в геометрической прогрессии первый член равен - страница 32
Девятый член возрастающей геометрической прогрессии равен 2916, а произведение ее первого члена на пятый равно 16. Найти шестой член этой геометрической прогрессии?
Решение: Пусть b1 - первый член прогрессии, q - ее знаменатель.
Тогда b9=b1*q^8=2916 => b1>0.
b1*b5=b1^2*q^4=(b1*q^2)^2=16 => b1*q^2=√16=4 (т. к. b1>0)
Далее разделим b1*q^8 на b1*q^2, чтобы найти q^6:
q^6=2916/4=729. q=+-3.
Т. к. последовательность возрастающая, q=3>0.
Шестой член прогрессии равен b6=b1*q^5 = (b1*q^2)*q^3 = 4*3^3=108.В возрастающей геометрической прогрессии b1=3, а сумма первых трех членов равна 21, тогда четвертый член прогрессии равен?
Решение: Пусть знаменатель прогрессии равен q, тогда b₂=3q, b₃=3q². Можно составить квадратное уравнение.3q² + 3q + 3 =21;
3q² + 3q = 18;
q² + q=6;
q² + q - 6=0
D=1+24=25
q₁=(-1+5)/2=4/2=2;
q₂=(-1-5)/2=-6/2=-3;
Тогда b₄ может быть либо 3q₁³=3*8=24. либо 3q₂³=3*(-27)=-81
Но в условии сказано. что прогрессия возрастающая. значит -81 отпадает.
Ответ:b₄=24.
Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии на 1,5 больше, чем сумма ее первых трех членов. Пятый член прогрессии равен ее третьему члену, умноженному на 4. Найти ее четвертый член, если знаменатель этой прогрессии положителен.
Решение: Пусть у нас дана геометрическая прогрессия b(n): b1,b2.Воспользуемся формулой для расчёта суммы n-первых членов геометрической прогрессии:
S(5) = b1(q⁵-1) / (q-1)
S(3) = b1(q³ - 1) / (q - 1)
По условию, S(5) - S(3) = 1.5, то есть
b1(q⁵-1) / (q-1) - b1(q³ - 1) / (q - 1) = (b1(q⁵-1) - b1(q³ - 1)) / (q-1) = b1(q⁵-1 - q³ + 1) / (q-1) = b1(q⁵ - q³) / (q-1) = 1.5
Теперь перейдём к другому условию. Выразим пятый и третий член через первый и знаменатель:
b3 = b1q²
b5 = b1q⁴
b5 = 4b3
b1q⁴ = 4b1q²
Таким образом, приходим к системе:
b1(q⁵ - q³) / (q-1) = 1.5
b1q⁴ = 4b1q²
Если нам удастся решить данную систему, то получим первый член и знаменатель, а там уже и до четвёртого члена недалеко.
Второе уравнение можно сократить на b1, получим:
q⁴ = 4q²
Теперь сокращаем на q²:
q² = 4
Отсюда q = 2 или q = -2. Но знаменатель по условию положителен, поэтому q = 2.
Теперь решить систему достаточно нетрудно. Подставим вместо q число 2.
b1(2⁵ - 2³) / (2 - 1) = 1.5
b1(2⁵ - 2³) = 1.5
b1 = 1.5 / 24 = 0.0625
Теперь мы знаем знаменатель и первый член. Очень легко теперь ищется четвёртый:
b4 = b1q³
b4 = 0.0625 * 8 = 0.5
1) Какая последовательность является геометрической прогрессией 6 -12 -24 48.
2) Вычислите шестой член геометрической прогрессии 5;10;.
3) Вычислите сумму первых четырех членов геометрической прогрессии -24;-8;.
4) разность между пятым и третьим членами геометрической прогрессии равно 720. вычислите ее третий член, если знаменатель прогрессии равен 4
Решение: 1) так как -12:6=-2, а -24:(-12)=2, 2 не равно -2, то данная последовательность не является геометричесской прогрессией2) $$ b_1=5; b_2=10;\\ q=b_2:b_1;\\ q=10:5=2;\\ b_n=b_1*q^{n-1};\\ b_6=5*2^{6-1}=5*32=160 $$
3)$$ b_1=-24; b_2=-8;\\ q=b_2:b_1;\\ q=\frac{-8}{-24}=\frac{1}{3};\\ b_3=b_2q=-8*\frac{1}{3}=\frac{8}{3}=-2\frac{2}{3};\\ b_4=b_3*q=-\frac{8}{3}*\frac{1}{3}=-\frac{8}{9};\\ S_4=b_1+b_2+b_3+b_4=\\ -24+(-8)+(-2\frac{2}{3})+(-\frac{8}{9})=\\ -34+(-\frac{14}{9})=-35 \frac{5}{9} $$
4) $$ b_5-b_3=720;q=4;\\ b_5=b_3q^2=4^2b_3=16b_3;\\ 16b_3-b_3=720;\\ 15b_3=720;\\ b_3=720:15;\\ b_3=48 $$
Четвертый член геометрической прогрессии на 17 целых 1/3 больше первого члена. Если сумма первых трех членов равна 8 целых 2/3 то утроенный первый член прогрессии равен?
Решение: $$ \left \{ {{b_{4}=b_{1}+ \frac{52}{3}} \atop {S_{3}=\frac{26}{3}}} \right. $$
$$ b_{4}=b_{1}+ \frac{52}{3}=b_{1}*q^{3} $$
$$ S_{3}=\frac{26}{3}= \frac{b_{1}*(q^{3}-1)}{q-1}=\frac{b_{1}*q^{3}-b_{1}}{q-1}=\frac{b_{1}+\frac{52}{3}-b_{1}}{q-1}=\frac{52}{3*(q-1)} $$
$$ \frac{52}{3*(q-1)}=\frac{26}{3} $$
$$ \frac{52}{q-1}=26 $$
$$ q-1=2 $$
$$ q=3 $$
$$ b_{1}+ \frac{52}{3}=b_{1}*3^{3}=27*b_{1} $$
$$ 26*b_{1}=\frac{52}{3} $$
$$ b_{1}=\frac{52}{26*3}=\frac{2}{3} $$
$$ 3b_{1}=2 $$
Ответ: 2
