найдите сумму первых членов геометрической прогрессии - страница 3
дана арефметическая прогрессия -7,9,11. найдите сумму первых семи членов этой прогрессии
Решение: арифм. прогрессияa1=3; a2=7; a3=11;a4=15.
d=4
по формуле суммы первых n-членов арифмюпрогрессии
S=((2*a1+(n-1)*d)/2)*n=((2*3+(5-1)*4)/2)*5=55
n=5, т. к. надо найти сумму первых пяти членов
______________________________________________________а1=3 а2=7 значит d=4, потом по формуле Аn=а1+d(n-1)
Аn=3+4(10-1)=3+36=39
S10= а1+An/2*n= 3+ 39/2*10=210
Найдите три числа, являющиеся первыми тремя членами гометрической прогрессии, у которой сумма первого и третьего члена равна 52, а квадрат второго члена равен 100.
Решение: Пусть x- первый член геометрической прогрессии. второй член геометрической прогрессии x*y, третий член геометрической прогрессии x*y*y.
составим систему уравнений:
x+x*y*y=52
(x*y)^2=100.
только одно число в квадрате дает 100, т. о. второй член геометрической прогрессии равен 10.
x*y=10
10/y=52/(1+10*y)
10+100y=52y
48y=-10
y=-5/24.
первый член геометрической прогрессии равен
10/(-5/24)=-48.
третий член геометрической прогрессии равен
10*(-5/24)=-25/12
ответ:-48,10,25/12Сумма первого и пятого членов прогрессии равна -2, а сумма второго и шестого её членов равна 2. Найдите сумму первых десяти членов прогрессии.
Решение: xn=x1+d∗(n−1)
x1+x5=−2
x2+x6=2
-2=x(1)*2+d*4
2=x(1)*2+d*5
x(1)=(-2+d*4)/2
x(1)=(2-d*5)/2
-2-d*4=2-d*5
d=4
x(1)=(-2+4*4)/2=7
x(10)=7+4*9=43Воспользуюсь частью предыдущего ответа:
-2=x(1)*2+d*4
дальше правлиьно будет так:
2=x(1)*2+d*6
отнимем от второго уравнения первое (левую часть от левой, правую от правой)
2 - (-2) = 2*x1 +d*6 - (2*x1+d*4)
4 = 2*d
d = 2.
2=x(1)*2+d*6
x1 = (2 - 2 * 6)/2 = -10/2 = -5
x10 = -5 + 2 * 9 = 13
S = (x1 + x10) / 2 * 10 = (13 - 5) * 5 = 40
Сумма квадратов первого и третьего членов геом. прогрессии равна 257. Найдите сумму n первых членов прогрессии, если известно, что отношение суммы второго, третьего и пятого членов прогрессии к сумме третьего, четвёртого и шестого её членов равна 4.
Решение: Если известно, что отношение суммы второго, третьего и пятого членов прогрессии к сумме третьего, четвёртого и шестого её членов равна 4, то:
aq+aq2+aq4aq2+aq3+aq5=4aq(1+q+q3)aq2(1+q+q3)=4
1/q = 4 q = 1/4
Сумма квадратов первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 257.
Тогда а² + (aq²)² = 257 а² + a²q⁴ = 257 a²(1+q⁴) = 257 a² = 257/(1+q⁴)
a² = 257 / 1+(1/4)⁴ = 256 a = 16
Sn= (16-an*1/4) / (1-1/4) =(64-an) / 3.
Сумма первых ста семи членов арифм. прогр. равна 4835. Найдите сумму первых ста семи членов такой прогрессии, каждый член которой на 3 меньше соответствующего члена данной прогрессии.
Решение: S107 — сумма первоначальной прогрессии;
Sx107 — сумма прогрессии, которую мы ищем.
Ответ: 4514.сумма трех чисел составляющих геометрическую прогрессию равна 35. Если первое число увеличить на 2 второе оставить без изменений, а треть уменьшить на 7, то получится арифметическая прогрессия. Найдите исходные числа.
Решение: Пусть первое число - x, второе - y, третье - z.По условию задачи x+y+z = 35. В то же время, эти числа являются членами геом. прогрессии, т. е. y/x = z/y = q (знаменатель прогрессии). Если первое число увеличить на 2, второе оставить без изменений, а третье уменьшить на 7, то получится арифметическая прогрессия. То есть y-(x+2) = (z-7)-y = d (разнать прогрессии). Получаем систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:
{x+y+z=35yx=zyy−(x+2)=(z−7)−y⇒{z=35−x−yyx=35−x−yyy−x−2=35−x−y−7−y⇒{z=35−x−y10x=35−x−1010y=1010x=35−x−1010x2−25x+100=0D=625−400=225=152x1=20,x2=5{z=5x=20y=10;{z=20x=5y=10.
Это либо члены геом. прогрессии 20, 10, 5 со знаменателем 0,5, либо 5, 10, 20 со знаменателем 2.
Сумма трех чисел составляющих геометрическую прогрессию, равна 93. Если из первого числа вычесть 48, а остальное оставить без изменения, то получится арифметическая прогрессия. Найдите эти числа.
Решение: Сумма геометрической прогрессии равна:
(1) 93=b1*((1-q^3)/(1-q))=b1(1+q+q^2), или
(2)b1+b2+b3=93
b1.1=b1-48 - первое число арифметической прогрессии
Сумма арифм. прогрессии равна:S=((b1.1+b3)/2) *3, или (3) S=b1.1+b2+b3
Сумма арифметической прогрессии равна сумме геометрической прогрессии минус 48
93-48=((b1.1+b3)/2)*390=(b1.1+b3)*3
b1.1+b3=30,
из уравнения (3) получим, что b3=b1.1+b2=45, а b2=45-(b1.1+b3)=45-30=15из ур-я(1) => b1=b2/q, значит сумма геом. прогр. равна:
93=(b2/q)*(1+q+q^2)
93q=b2(1+q+q^2)
15q^2-78q+15=0
q^2-5,2q+1=0
d=27,04-4=23,04
q1,2=(5,2+-4,8)/2
q1=5
q2=0.2
при q=5
b1=15/5=3
b2=15
b3=15*5=75
при q=0,2
b1=15/0,2=75
b2=15
b3=15*0.2=3
Ответ:1)3;15;75 2)75;15;3
Пусть эти числа b1,b2,b3, тогдаСумма геометрической прогрессии из 3 членов равна:
S=b11−q31−q=b1(1+q+q2)=93 (1)
или
b1+b2+b3=93
Обозначим первое число арифметической прогрессии буквой а, тогда:
a=b1−48
Сумма арифметической прогрессии 3 членов равна:
S=a+b32⋅3
Сумма арифметической прогрессии равна будет сумме геометрической минус 48, раскроем:
45⋅2=3(a+b3)a+b3=30
Также сумма арифметической прогрессии равна простой сумме ее членов, т. е.:
a+b2=b3=45
Из последних двух уравнений найдем второй член прогрессии:
b2=45−(a+b3)=45−30=15
Нашли второй член прогрессии, он равен 15. Подставим в (1) уравнение, представив первый член через второй:
b2q(1+q+q2)=93/⋅q15+15q+15q2=93q15q2−78q+15=0/:15q2−5,2q+1=0D=27,04−4=23,04q1=(5,2+4,8)/2=5q2=(5,2−4,8)/2=0,2
Получили два знаменателя геометрической прогрессии, через него выразим все числа через второй известный член прогрессии:
1)b1=15/5=3b2=15b3=15⋅5=752)b1=15/0,2=75b2=15b3=15⋅0,2=3
Получили возрастающую и убывающую прогрессии:
1) 3, 15, 75
2) 75, 15, 3
Можно проверить на арифметической прогрессии (вычесть 48 из первого члена) и увидим, что арифметические прогрессии тоже выполняются.
(An)-геом прог, знаменатель прогрессии равен -2, а2=1/2 (ну или 0,5) Найдите сумму первых четырех ее членов
Решение: Просят найти: a1+a2+a3+a4По формуле n члена прогрессии находим первый член:
a2=a1*q^(n-1)
1/2=a1*(-2)^(2-1)
a1=-1/4
Запишем сумму по первому члену прогрессии:
a1+a1*q+a1*q^2+a1*q^3=S
a1*(1+q+q^2+q^3)=S
-1/4*(1+(-2)+(-2)^2+(-2)^3)=S
-1/4*(-5)=S
S=5/4
Проверяем:
S=(a1*(q^n-1))/(q-1)
S=(-1/4*((-2)^4-1))/(-3)
S=5/4
Сумма трёх чисел равна 730, первое число больше второго на 40 и меньше третьего в 1,5 раза. Найдите наименьшее общее кратное этих трёх чисел.
Решение: Первое число - х
Второе число - (х-40)
Третье число - 1.5x
Сумма чисел = 730 ⇒ уравнение:
х +(х-40) +1,5х =730
х +х -40 +1,5х=730
3,5х=730+40
3,5х= 770
х=770/3,5
х=220 - первое число
220-40= 180 - второе число
220 *1,5 = 330 - третье число
НОК (220,180,330) = 180*11= 1980
180 = 2*90 = 2*3*3*2*5
220= 2*2*55 = 2*2*5*11
330=3*2*55 = 2*3*5*11
Ответ: НОК (220,180,330)= 1980.Сумма трёх чисел ровна 730, первое число больше второго на 40 и меньше третьего в 1,5. Найдите наименьшее общее кратное этих 3 чисел.
Решение: Первое число - х
Второе число - (х-40)
Третье число - 1,5х
Сумма 730 ⇒ уравнение:
х + х-40 +1,5х =730
3,5х -40 =730
3,5х =730+40
3,5х =770
х=770/3,5 = 7700/35
х= 220 - первое число
220 -40 = 180 - второе число
220*1,5 = 330 - третье число
НОК (180,220,330) = 180 * 11 = 1980
180= 2*90 = 2*2*3*3*5
220= 2*110= 2*2*5*11
330= 3*2*5*11
Ответ: НОК (220,180,330) =1980