в геометрической прогрессии первый член равен - страница 37
В геометрической прогрессии 1; 3; 9;. сумма первых n членов равна 364. Найдите n
Решение: Знаменатель: $$ q= \frac{b_2}{b_1} = \frac{3}{1}=3 $$
Найдем число n
$$ q^n=1- \frac{S_n(1-q)}{b_1} \\ n=\log_{|q|}|1- \frac{S_n(1-q)}{b_1}| \\ n=\log_3|1- \frac{364(1-3)}{1}| \\ n=6 $$
Ответ: 6.
Тогда складывайте последовательно все члены пока не получится 364.
1+3+9+27+81+243
Частичные суммы: 1, 4, 13, 40, 121, 364 !
Следовательно сумма первых 6 равна данному значению.Найдите знаменатель геометрической прогрессии если сумма первых трёх его членов равна 6 а сумма первого третьего и пятого членов равна 10,5.
Решение: По условию b1+b2+b3 = 6; b1+b3+b5=10,5; вычтем из второго первое: b1+b3+b5-b1-b2-b3 = 10,5-6; b5-b2 = 4,5; b1*q(q^3-1) = 4,5; q^3-1 = 4,5/b1*q; используя формулу нахождения суммы первых трёх членов прогрессии и подставляя в неё полученное равенство, получаем b1(4,5/b1*q)/q-1 = 6; 4,5/q/q-1 = 6; 4,5/q(q-1) = 6; q(q-1) = 4,5/6; q^2-q = 0,75;q^2-q-0,75 = 0; q^2-1,5q+0,5q-0,75 = 0; q(q-1,5)+0,5(q-1,5) = 0; (q+0,5)(q-1,5) = 0; q+0,5 = 0 v
q-1,5 = 0; q = -0,5 v q = 1,5 Ответ: -0,5; 1,5.
В геометрической прогрессии, все члены которой положительные, сумма первых двух равна 8, а сумма третьего и четвертого членов равна 72. Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, надо сложить, чтобы в сумме получить 242?
Решение: $$ b_n=b_1*q^{n-1} $$$$ S_n = b_1\frac{1-q^{n+1}}{1-q} $$
$$ \left \{ {{b_1+b_2=8} \atop {b_3+b_4=72}} \right. $$
$$ \left \{ {{b_1+b_1q=8} \atop {b_1q^2+b_1q^3=72}} \right. $$
$$ \left \{ {{b_1=\frac{8}{1+q}} \atop {b_1q^2(1+q)=72}} \right. $$
q = 3
b1 = 2
$$ 242 = 2*\frac{1-3^{n+1}}{-2} $$
$$ 3^{n+1}-1=242 $$
$$ 3^{n+1}=3^5 $$
n+1=5
n=4
Ответ: сумма 4х членов геометрической прогрессии, начиная с первого, дает 242
В геометрической прогрессии (Вп) сумма первых 2-х членов расна 108 а сумма первых трёх равна 117. Сколько членов этой прогрессии больше 1 ?
Решение: Дано:S2=108
S3=117.
Решение:
{S1+S2=b1+b1q =={b1(1+q)=108
{S1+S3=b1+b1q +b1q^2=={b1(1=q)+q^2=117 -Делим большее на меньшее т. е
получаем q^2=9=>q=3
Sn=(b1(1-q^n))\(1-q) подставив получаем=>
S2=(b1(1-3^2))\(1-3)=> 108=(b1(-8))\(-2)=> 4b=108=> b1=27
Следовательно. из прогрессиии. вс ечисла будут больше 1
В знакочередующейся геометрической прогрессии первый член 240 а сумма первых трех ее членов равна 195 найти третий член прогрессии
Решение: B1=2
b₃+b₅=544
b₁*q^2+b₁ *q^4=544
2*(q^2+q^4)=544
q^4+q^2=272
q^4+q^2-272=0 - получили биквадратное уравнение
пусть q^2=y, решаем квадратное уравнение
y^2+y=272
D=1089, √1089=33
y1=-17, y2=16
q^2=-17 - действительных корней нет; q^2=16, q=-4, q=4/
Так как прогрессия знакочередующаяся, то q=-4
Найдем b2:
b2=2*(-4)= -8
