прогрессия »
в геометрической прогрессии первый член равен - страница 30
Напишите первые несколько членов геометрической прогрессии у которой разность третьего и первого члена равна 9, а разность пятого и третьего членов равна 36
Решение: B₃-b₁=9 b₁*q²-b₁=9 b₁*(q²-1)=9
b₅-b₃=36 b₁*q⁴-b₁*q²=36 b₁*(q⁴-q²)=36
Разделим второе уравнение на первое:
(q⁴-q²)/(q²-1)=4
q⁴-q²=4*q²-4
q⁴-5q²+4=0
q²=t>0
t²-5t+4=0 D=9
t₁=4 t₂=1 ∉
t=q²=4
q₁=2 q=-2 ∉
b₁*q²-b₁=9
b₁(q²-1)=9
b₁=9/(2²-1)=9/3=3
b₂=3*2=6
b₃=6*2=12
b₄=12*2=24
b₅=24*2=48.
Ответ: 3; 6; 12; 24; 48.
Все члены геометрической прогрессии - положительные числа. Известно, что разность между первым и пятым членами равна 15, а сумма первого и третьего членов равна 20. Найдите десятый член этой прогрессии.
Решение: $$ b_{1}.b_{n}>0 $$
$$ q>0 $$
$$ b_{1}-b_{5}=15 $$
$$ b_{1}+b_{3}=20 $$
$$ b_{3}=b_{1}*q^{2} $$
$$ b_{5}=b_{1}*q^{4} $$
$$ b_{1}-b_{1}*q^{2}=15 $$
$$ b_{1}+b_{1}*q^{4}=20 $$
$$ b_{1}*(1-q^{4})=15 $$
$$ b_{1}*(1+q^{2})=20 $$
Разделим одно уравнение на другое:
$$ \frac{1-q^{4}}{1+q^{2}}=\frac{15}{20} $$
$$ \frac{1-q^{4}}{1+q^{2}}=\frac{3}{4} $$
$$ \frac{(1-q^{2})(1+q^{2})}{1+q^{2}}=\frac{3}{4} $$
$$ 1-q^{2}=\frac{3}{4} $$
$$ q^{2}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4} $$
$$ q=0.5 $$
$$ b_{1}=\frac{15}{1-q^{4}} $$
$$ b_{1}=\frac{15}{1- \frac{1}{16}}=\frac{15*16}{15}=16 $$
$$ b_{10}=b_{1}*q^{9} $$
$$ b_{10}=16* \frac{1}{2^{9}}=\frac{2^{4}}{2^{9}}=\frac{1}{2^{5}}=\frac{1}{32} $$
Разность между четвёртым и первым членами геометрической прогрессии равна 27, а сумма первых трёх членов этой прогрессии равна 9. Найдите пятый член прогрессии.
Решение: Можно решить системой и все члены раскрыть как первый и тогда в верхней середине ты найдете Д=9 вроде и потом снизу разложите тоже и у тебя известен Д и это будет простое уравнение если я конечно првельно понял$$ b_{4}-b_{1}=27\\ b_{1}+b_{2}+b_{3}=9\\ \\ b_{1}(q^3-1)=27\\ b_{1}(1+q+q^2)=9\\ $$
поделим друг на друга получим
$$ q-1=3\\ q=4\\ b_{1}=\frac{27}{4^3-1}=\frac{27}{63}=\frac{3}{7}\\ b_{5}=\frac{3}{7}*4^4 =\frac{768}{7} $$
Найдите число членов геометрической прогрессии, у которой отношение суммы первых 11 членов к сумме последних 11 членов равно 1\8, а отношение суммы всех членов без первых девяти к сумме всех членов без последних девяти равно 2
Решение: Пусть n - число членов геометрической последовательности, тогда
$$ S_n=\frac{b_1*q^{n-1}}{q-1}\\ 1)\ \frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{b_1*q^{11-1}}{q-1}}{\frac{b_{n-10}*q^{11-1}}{q-1}}= \frac{b_1*q^{10}}{b_{n-10}*q^{10}}=\frac{b_1}{b_{n-10}}=\frac{1}{8}\\ b_{n-10}=8b_1=b_1*q^{(n-10)-1}=b_1*q^{n-11}\\ 8b_1=b_1*q^{n-11}\\ q^{n-11}=8\\ 2)\ \frac{S_3}{S_4}=\frac{\frac{b_{10}*q^{(n-9)-1}}{q-1}}{\frac{b_1*q^{(n-9)-1}}{q-1}}= \frac{b_{10}*q^{n-10}}{b_1*q^{n-10}}=\frac{b_{10}}{b_1}=2\\ b_{10}=2b_1=b_1*q^9\\ q^9=2\\ q= \sqrt[9]{2}\\ 8=(\sqrt[9]{2})^{n-11}\\ $$
$$ (\sqrt[9]{2})^{27}=(\sqrt[9]{2})^{n-11}\\ n-11=27\\ n=38 $$
В геометрической прогрессии седьмой член равен 27, десятый член равен 729. Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии.
Решение: B₇=27
b₁₀=729
S₁₀-
b₇=b₁*q⁶
b₁₀=b₁ *q⁹
{27=b₁*q⁶
{729=b₁ *q⁹
b₁= 27
q⁶
729 = 27 * q⁹ =27*q³
q⁶
27=q³
q=3
b₁=27 = 3³ = 3⁻³ = 1
3⁶ 3⁶ 27
S₁₀=b₁(q¹⁰ - 1) = 1 (3¹⁰ - 1) =3¹⁰ - 1 = 59049 - 1=59048 =29524 =1093 ¹³/₂₇
q-1 27 (3-1) 54 54 54 27
