прогрессия »

в геометрической прогрессии первый член равен - страница 34

  • Сумма трех первых членов геометрической прогрессии равна 21, а сумма их квадратов 1281. Какое наибольшее значение может принимать сумма их кубов?


    Решение: Сумма трех первых членов геометрической прогрессии равна 21, 
    а сумма их квадратов равна 1281. 
    Какое наибольшее значение может принимать сумма их кубов? 
    Было бы лучше, если бы для этой задачи Вы открыли новую тему. 
    Какое отношение геометрическая прогрессия имеет к поедаемому в спешке обеду? 
    Предлагаю составить систему уравнений 
    b/q + b + bq = 21 
    bb/(qq) + bb + bbqq = 1281 
    Из этой сиситемы уравнений можно найти возможные 
    значения для знаменателя q геометрической прогрессии.

  • Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 2 а сумма слудующих четырех ее членов равна 162. Найдите четвертый член этой прогрессии.


    Решение: $$ \left \{ {{b_1+b_2+b_3+b_4=2} \atop {b_5+b_6+b_7+b_8=162}} \right. \; \left \{ {{b_1+b_1q+b_1q^2+b_1q^3=2} \atop {b_1q^4+b_1q^5+b_1q^6+b_1q^7=162}} \right. \\\\ \left \{ {{b_1(1+q^+q^2+q^3)=2} \atop {b_1q^4(1+q+q^2+q^3)=162}} \right. \; \to 1+q+q^2+q^3=\frac{2}{b_1}=\frac{162}{b_1q^4}\\\\2q^4=162,\; q^4=81\\\\q^4-81=0,\; (q^2-9)(q^2+9)=0,\; \; (q-3)(q+3)(q^2+9)=0\; \to \\\\q_1=3,\; q_2=-3\\\\1)\; \; q_1=3,\; \; b_1=\frac{2}{1+q+q^2+q^3}=\frac{2}{1+3+3^2+3^3}=\frac{2}{40}=\frac{1}{20}=0,05 $$
    $$ b_4=b_1q^3=0,05\cdot 3^3=1,35\\\\2)\; \; q_2=-3,\; b_1=\frac{2}{1-3+(-3)^2+(-3)^3}=\frac{2}{-20}=-0,1\\\\b_4=b_1q^3=-0,1\cdot (-3)^3=0,1\cdot 27=2,7 $$

  • сумма первых трех членов возрастающей геометрической прогрессий равна 13, а их произведение равно 27. вычислить сумму первых пяти членов этой прогрессии


    Решение: первые три члена этой последовательности 1 3 9

    Сумма первых 5 членов последовательности 1+3+9+27+81=121

    Имеем систему:

    b1 + b1q + b1q2 = 13

    b1∙ b1q∙ b1q2 = 27.

    b13 ∙q3 = 27 или b1q = 3, отсюда b1 = 3/q

    Вынесем в первом уравнении b1 за скобки

    b1(1 + q+ q2) = 13

    3/q(1 + q+ q2) = 13 раскроем скобки

    3/q + 3 + 3q =13. Приведем к общему знаменателю

    3 +3q + 3q2 = 13q. Получим квадратное уравнение

    3q2 – 10q + 3 = 0

    D1 = 16, q1 = 3, q2 = 1/3

     Т. к. прогрессия возрастающая, то q = 3

    тогда b1 = 3:3 = 1, b2 = 1*3 = 3, b3= 3*3 = 9, b4 = 27, b5= 81

    Cсложим их, получим: 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121

  • Сумма первых трех членов возрастающей геометрической прогрессии равна 13, а их
    произведение равно 27. Найти сумму первых пяти членов этой прогрессии.


    Решение: b1+b2+b3=13

    b1b2b3=27

    b1+b2+b3+b4+b5

    b1^3*q^3=27

    b1q=3

    b1*(1+q+q^2)=13

    (1+q+q^2)/q=13/3

    3+3q+3q^2=13q

    3q^2-10q+3=0

    q=3 прогрессия возрастает

    b1=1

    b4+b5=3^3+3^4=27+81=108

    S=13+108=121

    B1=1
    B2=3
    B3=9
    Сумма этих чисел равна 13, а произведение 27
    B4=b1*q^3=1*27=27
    B5=1*3^4=81
    Сумма первых пяти членов равна (b5*q-b1)/q-1= (81*3-1)/3-1=242/2=121

  • Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 20, а сумма первых трех членов равна 26. Найти прогрессию.


    Решение: Решение:
    Дано:
    b1+b3=20
    b1+b2+b3=26
    bn=b1*q^(n-1)
    b2=b1*q
    b3=b1*q^(3-1)=b1*q^2
    Подставим все значения b2 и и3 в данные задачи:
    b1 + b1*q^2=20
    b1 + b1*q + b1*q^2=26
    Решим получившуюся систему уравнений:
    Вычтем из первого уравнения второе уравнение6
    b1 +b1*q^2 -b1 -b1*q -b1q^2=20-26
    -b1*q=-6
    b1=-6 : -q
    b1=6/q
    Подставим значение (b1) в первое уравнение:
    6/q + 6/q*q^2=20
    6/q +6q=20  Приведём к общему знаменателю  q
    6+ q*6q=q*20
    6q^2-20q +6=0
    q1,2=(20+-D)/2*6
    D=√(20² -4*6*6)=√(400-144)=√256=16
    q1=(20+16)/12=36/12=3
    q2=(20-16)/12=4/12=1/3- не соответствует условию задачи
    Найдём значение b1 подставив в любое из уравнений значение q=3, например в первое уравнение:
    b1+ b1*3^2=20
    b1+9b1=20
    10b1=20
    b1=20 : 10
    b1=2
    b2=2*3=6
    b3=2*3^2=18
    Отсюда ряд геометрической прогрессии выглядит так:
    2 ; 6 ; 18
    ПРОВЕРКА:
    2+18=20
    2+6+18=26 - что и соответствует условию задачи

<< < 323334 35 36 > >>