прогрессия »
разность членов арифметической прогрессии - страница 21
Длины сторон треугольника являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии, разность которой равна 2 см. Площадь треугольника равна 6 см2. Определите длины сторон.
Решение: Проверка:
Условие существования треугольника можно представить в следующем виде: пусть a b c стороны треугольника. Тогда, что бы треугольник существовал необходимо, что бы сумма двух любых его сторон была больше третьей стороны a+b>c или a+c>b или b+c>a
Пусть в ∆ АВС имеем
АВ =хсм, ( средняя сторона)
ВС=(х+2) см ( самая большая сторона)
АС =(х-2) см ( самая маленькая сторона
тогда Р (периметр) = х+х+2+х -2 =3х см
р ( полупериметр) = (3х) /2 =1,5х
По формуле Герона
S² = p(p-a)(p-b)(p-c) = (1,5х) ( 0,5х) (0,5х -2)(0,5х+2) = 36
0,75х² ( 0,25х² -4) -36 =0
умножим на4
3х² ( 0,25х² -4) - 144 =0
разделим на3
х²(0,25х² -4) - 48 =0
0,25х⁴ -4х² -48 =0
умножим на 4
х⁴ -16х² -192 =0
получили биквадратное уравнение
х² =24 или х=√24 = 2 √6
Стороны тр-ка
( 2 √6 -2); 2 √6; (2 √6+2)
Длины сторон треугольника являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии, разность которой равна 2 см. Площадь треугольника равна 6 см(в квадрате). Определить длины сторон
Решение: X-2, x, x+2, x>0 - длины сторон треугольника
$$ p=\frac{(x-2)+x+(x+2)}{2}=\frac{3x}{2}, \\ S=\sqrt{\frac{3x}{2}(\frac{3x}{2}-(x-2))(\frac{3x}{2}-x)(\frac{3x}{2}-(x+2))}=6, \\ \frac{3x}{2}(\frac{3x}{2}-x+2)(\frac{3x}{2}-x)(\frac{3x}{2}-x-2)=36, \\ 3x(x+4)x(x-4)=36\cdot8, \\ 3x^2(x^2-16)=288, \\ 3x^4-48x^2-288=0, \\ x^4-16x^2-96=0, \\ D_{/4}=(-8)^2-(-96)=160, \\ x^2_{1,2}=8\pm\sqrt{160}=8\pm4\sqrt{10}, \\ 8-4\sqrt{10}\ < \ 0, \\ x^2=8+4\sqrt{10}, \\ x_{1,2}=\pm\sqrt{8+4\sqrt{10}}, \\ -\sqrt{8+4\sqrt{10}}\ < \ 0\ < \ 2, \\ x=\sqrt{8+4\sqrt{10}}, $$
$$ x-2=\sqrt{8+4\sqrt{10}}-2, \\ x+2=\sqrt{8+4\sqrt{10}}+2. $$
Разность арифметической прогрессии равна -0,2 первый член=2,1 Найдите а) ВТОРОЙ ЧЛЕН б) ПЕРВЫЙ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ ЧЛЕН в) КОЛ_ВО ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ЧЛЕНОВ.
Решение: А) 1,9 // 2,1-0.2
б) -0,1
в) 11Для нахождения членов прогрессии используем формулу n-ого члена.
a(n)=a(1)+(n-1)d.
Следовательно для:
а(2)=2.1+(2-1)×(-0,2)=1,9
а(3)=2.1+(3-1)×(-0.2)=1.7
а(4)=2.1+(4-1)×(-0.2)=1,5 и так далее.
первым отрицательным будет 12 член прогрессии.
а(12)=2.1+(12-1)×(-0.2)=-0,1 это ясно из формулы.
Отсюда кол-во положительных членов от 1 до 12.
Арифметическая прогрессия содержит 12 членов. Сумма членов, стоящих на четных местах, равна 78, а на нечетных местах равна 90. Найдите 1 член и разность прогрессии.
Решение: 1) а1+а3+а5+а7+а9+а11 = а1+(а1+2d) +(а1+4d) +(а1+6d) +(а1+8d) +(а1+10d) = 6а1+30d =90
или а1+5d = 15
2) а2+а4+а6+а8+а10+а12 = (а1+d)+(а1+3d) +(а1+5d) +(а1+7d) +(а1+9d) +(а1+11d) = 6а1+36d = 78
или а1+6d = 13
3) решаем систему из двух уравнений
а) а1+5d = 15
б) а1+6d = 13 откуда
d = -2 и а1 = 25разность прогрессии = -2
первый член прогрессии = 25Несколько чисел образуют арифметическую прогрессию,
причем их сумма равна 63, а первый член
в полтора раза больше разности прогрессии.
Если все члены прогрессии уменьшить на
одну и ту же величину так, чтобы первый
член прогрессии был равен разности
прогрессии, то сумма всех чисел уменьшится
не более, чем на 8, но не менее, чем на 7.
Определите, какой может быть разность
этой прогрессии. Здесь может быть
несколько ответов.
Решение: Пусть наша последовательность из чисел $$ a_{1};a_{2};a_{3};a_{4}.a_{n} $$
$$ S=63\\ S=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n=63\\ a_{1}=1.5d\\ S=\frac{3d+d(n-1)}{2}*n=63\\ \\ $$
Пусть мы уменьшим разность на $$ x $$, тогда
$$ a_{1}-x=d\\ a_{2}-x\\ a_{3}-x\\.\\ a_{n}-x\\\\ S_{1}=\frac{2(a_{1}-x)+(a_{1}-x)(n-1)}{2}*n =\frac{n(n+1)(a_{1}-x)}{2}\\ $$
по первой сумме получаем
$$ dn(2+n)=126\\ 2dn+dn^2=126\\ dn^2+2dn-126=0\\ D=\sqrt{4d^2+4d*126} $$
так как $$ n $$ принадлежит только целым числам то
$$ D $$ должен быть так же целым
$$ \sqrt{4d(d+126)}=k\\ $$ где $$ k $$ целое число
$$ 4d=d+126\\ 3d=126\\ d=42 $$
этот вариант не подходит так как выходит то что в последовательности только единственный член.
Для того что бы из под корня был целое число, необходимо что бы сами сомножители были квадратами каких то чисел, очевидно подходит $$ d=2 $$, заметим так же что чем больше $$ d $$ тем меньше членов в последовательности. То есть $$ 2 \leq d<42 $$
Тогда $$ n=7 $$
Посмотрим по второй сумме
$$ n=\frac{-2+\sqrt{4+\frac{504}{d}}}{2}\\ $$
подставляя в сумму получаем
$$ 220<\sqrt{1+\frac{126}{d}}*\sqrt{d+\frac{126}{d}}-1)(3d-2x) \leq 224 $$
подставляя $$ d=2 $$ окончательно убеждаемся что
$$ d \leq 2 $$
