в геометрической прогрессии первый член равен - страница 45
Сумма трех членов геометрической прогрессии составляет 63. Если с первого члена вычесть 27, а остальные члены не трогать, выйдет арифм. прогрессия. Найти эти цифры.
Решение: Запишем сумму трех членов геометрической прогрессии
и остальные условия
b+bq+bq^2=63
b-27+d=bq
bq+d=bq^2
d=b (q^2-q)
b-27+b (q^2-q)=bq
b-27+bq^2-bq=bq
b-2bq+bq^2=27
3bq=63-27
bq=12
b+bq^2=27+24
b+bq^2=51
b=12/q
b=51/(q^2+1)
ОДЗ q <>0 q+1 <>0
перейдем к уравнению
12/q=51/(q^2+1)
12q^2+12-51q=0
D=2601-4×144
D=2601-576
D=2025
D=45^2
q=(51-45)/24=0.25
q=(51+45)/24=4
найдем члены прогрессии для q=0.25
b+1/4b+1/16b=63
21/16b=63
b=48 первый член геометрической прогрессии
bq=12 второй член геометрической прогрессии
bq^2=3 третий член геометрической прогрессии
d=-9 разность арифметической прогрессии
найдем члены прогрессии для q=4
b+4b+16b=63
21b=63
b=3 первый член геометрической прогрессии
bq=12 второй член геометрической прогрессии
bq^2=48 третий член геометрической прогрессии
d=36 разность арифметической прогрессии
Сумма первых четырёх членов геометрической прогрессии равна 30, а сумма следующих четырёх членов 480. Найти сумму первых 12 членов
Решение: $$ \begin{cases}b_1+b_2+b_3+b_4=30\\b_5+b_6+b_7+b_8=480\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b_1+b_1q+b_1q^2+b_1q^3=30\\b_1q^4+b_1q^5+b_1q^6+b_1q^7=480\end{cases}\Rightarrow $$
$$ \Rightarrow\begin{cases}b_1(1+q+q^2+q^3)=30\\b_1q^4(1+q+q^2+q^3)=480\end{cases} $$
Разделим второе уравнение на первое
$$ \begin{cases}b_{1}(1+q+q^2+q^3)=30\\ q^4=16\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b_{1}(1+q+q^2+q^3)=30\\q^4=\pm 2\end{cases}\\\\S_4=\frac{b_{1}(1-q^4)}{(1-q)} \;q=-2:\\\frac{b_1(1-16)}{1+2}=30\\-15b_1=90\\b_1=-6\\S_{12}=\frac{-6\cdot(1-4096)}{3}=8190\\ \;q=2:\\\frac{b_1(1-16)}{1-2}=30\\-15b_1=-30\\b_1=2\\S_{12}=\frac{2\cdot(1-4096)}{1-2}=8190 $$
Ответ: 8190.
7 положительных чисел образуют геометрическую прогрессию. Произведение первых двух членов прогрессии равно 2048, а последних равно 2. Найти сумму семи членов прогрессии.
Решение: 1,2,4,8,16,32,64 Вот сама прогрессия Ответ:127Пусть b1, b2, b6, b7 - положительные члены этой прогрессии. Тогда
$$ \left \{ {{b_1b_2=2048} \atop {b_6b_7=2}} \right. $$
$$ \left \{ {{(b_1)^2q=2048} \atop {(b_1)^2q^{11}=2}} \right. $$
Разделим почленно второе уравнение на первое:
$$ \left \{ q^{10}=\frac{1}{1024} \atop {(b_1)^2q=2048}\right. $$
$$ \left \{ q=\frac{1}{2} \atop {b_1=\sqrt{4096}}=64\right. $$
$$ S_7=\frac{b_1(q^7-1)}{q-1}=\frac{2^6(1-2^{-7})}{2^{-1}} $$ = 128-1 = 127
Объясните, как делать геометрическую прогрессию. Для примера можно взять: -648; -162; -54;. Найти сумму первых семи её членов.
Решение: Сначала смотрите на строчку и выписываете из неё члены геом. прогрессии: b1=-648; b2=-162; b3=-54. Чтобы найти сумму геом. прогрессии, нужно: 1) знать её формулу и другие формулы геом. прогрессии; 2) научиться решать.
Формула суммы членов геом. прогрессии: Sn=b1(1-q^n)/(1-q).
q - частное (знаменатель) геом. прогрессии; формула: q=b след./b предыд.
⇒q=b2/b1=-162/(-648)=1/4=0,25.
Дальше подставляем данные в формулу суммы членов геом. прогрессии и находим её: S7=-648(1-(1/4)^7)/(1-1/4)=-648(1-1/16384)/(3/4)=(-648*16383/16384)/(3/4)=(-10616184/16384)*(4/3)=-3538728/4096=-863,94727.Доказать, что последовательность 1,⅓,1/9, является геометрической прогрессией, и найти сумму первых пяти её членов
Решение: .Свойство геометрической прогрессии:
$$ b_{n+1}^2=b_n\cdot b_{n+2}, \\ b_2^2=b_1\cdot b_3, \\ (\frac{1}{3})^2=1\cdot \frac{1}{9}, \\ \frac{1}{9} = \frac{1}{9}. $$
$$ S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}, \\ S_5=\frac{b_1(1-q^5)}{1-q}, \\ q=\frac{b_n}{b_{n+1}}, \\ q=\frac{b_2}{b_1}, \\ q=\frac{\frac{1}{3}}{1}=\frac{1}{3}, \\ S_5=\frac{1(1-(\frac{1}{3})^5)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{(3^5-1)\cdot3}{3^5\cdot2}=\frac{242}{81\cdot2}=\frac{121}{81}=1\frac{40}{81}. $$
