прогрессия »
разность членов арифметической прогрессии - страница 24
1) найдите сумму первых двадцати шести членов арифметической прогрессии ( Cn):7;11;.
2) Найдите разность и первый член арифметической прогрессии (an), если a7=57, a15=53.
3) найдите сумму всех натуральных двузначных чисел, кратных трём.
Решение: 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51, 55, 59, 63, 67, 71, 75, 79, 83, 87, 91, 95, 99, 103, 1071) d = 11-7 =4
a26 = a1+25d = 7+25*4 = 107
S26 = (a1+a26)*26/2 = (7+107)*13=1482
2)a15 = a7+8d
53 = 57 +8d
8d = -4
d= - 0,5
a1 = a7 - 6d =57 +3 = 60
3)
a1=12 d =3 an =99 =a1+(n-1)d =12+3n -3 = 3n+9
n+3 =33 n =30
Cумма всех натур. двузначных, делящихся на 3 :
S=(a1+a30)*n/2 =(12+99)*15 = 1665
Найдите наибольшую из сумм первых n членов арифметической прогрессии, если первый член прогрессии a1=183 и разность d=-12
Решение: 1 способ:
$$ S_n= \frac{2a_1+(n-1)d}{2}n =(183-6(n-1))n=(189-6n)n=-6n^2+189n $$
$$ y=-6n^2+189n $$
найдём max данной функции: $$ y^{’}=-12n+189=0 $$
$$ n=15 \frac{3}{4} $$ зн.n=16
$$ S_{16}=(183-6*15)*16=1488 $$
2 способ:
прогрессия убывающая, зн. надо найти последний положительный член прогрессии:
$$ a_n=183-12(n-1)=195-12n>0;n<16,25 $$
зн. n=16
$$ S_{16}=(183-6*15)*16=1488 $$В арифметической прогрессии (аn) известно, что второй член а2=7, а разность d=-8. Сколько положительных членов в этой последовательности?
Решение: Ответ два, так как если разность арифметической прогрессия равна - 8, а второй член семи, то третий член прогрессии точно отрицателен (7-8=-1), все числа в прогрессии отличаются на определенный шаг(разность)), то есть исходя из этого только первый и второй член прогрессии положителен, значит ответ "два".Известно, что для любого натурального n сумма S первых n членов некотрой арифметической прогресси выражается формулой S = 2n2 +n. Найдите первый член прогрессии и её разность.
Решение: Решение:1)S2=2*2*2+2=10 (это сумма a1+a2)
S3=2*3*2+3=15 (это сумма а1+а2+а3)
2)Cистема:
а1+а2=10 а1+а1+d=10 2a1+d=10 I*(-3)
а1+а2+а3=15 a1+a1+d+a1+2d=15 3a1+3d=15
_____________
-3a1=-15
a1=5
d=0
Ответ: а1=5,d=0
Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность. А) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 48 больше, чем в первый раз. Б) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 12 членов? В) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?
Решение: а) Подходит пример 1, 2, 3. В этом случае s1=(1+2+3)2−12−22−32=22. Если добавить ещё один член, то получится s2=(1+2+3+4)2−12−22−32−42=70. При этом s2−s1=48. б) Исследуем вопрос в общем виде. Пусть s1=(x1+⋯+xn)2−(x21+⋯+x2n). С добавлением нового члена получается, что s2=(x1+⋯+xn+xn+1)2−(x21+⋯+x2n+x2n+1). Тогда s2−s1=(x1+⋯+xn+xn+1)2−(x1+⋯+xn)2−x2n+1, что с учётом формулы для разности квадратов равно xn+1(2x1+⋯+2xn+x2n+1)−x2n+1=2xn+1(x1+⋯+xn). Применим известные формулы, согласно которым xn+1=x1+nd, где d - разность арифметической прогрессии, а также x1+⋯+xn=n⋅x1+xn2=nx1+n(n−1)2d. Для числа 1440, с учётом множителя 2 в выведенной выше формуле, получаем уравнение(x1+nd)(nx1+n(n−1)2d)=720. Легко видеть, что n≠12, так как x1≥0, d≥1, и тогда произведение не меньше, чем n⋅n(n−1)2>12⋅12⋅102=720. в) Из предыдущего пункта ясно, что n<12. Значение n=11 не подходит, так как левая часть уравнения делится на 11, а правая не делится. Проверим случай n=10. Здесь после сокращения на 5 получается (x1+10d)(2x1+9d)=144. Понятно, что d=1, что приводит к квадратному уравнению (x1+10)(2x1+9)=144, не имеющему целочисленных решений. Случай n=9 после сокращения на 9 даёт (x1+9d)(x1+4d)=80. Отсутствие целочисленных решений проще всего усмотреть так. Один из сомножителей должен делиться на 5, поскольку 80кратно пяти. Но тогда второй сомножитель тоже делится на 5 ввиду того, что разность кратна пяти. Однако число в правой части не делится на 25, и так быть не может. Для n=8 уравнение после сокращения на 4 принимает вид (x1+8d)(2x1+7d)=180. Здесь уже решение легко найти подбором: подходит d=1, x1=4. Прогрессия 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 из восьми членов удовлетворяет условиям задачи, и это количество членов является наибольшим.
