разность членов арифметической прогрессии - страница 20

Сумма пятого и восьмого членов арифметической прогрессии на 15 больше суммы седьмого и десятого. Найдите разность прогрессии

аn = a₁ + d(n - 1)

Тогда

а₅ = a₁ + 4d

а₈ = a₁ + 7d

Их сумма

а₅ + а₈  =  2a₁ + 11d

а₇ = a₁ + 6d

а₁₀ = a₁ + 9d

Их сумма

а₇ + а₁₀  =  2a₁ + 15d

По условию

а₅ + а₈ - 15 = а₇ + а₁₀

2a₁ + 11d - 15 = 2a₁ + 15d

4d = -15

d = -3,75

Ответ: разность арифметической прогрессии d = -3,75

a₊=a₁+d(n-1)

Представим все члены в виде формулы и составим уравнение по условию:

a₁+4d+a₁+7d=a₁+6d+a₁+9d+15;

2a₁+11d=2a₁+15d+15;

-4d=15;

d=15/(-4)=-3,75.

Ответ: разность прогрессии -3,75.

Сумма седьмого и двенадцатого членов арифметической прогрессии меньше суммы ее шестого и одиннадцатого членов на 8 найдите разность прогрессии

A1+6D+A1+11D+8=A1+5D+A1+10D

A1 уничтожается, и тогда мы имеем уравнение:

17D+8=15D

2D=-8

D=-4

Ответ: разность прогрессии равна -4. ;)

сумма пятого и восьмого членов арифметической прогрессии на 15 больше суммы седьмого и десятого членанайдите разность прогрессии.

a5=a1+d*4, a8=a1+d*7, a7=a1+d*6, a10=a1+d*9

a5+a8=a1+4d+a1+7d=2a1+11d

a7+a10=a1+6d+a1+9d=2a1+15d

(2a1+11d)-(2a1+15d)=15

2a1+11d-2a1-15d=15

-4d=15

d=-15/4

d=-3,75

первый член арифметической прогрессии a1=12 разность d = -2. Сколько нужно взять первых членов прогрессии, чтобы их сумма была -48?

Найдите число членов арифметической прогрессии, разность которой 12, последний член 15 и сумма всех членов 456.

a[n]=15

S[n]=456

a[n]=a[1]+d*(n-1)

a[1]=a[n]-d*(n-1) 

S[n]=(a[1]+a[n])/2*n

S[n]=(2a[n]-d*(n-1))/2*n

456=(2*15-12(n-1))/2*n

456=(15-6n+6)n

456=21n-6n^2 

 3n^2-7n+152=0

D<0

такой арифметической прогрессии не существует иначе

a[n]=15

a[n-1]=15-12=3

a[n-2]=3-15=-12

только два члена положительные, остальные отрицательные. сумма никак не может при таких данных быть равной 456

такой арифметической прогрессии не существует 

Арифметическая прогрессия - некоторая последовательность, упорядоченные элементы которой рекурсивно (то есть выведены из некоторого правила, которое сводится само к себе) заданы некоторым числом q, таким, что a(i)=a(i-1)+q (само правило).
Суммой n элементов прогрессии будет число, заданное формулой:
$$ S= \frac{a(1)+a(n)}{2} *n $$
Однако нам известен только последний элемент прогрессии, а в формуле фигурирует еще и первый.
Давайте выразим a(n) через a(1).
a(n)=a(1)+d(n-1)
То есть a(1)=a(n)-d(n-1)
Подставим в формулу
$$ S= \frac{a(n)-d(n-1)+a(n)}{2} *n= \frac{2na(n)-dn(n-1)}{2} \\ 2na(n)-dn(n-1)=2S \\ 2na(n)-dn^2+dn-2S=0 \\ -dn^2+n(2a(n)+d)-2S=0 \\ dn^2-(2a(n)+d)n+2S=0 $$
Все коэффициента известны, можно решать уравнение.
d=12; a(n)=15, S=456 
И вот тут возникают проблемы. При выводе формулы получаю абсолютно верный, справедливый результат (описанный выше). Тогда как дискриминант квадратного уравнения отрицателен выходит (и при a(n)=-15, и при 15)
Вероятнее всего, у вас где-то ошибка в задании, либо же ответом будет: такой прогрессии не существует. Разность положительна, последний член всего-лишь 15, а сумма - 456.
$$ dn^2-(2a(n)+d)n+2S=0 $$

D=(2a(n)+d)^2-8dS
D=$$ 4a^2(n)+4da(n)+d^2-8dS=4a^2(n)+d(d-8S+4a(n)) $$
Тогда искомый n равен
$$ n= \frac{(2a(n)+d)+ \sqrt{4a^2(n)+d(d-8S+4a(n))} }{d} $$

В общем, если сумма =456, прогрессии не получается. Если = -456, то:
d=12, $$ a_{n} $$= - 15, $$ S_{n} $$= - 456
$$ a_{n}=a_{1}+d(n-1) => a_{1}=a_{n}-d(n-1)=-15-12(n-1) $$
$$ S= \frac{(a_{1}+a_{n})n}{2} => \frac{n(-15-12(n-1)-15)}{2} =-456 => \\ n(-30-12n+12)=-912=>-12n^{2} -18n=-912 => \\ 12n^{2} +18n-912=0=> 2n^{2}+3n-152=0 => \\ D=9+4*2*152=1225 => n_{1}= \frac{-3+35}{4} =8, n_{1}= \frac{-3-35}{4} =-9,5 $$
Но: количество не может быть отрицательным => n=8
Ответ:8