в геометрической прогрессии первый член равен - страница 36
В возрастающей геометрической прогрессии сумма первых двух членов равна 4, а сумма первых трёх членов равна 13. Найти сумму первых пяти членов этой прогрессии
Решение: Пусть первый элемент будет b, второй b*q, третий b*q^2. составим систему:
b+b*q=4
b+b*q+b*q^2=13
Подставим первое уравнение во вторую систему и получим
b+bq=4
4+bq^2=13
b+bq=4
bq^2=9
Выразим из второго
b=9/q^2
Подставим в первое
9/q^2 + 9q/q^2=4
9/q^2 + 9/q = 4
Сделаем замену: 1/q = t
9t^2 + 9t -4 = 0
Д= 81 +144= 225
t1= (-9+15)/18 = 6/18 = 1/3
t2= (-9-15)/18=-24/18 = -4/3
Делаем обратную замену:
1/q=1/3 или 1/q = -4/3
q=3 или q=-3/4, т. к. прогрессия возрастающая, то q>1 => q=-3/4 не подходит.
Найдем b=9/q^2 = 9/9 = 1
Таким образом мы имеем обе переменных в нашей прогрессии и сумма пяти элементов будет:
s= b+bq +bq^2 +bq^3 + bq^4 = 13+ bq^3 + bq^4 = 13+27+81=121Найдите в геометрической прогресси номер члена равного 162 если b1=2 q=3 2 вопрос найти b1 и q если в геометрической прогрессии сумма первых трех членов равна 6, b1+b3=10
Решение: 1) bn=b1q^(n-1)
2*3^(n-1)=162
3^(n-1)=81
3^(n-1)=3^4
n-1=4
n=5
ответ n=5
2) b1+b2+b3=6 b1+b3=10
b2=b1q
b3=b1q^2
b1+b1q+b1q^2=6
b1+b1q^2=10 b1=10/(q^2+1)
10/(q^2+1)+10q^2/(q^2+1)=6 q^2+1≠0 умножим на это
10+10q=6q^2+6
6q^2+-10q-4=0
3q^2-5q-2=0
D=25+4*3**2=25+24=49
q1=(5+7)/6=12/6=2
q2=(5-7)/6=-2/6=-1/3
b1=10/((2)^2+1)=10/(4+1)=10/5=2
b1=10/((-1/3)^2+1)=10:10/9=9
ответ b1=2 q=2; b1=9 q-1/3
геометрической прогрессии со знаменателем q = 2 сумма первых восьми членов равна 635. Найдите шестой член этой прогрессии
Решение: $$ S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}, qeq1.\\ S_8=\frac{b_1(q^8-1)}{q-1}.\\ 635=b_1*255.\\ b_1=\frac{635}{255}=\frac{127}{51}.\\ b_n=b_1*q^{n-1}.\\ b_6=\frac{127}{51}*2^5=\frac{4064}{51}. $$$$ S_{n}=\frac{b_{1}(q^{n}-1)}{q-1} $$
$$ S_{8}=\frac{b_{1}(2^{8}-1)}{2-1}=635 $$
$$ \frac{b_{1}(256-1)}{1}=635 $$
$$ b_{1}*255=635 $$
$$ b_{1}=\frac{635}{255}=\frac{127}{51} $$
$$ b_{n}=b_{1}q^{n-1} $$
$$ b_{6}=\frac{127}{51}*2^{5}=\frac{127}{51}*32=79\frac{35}{51} $$
В геометрической прогрессии найдите наибольшее возможное значение первого члена, если сумма первых трех членов прогрессии равна 26, а b1+b3=20
Решение: Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:Sn = b₁(q^n - 1)/(q - 1)
Для n = 3: S₃ = 26
S₃ = b₁(q³ - 1)/(q - 1) = b₁(q² + q + 1)
b₁(q² + q + 1) = 26
Далее.
b₃ = b₁·q²
по условию:b₃ + b₁ = 20, т. е.
b₁·q² + b₁ = 20
или
b₁(q² + 1) = 20
Решим систему уравнений
b₁ = 20/(q² + 1)
20(q² + q + 1) /(q² + 1) = 26
20(q² + q + 1) = 26(q² + 1)
20q² + 20q + 20 = 26q² + 26
6q² - 20q + 6 = 0
3q² - 10q + 3 = 0
D = 100 - 36 = 64
√D = 8
q₁ = (10 - 8):6 = 1/3
q₂ = (10 + 8):6 = 3
При q₁ = 1/3
b₁ = 20/(1/9 + 1)= 18
При q₂ = 3
b₁ = 20/(9 + 1)= 2
Ответ максимально возможное значение 1-го члена геометрической прогрессии
b₁ = 18
b2=b1*q
b3=b1*q²
b1+b2+b3=b1+(b1+q)+(b1+q²)=b1(1+q+q²)=26
b1+b3=b1(1+q²)=20
Система уравнений с 2-мя неизвестными
b1(1+q+q²)=26
b1(1+q²)=20
Вычесть
b1*q = 6
b1=6/q
(6/q)(1+q²)=20
6q²-20q+6=0
D=400-144=256
q1= ⅓
q2= 3
b1₁=6/⅓=18
b1₂=6/3=2
Наибольшее значение 1-го члена = 18
В геометрической прогрессии знаменательq=3 а сумма первых пяти членов равна 484. найти пятый член прогрессии
Решение: B1 + b2 + b3 + b4 + b5 = 484
q = 3
bn = b1 * q^(n-1)
b1 = b1
b2 = b1 * q
b3 = b1 * q^2
b4 = b1 * q^3
b5 = b1 * q^4
b1*(1 + q + ^2 + q^3 + q^4) = 484
b1*(1 + 3 + 9 + 27 + 81) = 484
b1 = 484/121
b1 = 4
b5 = b1 * q^4 = 27 * 4 = 108
Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле:
$$ b_{n}= b_{1}* q^{n-1} $$
Тогда 5-ый член прогрессии будет равен:
$$ b_{5}= b_{1}* q^{n-1}=b_{1}*3^{5-1}=b_{1}* 3^{4}= b_{1}*81 $$
Формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии:
$$ S_{n}= \frac{ b_{1}*(1- q^{n} ) }{q-1} $$
Тогда сумма 5-и членов прогрессии будет:
$$ S_{5}= \frac{ b_{1}*(1- 3^{5} ) }{3-1}= \frac{ b_{1}*(1- 243 ) }{-2}=484 $$
Выражаем $$ b_{1} $$:
$$ \frac{ b_{1}*(1- 243 ) }{-2}=484 $$
$$ b_{1}*(- 242 ) =484*(-2) $$
$$ b_{1}= \frac{484*(-2)}{- 242 } =4 $$
Тогда:
$$ b_{5}= b_{1}*81=4*81=324 $$
Ответ: 324
