Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
прогрессия »

найдите сумму первых членов геометрической прогрессии - страница 3

  • дана арефметическая прогрессия -7,9,11. найдите сумму первых семи членов этой прогрессии


    Решение: арифм. прогрессия

    a1=3; a2=7; a3=11;a4=15.

    d=4

    по формуле суммы первых n-членов арифмюпрогрессии

    S=((2*a1+(n-1)*d)/2)*n=((2*3+(5-1)*4)/2)*5=55

    n=5, т. к. надо найти сумму первых пяти членов
    ______________________________________________________

    а1=3 а2=7 значит d=4, потом по формуле Аn=а1+d(n-1)

                                                                    Аn=3+4(10-1)=3+36=39

    S10= а1+An/2*n= 3+ 39/2*10=210

  • Найдите три числа, являющиеся первыми тремя членами гометрической прогрессии, у которой сумма первого и третьего члена равна 52, а квадрат второго члена равен 100.


    Решение: Пусть x- первый член геометрической прогрессии. второй член геометрической прогрессии x*y, третий член геометрической прогрессии x*y*y.
    составим систему уравнений:
    x+x*y*y=52
    (x*y)^2=100.
    только одно число в квадрате дает 100, т. о. второй член геометрической прогрессии равен 10.
    x*y=10
    10/y=52/(1+10*y)
    10+100y=52y
    48y=-10
    y=-5/24.
    первый член геометрической прогрессии равен
    10/(-5/24)=-48.
    третий член геометрической прогрессии равен 
    10*(-5/24)=-25/12
    ответ:-48,10,25/12

  • Сумма первого и пятого членов прогрессии равна -2, а сумма второго и шестого её членов равна 2. Найдите сумму первых десяти членов прогрессии.


    Решение: xn=x1+d(n1)
    x1+x5=2
     x2+x6=2
    -2=x(1)*2+d*4
    2=x(1)*2+d*5
    x(1)=(-2+d*4)/2
    x(1)=(2-d*5)/2
    -2-d*4=2-d*5
    d=4
    x(1)=(-2+4*4)/2=7
    x(10)=7+4*9=43

    Воспользуюсь частью предыдущего ответа:
     
    -2=x(1)*2+d*4
    дальше правлиьно будет так:
    2=x(1)*2+d*6
    отнимем от второго уравнения первое (левую часть от левой, правую от правой)
    2 - (-2) = 2*x1 +d*6 - (2*x1+d*4)
    4 = 2*d
    d = 2.
    2=x(1)*2+d*6
    x1 = (2 - 2 * 6)/2 = -10/2 = -5
    x10 = -5 + 2 * 9 = 13
    S = (x1 + x10) / 2 * 10 = (13 - 5) * 5 = 40

  • Сумма квадратов первого и третьего членов геом. прогрессии равна 257. Найдите сумму n первых членов прогрессии, если известно, что отношение суммы второго, третьего и пятого членов прогрессии к сумме третьего, четвёртого и шестого её членов равна 4.


    Решение: Если известно, что отношение суммы второго, третьего и пятого членов прогрессии к сумме третьего, четвёртого и шестого её членов равна 4, то:
    aq+aq2+aq4aq2+aq3+aq5=4aq(1+q+q3)aq2(1+q+q3)=4
    1/q = 4  q = 1/4
    Сумма квадратов первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 257.
    Тогда а² + (aq²)² = 257  а² + a²q⁴ = 257  a²(1+q⁴) = 257  a² = 257/(1+q⁴)
    a² = 257 / 1+(1/4)⁴ = 256  a = 16
    Sn= (16-an*1/4) / (1-1/4) =(64-an) / 3.

  • Сумма первых ста семи членов арифм. прогр. равна 4835. Найдите сумму первых ста семи членов такой прогрессии, каждый член которой на 3 меньше соответствующего члена данной прогрессии.


    Решение: S107 — сумма первоначальной прогрессии;
    Sx107 — сумма прогрессии, которую мы ищем.
    Ответ: 4514.

    S сумма первоначальной прогрессии S x сумма прогрессии которую мы ищем.Ответ ....
  • сумма трех чисел составляющих геометрическую прогрессию равна 35. Если первое число увеличить на 2 второе оставить без изменений, а треть уменьшить на 7, то получится арифметическая прогрессия. Найдите исходные числа.


    Решение: Пусть первое число - x, второе - y, третье - z.

    По условию задачи x+y+z = 35. В то же время, эти числа являются членами геом. прогрессии, т. е. y/x = z/y = q (знаменатель прогрессии). Если первое число увеличить на 2, второе оставить без изменений, а третье уменьшить на 7, то получится арифметическая прогрессия. То есть y-(x+2) = (z-7)-y = d (разнать прогрессии). Получаем систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

    {x+y+z=35yx=zyy(x+2)=(z7)y{z=35xyyx=35xyyyx2=35xy7y{z=35xy10x=35x1010y=1010x=35x1010x225x+100=0D=625400=225=152x1=20,x2=5{z=5x=20y=10;{z=20x=5y=10.

    Это либо члены геом. прогрессии 20, 10, 5 со знаменателем 0,5, либо 5, 10, 20 со знаменателем 2.

  • Сумма трех чисел составляющих геометрическую прогрессию, равна 93. Если из первого числа вычесть 48, а остальное оставить без изменения, то получится арифметическая прогрессия. Найдите эти числа.


    Решение: Сумма геометрической прогрессии равна:
    (1) 93=b1*((1-q^3)/(1-q))=b1(1+q+q^2), или
    (2)b1+b2+b3=93
    b1.1=b1-48 - первое число арифметической прогрессии
    Сумма арифм. прогрессии равна:

    S=((b1.1+b3)/2) *3, или (3) S=b1.1+b2+b3

    Сумма арифметической прогрессии равна сумме геометрической прогрессии минус 48
    93-48=((b1.1+b3)/2)*3

    90=(b1.1+b3)*3

    b1.1+b3=30,
    из уравнения (3) получим, что b3=b1.1+b2=45, а b2=45-(b1.1+b3)=45-30=15

    из ур-я(1) => b1=b2/q, значит сумма геом. прогр. равна:

    93=(b2/q)*(1+q+q^2)

    93q=b2(1+q+q^2)

    15q^2-78q+15=0

    q^2-5,2q+1=0

    d=27,04-4=23,04

    q1,2=(5,2+-4,8)/2

    q1=5

    q2=0.2

    при q=5

    b1=15/5=3

    b2=15

    b3=15*5=75

    при q=0,2

    b1=15/0,2=75

    b2=15

    b3=15*0.2=3

    Ответ:1)3;15;75 2)75;15;3


    Пусть эти числа b1,b2,b3, тогда 

    Сумма геометрической прогрессии из 3 членов равна:

    S=b11q31q=b1(1+q+q2)=93 (1)

    или 

    b1+b2+b3=93

    Обозначим первое число арифметической прогрессии буквой а, тогда:

    a=b148

    Сумма арифметической прогрессии 3 членов равна:

    S=a+b323

    Сумма арифметической прогрессии равна будет сумме геометрической минус 48, раскроем:

    452=3(a+b3)a+b3=30

    Также сумма арифметической прогрессии равна простой сумме ее членов, т. е.:

    a+b2=b3=45

    Из последних двух уравнений найдем второй член прогрессии:

    b2=45(a+b3)=4530=15

    Нашли второй член прогрессии, он равен 15. Подставим в (1) уравнение, представив первый член через второй:

    b2q(1+q+q2)=93/q15+15q+15q2=93q15q278q+15=0/:15q25,2q+1=0D=27,044=23,04q1=(5,2+4,8)/2=5q2=(5,24,8)/2=0,2

    Получили два знаменателя геометрической прогрессии, через него выразим все числа через второй известный член прогрессии:

    1)b1=15/5=3b2=15b3=155=752)b1=15/0,2=75b2=15b3=150,2=3

    Получили возрастающую и убывающую прогрессии:

    1) 3, 15, 75

    2) 75, 15, 3

    Можно проверить на арифметической прогрессии (вычесть 48 из первого члена) и увидим, что арифметические прогрессии тоже выполняются.

  • (An)-геом прог, знаменатель прогрессии равен -2, а2=1/2 (ну или 0,5) Найдите сумму первых четырех ее членов


    Решение: Просят найти: a1+a2+a3+a4

    По формуле n члена прогрессии находим первый член:

    a2=a1*q^(n-1)

    1/2=a1*(-2)^(2-1)

    a1=-1/4

    Запишем сумму по первому члену прогрессии:

    a1+a1*q+a1*q^2+a1*q^3=S

    a1*(1+q+q^2+q^3)=S

    -1/4*(1+(-2)+(-2)^2+(-2)^3)=S

    -1/4*(-5)=S

    S=5/4

    Проверяем:

    S=(a1*(q^n-1))/(q-1)

    S=(-1/4*((-2)^4-1))/(-3)

    S=5/4

  • Сумма трёх чисел равна 730, первое число больше второго на 40 и меньше третьего в 1,5 раза. Найдите наименьшее общее кратное этих трёх чисел.


    Решение: Первое число - х 
    Второе число - (х-40)
    Третье число - 1.5x
    Сумма чисел = 730 ⇒ уравнение:
    х +(х-40) +1,5х =730
    х +х -40 +1,5х=730
    3,5х=730+40
    3,5х= 770
    х=770/3,5
    х=220 - первое число
    220-40= 180 - второе число
    220 *1,5 = 330 - третье число
    НОК (220,180,330) = 180*11= 1980
    180 = 2*90 = 2*3*3*2*5
    220= 2*2*55 = 2*2*5*11
    330=3*2*55 = 2*3*5*11
    Ответ: НОК (220,180,330)= 1980.

  • Сумма трёх чисел ровна 730, первое число больше второго на 40 и меньше третьего в 1,5. Найдите наименьшее общее кратное этих 3 чисел.


    Решение: Первое число - х
    Второе число - (х-40)
    Третье число - 1,5х
    Сумма 730 ⇒ уравнение:
    х + х-40 +1,5х =730
    3,5х -40 =730
    3,5х =730+40
    3,5х =770
    х=770/3,5 = 7700/35
    х= 220 - первое число
    220 -40 = 180 - второе число
    220*1,5 = 330 - третье число

    НОК (180,220,330) = 180 * 11 = 1980
    180= 2*90 = 2*2*3*3*5
    220= 2*110= 2*2*5*11
    330= 3*2*5*11

    Ответ: НОК (220,180,330) =1980

<< < 123 4 5 > >>