прогрессия »
в геометрической прогрессии первый член равен - страница 33
Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 7, следующих трех - 56. Чему равен шестой член этой прогрессии?
Решение: B1 + b2 + b3 = 56 b1 + b1q + b1q² = 56 b1 + b1q + b1q² = 56
b4 + b5 + b6 = 7 b1q^3 + b1q^4 + b1 q^5 = 7 q^3(b1 + b1q + b1q²) = 7
Разделим первое уравнение на второе. Получим:
1/q³ = 8 ⇒ q = 1/2
Подставим в первое уравнение найденный знаменатель
b1 + b1·1/2 + b1·1/4 = 56
7b1/4 = 56
b1= 32
Теперь ищем что спрашивают: b3·b4 = b1·q²·b1·q³ = ( b1)²·q^5 = 32²·(1/2)^5= 321) найдите сумму геометрической прогрессии 12; 3; 0,75.
2) сумма геометр. прогрессии(bn) равна 63, знаменатель прогрессии равен -\( \frac{1}{3} \). Найдите первы член прогрессии
Решение: 1) Здесь нам дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Формула ее суммы выглядит следующим образом$$ S=\frac{b_{1}}{1-q} $$
в1=12
А q=3/12=0,25
Вычисляем $$ \frac{12}{1-0.25}=16 $$
2) Тк нам не дана сумма определенного кол-ва членов, то можно сделать вывод что это такая же убывающая прогрессия. Мы просто подставляем данные нам значения в прошлую формулу
$$ 63=\frac{b_{1}}{1+\frac{1}{3}} $$
Умножаем 63 на нижнее число дроби не забыв сложить его оно будет=4/3
$$ 63*\frac{4}{3}=b_{1} $$
$$ b_{1}=84 $$
Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 2, а сумма следующих четырёх ее членов 162. Найдете четвертый член этой прогрессии.
Решение: $$ b_1+b_2+b_3+b_4=2, \\ b_5+b_6+b_7+b_8=162,\\ Sn= \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}, \\ S_4=\frac{b_1(1-q^4)}{1-q}=2, \\ S_{5\div8}=\frac{b_5(1-q^4)}{1-q}=\frac{b_1q^4(1-q^4)}{1-q}=S_4q^4=162, \\ 2q^4=162, \\ q^4=81, \\ \left [ {{q=-3,} \atop {q=3;}} \right. \\ \left [ {{\frac{b_1(1-(-3)^4)}{1-(-3)}=2,} \atop {\frac{b_1(1-3^4)}{1-3}=2;}} \right. \left [ {{-20b_1=2,} \atop {40b_1=2;}} \right. \left [ {{b_1=-0,1,} \atop {b_1=0,05;}} \right. \\ \left [ {{b_4=-0,1\cdot(-3)^3,} \atop {b_4=0,05\cdot3^3}} \right. \left [ {{b_4=2,7,} \atop {b_4=1,35.}} \right. $$
Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 168, а сумма следующих трех членов равна 21. найти члены геометрической прогрессии.
Решение: A1 + a2 + a3 = 168 a4 + a5 + a6 = 21 Очевидно, что последовательность убывающая. a2 = a1*q a3 = a1*q^2 a4 = a1*q^3 a5 = a1*q^4 a6 = a1*q^5 a1 + a1*q + a1*q^2 = 168 (*) a1*q^3 + a1*q^4 + a1*q^5 = 21 a1* (q^3 + q^4 + q^5) = 21 a1 = 21 / (q^3 + q^4 + q^5) Подставим в (*): 21 * (1 + q + q^2) / (q^3 + q^4 + q^5) = 168 (1+q + q^2) = 8 (q^3 + q^4 + q^5) (1+q + q^2) = 8 (1 + q + q^2) * q^3 | : (1 + q + q^2) 1 = 8 * q^3 q^3 = 1/8 q = 1/2 a1 + a1*q + a1*q^2 = 168, подставим q = 1/2 a1 * (1 + 1/2 + 1/4) = 168 | *4 a1 * (4 + 2 + 1) = 168 * 4 a1 * 7 = 7 * 24 * 4 a1 = 24 * 4 = 96 a2 = 96/2 = 48 a3 = 24 a4 = 12 a5 = 6 a6 = 3 и т. д. an = a(n-1) * 1/2 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 168 + 21 - a6 = 189 - 3 = 186 Ответ: Сумма первых пяти членов равна 186, формула н-ного члена an = a(n-1) * 1/2.Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 12, а сумма первых шести членов равна -84. найти третий член
Решение: Запишем условие в виде системы
b+bq+bq^2=12
b^2+b^2q^2+b^2q^4=336
вынесем множители
b(1+q+q^2)=12
b^2 (1+q^2+q^4)=336
преобразуем
b (q^3-1)/(q-1)=12
b^2 (q^6-1)/(q^2-1)=336
преобразуем последнее уравнение
b^2 (q^3-1)/(q-1) (q^3+1)/(q+1)=336
подставим первое уравнение во второе
b (q^3+1)/(q+1)×12=336
упростим
b (q^3+1)/(q+1)=28
преобразуем
28 (q+1)/(q^3+1)=12 (q-1)/(q^3-1)
введем ОДЗ q <>1 и q <>-1
преобразуем числитель разности дробей
28(q^2+q+1)=12 (q^2-q+1)
приведем подобные слагаемые
16q^2+40q+16=0
решим уравнение
q^2+2.5q+1=0
D= 6.25-4×1=2.25
q=(-2.5+1.5)/2=-0.5
q=(-2.5-1.5)/2=-2
найдем b для корня 1
(-8-1)/(-2-1)b=12
3b=12
b=4
найдем b для корня 2
(-0.125-1)/(-0.5-1)b=12
1.125/1.5b=13
9b/12=12
b=144/9
ответ 1 b=4 q=-2
ответ 2 b=144/9 q=-1/2
