разность членов арифметической прогрессии - страница 22
Арифметические прогрессии (Xn),(Yn),(Zn) заданы формулами n-го члена: Xn=4n+10, Yn=2n, Zn=4n+3. Укажите те из них, у которых разность d равна 4 (с решением)
Решение: 1. с Xnподставляем в формулу значения, если мы берём а1, то получается
а1=4*1+10=14
мы взяли n равное 1, потому что 1 - порядковый номер члена прогрессии
делаем тоже самое с а2
а2=4*2+10=8+10=18
d=18-14=4 (по формуле)
следовательно подходит.
2. с Yn
а1=2*1=2
а2=2*2=4
d=4-2=2
следовательно не подходит
3. c Zn
а1=4*1+3=7
а2=4*2+3=11
d=11-7=4
следовательно подходит
Xn=4n+10,
x1=4*1+10=14
x2=4*2+10=18
d=18-14=4
Yn=2n
y1=2*1=2
y2=2*2=4
d=4-2=2
Zn=4n+3
z1=4*1+3=7
z2=4*2+3=11
d=11-7=4
Ответ: Xn=4n+10, Zn=4n+3
Известны два члена арифметической прогрессии {a(n)} :a(10)=1,9 и а(16)=6,1:
a) найдите 1-й член и разность этой прогрессии;
б) укажите число положительных членов прогрессии
Решение: Решим как уравнение$$ \begin{cases} a(1)+9d=1,9\\ a(1)+15d=6,1\end{cases} $$]
a(1)=1,9-9d
1,9+6d=6,1
6d=4,2
d=0,7
Подставляем в первое уравнение
a(1)=1,9-6,3
a(1)=-4,4
Количество положительных членов найдем
a(8)=a(1)+7d
a(8)=-4,4+4,9
a(8)=0,5 значит число положительных членов прогрессии равно От 8 до + бесконечности первая скобка квадратная вторая круглая
Задание Вариант 3 К-3
1. Найдите 56-й член арифметической прогрессии (Yn), если y1=-15,3 и d=1.8
2. Найдите сумму сорока восьми первых членов арифметической прогрессии (Cn), если c1=84 и d=-3.
3. Является ли число 132 членов арифметической прогрессии 7;12;. В случае утвердительного ответа укажите номер члена.
4. Известны два члена арифметической прогрессии (Yn) : y8 = 11,2
и y15= 19,6
а) Найдите 1-й член и разность прогрессии.
б) Укажите число членов этой прогрессии, меньших 30.
Решение: 1
y56=y1+55d=-15,3+55*1,8=-15,3+99=83,7
2
S48=(2c1+47d)*48/2=(168-141)*24=27*24=648
3
a1=7 a2=12
d=a2-a1=12-7=5
an=a1+(n-1)d
7+5(n-1)=132
5(n-1)=132-7
5(n-1)=125
n-1=125:5
n-1=25
n=25+1
n=26
a26=132
4
d=(y15-y8)/(15-8)=(19,6-11,2)/7=8,4:7=1,2
y1=y8-7d
y1=11,2-7*1,2=11,2-8,4=2,8
an=a1+(n-1)d
2,8+1,2(n-1)<30
1,2(n-1)<30-2,8
1,2(n-1)<27,8
n-1<27,8:1,2
n-1<23 1/6
n=23 1/6+1
n<24 1/6
n=24Дана арифметическая прогрессия с разностью d>1. Произведение 2-го и 5-го членов прогрессии равно 232, а сумма первых пяти членов равна 75. Число 106 является членом данной прогрессии. Найдите его номер.
Решение: S5 = (2 a1 + d (5-1)) * 5 : 2 = (2a1 + 4d) * 5 : 2 = (a1 + 2d) * 5 = 75 > (a1 + 2d) = 15
a1 = 15-2d (1)
a2 * a5 = (a1 + d) * (a1 + 4d) = 232 (2)
Подставим (1) в (2):
(15 - 2d + d) * (15 - 2d + 4d) = 232
(15 - d) * (15+2d) = 232
225 - 15d - 2d2 + 30d = 232
2d2 - 15d + 7 = 0
D = 169; x1=7; x2=0,5
Т. к. d может быть только целым числом, то d=7.
Тогда a1 = 15 - 2*7 = 1
аn = a1 + d · (n - 1)
106 = 1 + 7 · (n - 1)
106 = 1 + 7n - 7
7n = 112n = 16a16 = 106Как выяснить является ли число членом арифметической прогрессии.
Какую именно формулу нужно подставлять. Допустим пример:
Содержит ли арифметическая прогрессия 2; 9;. число 156 и 295.
И как решить когда даже разность арифметиеской прогрессии не дана?
Решение: Х₁=2
Х₂=9
Разность арифметической прогрессии d:
d=X₂-X₁=9-2=7
Xn=X₁+d(n-1)=2+7(n-1)=2+7n-7=-5+7n
1) определяем, принадлежит ли число 156 арифм. прогрессии:
Хn=156
156=-5+7n
156+5=7n
161=7n
n=161 : 7
n=23
Так n=23 - целое число, то число 156 является членом арифм. прогрессии
Х₂₃=156
2) определяем, принадлежит ли число 295 арифм. прогрессии:
Хn=295
295=-5+7n
295+5=7n
300=7n
n=300: 7
n=42 ⁶/₇
Так n = 42 ⁶/₇ - не целое число, то число 295 не является членом ариф. прогрессии.
