прогрессия »
в геометрической прогрессии первый член равен - страница 46
Доказать, что последовательность 1, 1/3, 1/9, является геометрической прогрессией, и найти сумму первых пяти ее членов.
Решение: 1/3 / 1 = 1/3
1/9 / 1/3 = 1/3
таким образом, это бесконечно убывающая геом. прогрессия со знаменателем Q = 1/3
(вычисляется отношением последующего и предыдущ. членов. должна быть постоянной)
Сумма: 1 + 1/3 +1/9 + 1/27 + 1/81
если по формуле, то S = $$ \frac{ A_{1} - A_{5} Q}{1-Q} =\\= (1-\frac{1}{81} \cdot \frac{1}{3})/(1-\frac{1}{3}) = \frac{(243-1)}{81} \cdot 2$$Найти первый член геометрической прогрессии, если b5=1/162, q = 1/2.
Решение: $$ b_5= \frac{1}{162} $$
$$ q= \frac{1}{2} $$
$$ b_1- $$ ?
$$ b_n=b_1* q^{n-1} $$
$$ b_5=b_1*q^4 $$
$$ \frac{1}{162}=b_1*( \frac{1}{2})^4 $$
$$ \frac{1}{162}=b_1*\frac{1}{16} $$
$$ b_1= \frac{1}{16}: \frac{1}{162} $$
$$ b_1= \frac{1}{16}* 162 $$
\( b_1=10 \frac{1}{8} \)
Ответ: \( 10 \frac{1}{8} \)Найти первый член геометрической прогрессии, состоящей из 6 членов, если суммы первых и последних трёх членов соответственно равны 112 и 14.
Решение: b1+b2+b3=112
b4+b5+b6=14
bn=b1*q^(n-1) - формула n-го члена геометрической прогрессии
=> b2 = b1*q; b3=b1*q^2; b4=b1*q^3; b5=b1*q^4; b6=b1*q^5
b1+b1q+b1q^2=112
b1q^3+b1q^4+b1q^5=14
Вынесем за скобку из первого уравнения b1: b1(1+q+q^2)=112
Вынесем за скобку из второго уравнения b1q^3: b1q^3(1+q+q^2)=14
Выразим из первого уравнения (1+q+q^2): 1+q+q^2=112/b1
Подставим во второе уравнение: b1q^3*(112/b1)=14
q^3*112=14
q^3=1/8
q=1/2
Из первого уравнения: b1=112/(1+q+q^2)=112/(1+1/2+1/4)=112/(7/4)=16*4=64
Ответ: 64Требуется формула n - го члена и суммы n первых членов геометрической прогрессии, если b3-b2=12, 2bЗ+b4=96
Решение: Будем решать систему уравнений:
b₁q² - b₁q=12 b₁q(q -1) = 12 b₁q = 12/(q-1)
2b₁q² +b₁q³=96⇒ b₁q(2q + q²) = 96,⇒ 12/(q-1) * (2q + q²) = 96
Решаем последнее уравнение:
12/(q-1) * (2q + q²) = 96| *(q-1) ≠0
12(2q +q²) = 96(q-1)
24q +12q² = 96q -96
12q²-72q +96 =0
q² - 6q +8 = 0
По т. Виета q = 2 или q= 4
1) q=2, b1 = 6
bn= b1q^(n-1) = 6*2^(n-1)
Sn = 6*(2^n -1)/(2-1) = 6*(2^n-1)
2)q = 4, b1 =1
Sn = 1*(4^n -1)/(4-1) = (4^n -1)/3
Дана геометрическая прогрессия -9, 3,1, Найдите произведение первых пяти её членов лёгким способом без формул
Решение: В уме высчитаем знаменатель,q=-1\3.
Произведение равно -1, если в уме высчитать члены.
Четвёртый 1\3, пятый -1\9
Все члены перемножим, получим -1.
Ответ:-1.Знаменатель: $$ q= \frac{b_2}{b_1} = \frac{3}{-9}=- \frac{1}{3} $$
По формуле находим члены
$$ b_n=b_1\cdot q^{n-1} $$
$$ b_1=-9 \\ b_2=3\\b_3=-1\\b_4= \frac{1}{3} \\ b_5=- \frac{1}{9} $$
Произведегие первых пяти её членов
$$ -9\cdot 3\cdot (-1)\cdot \frac{1}{3} \cdot (-\frac{1}{9} )=-1 $$
Ответ: -1.
