член арифметической прогрессии равен - страница 2
если четвертый член равен 9, а девятый член равен-(-6), то сколько нужно взять членов арифметической прогрессии, чтобы сумма их равнялась 54?
Решение: $$ a_{4}=9, a_{9}=-6 $$$$ a_{4}=a_{1}+3d, a_{9}=a_{1}+8d $$
$$ \begin{cases} a_{1}+3d=9\\a_{1}+8d=-6 \end{cases} $$
Почленно складываем, получаем:
$$ 3d-8d=9-(-6) $$
$$ -5d=15 $$
$$ d=-3 $$
$$ a_{1}=9-3d=9-3(-3)=9+9=18 $$
Получаем прогрессию:
18, 15, 12, 9, 6, 3,
Видно, что в сумме первые четыре члена дают 54. (18+15+12+9=54)
Ответ: Надо взять первые четыре члена
$$ a_4=9; a_9=-6; a_n=a_{n-1}+(n-1)*d;a_4=a_1+3d;\\ a_9=a_1+8d;\\ a_9-a_4=(a_1+8d)-(a_1+3d)=5d; \\5d=(-6)-9=-15;\\ d=\frac {-15}{5}=-3;\\ a_1=a_4-3d;\\ a_1=9-3*(-3)=9+9=18;\\ S_n=\frac{2a_1+(n-1)*d}{2}*n;\\ S_n=54;\\ (2*18+(n-1)*(-3))n=54*2;\\ 36n-3n^2+3n-108=0;\\ n^2-13n+36=0;\\ (n-4)(n-9)=0;\\ n_1=4;\\ n_2=9 $$
ответ: 4 или 9 первых n членов
В арифметической прогрессии 10 членов, сумма членов с четными номерами равна 25, а сумма членов с нечетными равна 10. чему равен 7-ой член этой прогрессии?
Решение: $$ a_2=a_1+d\\a_4=a_1+3d\\a_6=a_1+5d\\a_8=a_1+7d\\a_{10}=a_1+9d\\\\a_2+a_4+a_6+a_8+a_{10}=5a_1+25d=25\\\\a_1+5d=5 $$
$$ a_1+a_3+a_5+a_7+a_9=\\=a_1+(a_1+2d)+(a_1+4d)+(a_1+6d)+(a_1+8d)=5a_1+20d=10\; \; \to \; \; \\\\a_1+4d=2\\\\ \left \{ {{a_1+5d=5} \atop {a_1+4d=2}} \right. $$
Вычтем из одного уравнения другое, получим
$$ d=3\;,\; \; a_1=5-5d=5-15=-10\\\\a_7=a_1+6d=-10+18=8 $$
Система
a1+a3+.+a9=10
a2+a4+.+a10=25
a1+a1+2d+.+a1+8d=10
a1+d+a1+3d+.+a1+9d=25
5a1+20d=10
5a1+25d=25
5d=15
d=3
a1=-10
a7=a1+6d=-10+18=8если второй и четвертый члены арифметической прогрессии соответственно равны 6 и 16, то пятый член прогрессии равен
Решение: n-й член арифметической прогрессии равен$$ a_n=a_1+d(n-1) $$составим состему уравнений для 2 и 4-го членов
$$ \begin{cases} a_1+d(2-1)=6\\a_1+d(4-1)=16 \end{cases}=>\\ \begin{cases} a_1+d=6\\a_1+3d=16 \end{cases}=>\\ \begin{cases} a_1=6-d\\6-d+3d=16 \end{cases}=>\\ \begin{cases} a_1=6-d\\2d=10 \end{cases}=>\\ \begin{cases} a_1=6-5\\d=5 \end{cases}=>\\ \begin{cases} a_1=1\\d=5 \end{cases}=>\\ $$
Сумма второго, четвертого и шестого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 15, а сумма квадратов третьего и пятого членов этой же прогрессии равна 58.
Решение: Прогрессия возрастающая, значит, d>0.
$$ \begin{cases}a_2+a_4+a_6=15\\a_3^2+a_5^2=58\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a_1+d+a_1+3d+a_1+5d=15\\(a_1+2d)^2+(a_1+4d)^2=58\end{cases}\Rightarrow\\\Rightarrow\begin{cases}3a_1+9d=15\\(a_1+2d)^2+(a_1+4d)^2=58\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a_1=5-3d\\(a_1+2d)^2+(a_1+4d)^2=58\end{cases}\\(5-3d+2d)^2+(5-3d+4d)^2=58\\(5-d)^2+(5+d)^2=58\\25-10d+d^2+25+10d+d^2=58\\50+2d^2=58\\2d^2=8\\d^2=4\\d_1=2\\d_2=-2\;-\;He\;nogx.\\\begin{cases}a_1=3\\d=2\end{cases} $$
Восьмой член арифметической прогрессии составляет 40% от четвертого, а их сумма равна 2,8. Сколько нужно взять членов этой прогрессии, чтобы сумма их равнялась 14,3?
Решение: а₈ = 0,4а₄
а₈ + а₄ = 2,8
S(n)=14,3 ; n=?1. выражаем а₈ через а₄:
а₈ = 2,8 - а₄
2. приравниваем выражения и находим а₄:
0,4а₄ = 2,8 - а₄
1,4а₄ = 2,8
а₄ = 2
3. тогда а₈ = 2,8 - 2 = 0,8
4. составляем и решаем систему, выразив а₈ и а₄ через формулу арифметической прогрессии:
а₄ = а₁ + 3d
a₈ = a₁ + 7d
что в системе будет выглядеть как
а₁ + 3d = 2
a₁ + 7d = 0,8
решаем систему:
а₁ = 2 - 3d
2 - 3d + 7d = 0,8
4d = -1,2
d = -0,3
а₁ = 2,9
5. находим n по формуле суммы членов арифметической прогрессии:
14,3 = n(5,8 - 0,3(n-1)) / 2
n(5,8 - 0,3(n-1)) = 28,6
6,1n - 0,3n² = 28,6
0,3n² - 6,1n + 28,6 = 0 | x10
3n² - 61n + 286 = 0
D = 289
n = (61 ± 17) / 6 = 13; 10,1(6)
Так как целое n = 13, то 13 и будет нашим ответом.
Ответ: n = 13.Сколько членов арифметической прогрессии (an) где а1=-1и d=4 нужно сложить чтобы полученная сумма была равна 135&
Решение:
S=(2a1+d(n-1))/2*n
135=a1+d(n-1)/2*n
134=4(n-1)/2*n
134=2n(n-1)
67=n(n-1)
n^2-n-67=0
D=√269
Считаем корни, только почему-то n целое не выходит.
А вообще ответ n=9
Ошиблась в вычислениях, когда решала уравнение, так если подставить n=9 в исходное уравнение (верхняя строчка), то всё сходиться.
A1=-1;d=4;Sn=135;
Sn=[2a1+d(n-1)]·n/2;⇒2Sn=2·a1·n+dn²-dn=(2a1-d)·n+dn²;⇒
2·135=(-2-4)n+4n²;⇒4n²-6n-270=0;
n=(6⁺₋√36+4·4·270)/8=(6⁺₋√4356)/8=(6⁺₋66)/8;
n₁=72/8=9;n₂=-60/8=7.5;
n∈Z;n=9.
Сколько членов арифметической прогрессии 105,98,91. нужно взять, чтобы сумма их была равна нулю.
Решение: d=a(2)-a(1)а(1)=105
а(2)=98
d=98-105=-7
S=(a(1)+a(n))/2*n=(2a(1)+(n-1)d)/2*n
2S=(a(1)+(n-1)d)*n
S=0
2*0=(2*105+(n-1)(-7))n
(2*105+(n-1)(-7))n=0
(210-7n+7)n=0
(217-7n)n=0
Так как n≠0, то
217-7n=0
7n=217
n=31
Ответ: 31.
найдем разность d =98-105=-7 сумма S=(d(n-1)+2a(1))n/2=2S=(d(n-1)+2a(1))n=0 теперь подставляем известные числа -7(n-1)+105*2=210-7n+7=217; 7n=217
n=31
Сумма второго и пятого членов арифметической прогрессии равна 26 а ее шестой член больше четвертого на 8 ?
Решение: система: а2+а5=26а6=а4+8
распиши каждое слагаемое через а и d: 2a+5d=26
2d=8 отсюда находите d=2 и подставляете в первое уравнение: a=3
теперь можете найти любой член арифметической прогрессии: а2=7, а5=19, а6=23, а4=15
Докажите, что сумма любых n последовательных членов арифметической прогрессии равна полусумме крайних членов, умноженной на их количество
Решение: Sn = a1 + a2 +. + an = (a1 + an) + (a2 + a_n-1) + (a3 + a_n-3) +.
Рассмотрим пары
a1, an: a1 + an = a1 + a1 + d(n-1) = 2a1 + d(n-1)
a2, a_n-1: a2 + a_n-1 = a1 + d + a1 + d(n-2) = 2a1 + d(n-1)
a3, a_n-2: a3 + a_n-2 = a1+ 2d + a1 + d(n-3) = 2a1 + d(n-1)
.
Итого n/2 пар.
Сумма всех пар равна одному и тому же выражению 2a1 + d(n-1).
Тогда Sn = (2a1 + d(n-1)) * n/2 = (a1 + a1 + d(n-1)) * n/2 = (a1 + an) * n/2
чтдв арифметической прогрессии третий и седьмой члены равны соответственно 1.1 и 2.3, то сумма ее членов с четвертого двадцать третий равна?
Решение: a3 = a1 + 2k = 1,1a7 = a1 + 6k = 2,3
Вычитаем первое уравнение из второго:
4k = 1,2
k = 0,3
Вычисляем a1 = 1,1 - 2k = 1,1 - 2 * 0,3 = 0,5
Сумма с 4 по 23 члены равна сумме с 1 по 23 минус сумма первых трёх:
S(4,23) = S(23) - S(3)
S23 = (a1 + a23) / 2 * 23 = (a1 + a1 + 22k) / 2 * 23 = (a1 + 11k) * 23 = (0,5 + 11 * 0,3) * 23 = 87,4
S3 = (a1 + a3) / 2 * 3 = (a1 + a1 + 2k) / 2 * 3 = (a1 + k) * 3 = (0,5 + 0,3) * 3 = 2,4
Ответ: 87,4 - 2,4 = 85.
