член арифметической прогрессии равен -6, а сумма второго и пятого равна -9. Каким членом арифметической прогрессии является число 15.


    Решение: D - разность арифметической прогрессии

    $$ a_3=a_1+2d=-6 \\\\ a_2+a_5=a_1+d+a_1+4d=2a_1+5d=-9 $$

    Получаем систему:
    $$ \begin{cases} a_1+2d=-6 \\ 2a_1+5d=-9 \end{cases} \\\\ \begin{cases} 2a_1+4d=-12 \\ 2a_1+5d=-9 \end{cases} $$

    Вычитаем из второго уравнения первое:
    $$ d=3 \\\\ a_1+2*3=-6 \\\\ a_1=-12 \\\\ a_n=a_1+d(n-1)=15 \\\\ -12+3n-3=15 \\\\ 3n=30 \\\\ n=10 $$

    Ответ: число 15 является 10-м членом данной арифметической прогрессии.


  • Третий член арифметической прогрессии равен 19, а восьмой 36. вычислите восемнадцатый член этой арифметической прогрессии.


    Решение: Решение:
    Формула an=a1+d*(n-1)
    Отсюда:
    а3=a1+d*(3-1)  или  19=а1+2d
    a8=a1+d*(8-1)  или  36=a1+7d
    Решим выделенную систему уравнений, чтобы найти а1 и d:
    Отнимем из второго уравнения первое:
    36-19=a1+7d -a1 -2d
    17=5d
    d=17 :5
    d=17/5=3,4
    Подставим найденное значение (d) в любое из уравнений, например в первое:
    19=а1+2*3,4
    а1=19-6,8=12,2
    Подставим найденные значения а1 и d в формулу аn
    a18=a1+d*(18-1)=12,2+3,4*17=12,2+57,8=70

    Ответ: а18=70

  • В арифметической прогрессии 23-й член равен 17,5. Вычислить сумму 22-го и 24-го членов прогрессии.


    Решение: В арифметической прогрессии есть такое правило: член арифметической прогрессии равен полусумме соседних с ним членов, то есть третий равен сумме второго и четвертого, поделенное на 2, десятый равен сумме 9 и 11 члена, поделенное на 2 и т. д. То есть сумма 9 и 11 ченов равна удвоенному 10  члену прогрессии Здесь есть 23 член прогрессии. Запишем уравнение:
    а23=(а22+а24)/2;
    а22+а24=2*а23;
    а22 +а24=2*17,5=35. Ответ : 35

  • Седьмой член арифметической прогрессии, в которой сумма утроенного третьего и учетверенного десятого членов равно 140 равен.


    Решение: Представим а3=а1+2d

     a10=a1+9d

    Теперь составляем данную нам сумму утроенного третьего и учетверенного десятого членов равно 140. Составляем уравнение

    $$ 3a_{3}+4a_{10}=140 $$

    Подставляем выведенные нами значения

    $$ 3(a_{1}+2d)+4(a_{1}+9d)=140 $$

    $$ 3a_{1}+6d+4a_{1}+36d=140 $$

    $$ 7a_{1}+42d=140 $$

    Выносим общий множитель за скобки и получаем

    $$ 7(a_{1}+6d)=140 $$

    Делим на 7

    $$ a_{1}+6d=20 $$

    Но мы также можем представить $$ a_{1}+6d=a_{7} $$

    Сл-но $$ a_{7}=20 $$

  • Четвертый член равен 9, а девятый член -(-6). Сколько нужно взять членов арифметической прогрессии, чтобы сумма их была 54?


    Решение: Дано:(An)-арифметическая прогрессия

    A4=9

    A9=-6

    Sn=54

    Найти:n

    Решение:

      A1+An 

    Sn=- *n 

      2 

    {A4=A1+3d

    {A9=A1+8d 

    {A1+3d=9

    {A1+8d=-6

    {A1=9-3d

    {9-3d+8d=-6 

    5d=-15

    d=-3

    A1=18

      18+An

    Sn=- *n 

      2 

      18+An

    54= - *n

      2 

    An=A1+(n-1)d

    An=18+(n-1)*-3

    18+18+(n-1)*-3

    - *n=54

      2 

    решаем

    n1=4

    n2=9

      18+9 27*4

    S4= - *4=-=27*2=54 

      2 2

      18-6 12

    S9=- * 9=-*9=6*9=54

  • Четвертый член равен 9, а девятый член -6. сколько нужно взять членов арифметической прогрессии, чтобы сумма их была 54


    Решение: A₄ =9
    A₉= -6
    Sn=54

    A₄ = A₁+3d
    A₉= A₁+8d

    {A₁+3d=9
    {A₁+8d= -6

    {A₁=9-3d
    {A₁= -6-8d

    9-3d= -6-8d
    -3d+8d = -6 -9
    5d= -15
    d= -3
    A₁ =9 -3*(-3)=9+9=18

    Sn=(2A₁+d(n-1))n
      2
    54 = (2*18-3(n-1))n
      2
    54*2 = (36-3n+3)n
    108=(39-3n)n
    39n-3n²-108=0
    n²-13n+36=0
    D=169-144=25
    n₁= 13-5 = 4
      2
    n₂ = 13+5 = 9
      2
    Ответ: 4 или 9 членов арифметической прогрессии.

1 2 3 > >>