первообразная »
найдите первообразную для функции - страница 2
6. Найдите первообразную F(x) функции y=f(x), график которой проходит через точку M(a; b):
4) f(x) = 2 / sin^2x + 1, M (Пи/ 4 ; Пи/4).
8. Найдите общий вид первообразных для функции:
1) f(x) = 9x^2 + sin3x;
2) f(x) = 12x^3 - cos4x;
3) f(x) = cos2x - 1/ корень из 2x - 3 + 2;
4) f(x) = 1 / корень из 5 - 2х + sin5x + 1.
Решение: 4) f(x) = 2 / sin^2x + 1, M (Пи/ 4 ; Пи/4).
Сначала найдём общий вид первообразных:
F(x) = -2Ctgx + x + C. теперь надо найти С
π/4 = -2*Сtgπ/4 + π/4 + C
π/4 = -2*1 + π/4 + C
π/4 = -2 + π/4 + C
C = 2
Ответ: F(x) = -2Ctgx + x + 2
1) f(x) = 9x^2 + sin3x;
F(x) = 9x³/3 - 1/3*Cos3x + C = 3x³ - 1/3*Cos3x +C
2) f(x) = 12x^3 - Cos4x;
F(x) = 12x^4/4 -1/4Sin4x + C = 3x^4 - 1/4*Cos4x +C
3) f(x) = cos2x - 1/ корень из 2x - 3 + 2;
F(x) = 1/2*Sin2x -1/2*2√(2x - 3) + 2x + C= 1/2*Sin2x -√(2x - 3) + 2x + C
4) f(x) = 1 / корень из 5 - 2х + Sin5x + 1.
F(x) = -1/2*2√(5 -2x) -1/5*Cos5x + x + C =
= -√(5 -2x) -1/5*Cos5x + x + CНайдите первообразную F(x) для функции y=f(x): f(x)=3cos6x-4x^(-3)+2^x
Решение: $$ F(x)= \frac{3}{6}sin6x-4 \frac{ x^{-3+1} }{(-3+1)}+ \frac{2 ^{x} }{ln2} +C, \\F(x)= \frac{1}{2}sin6x+ \frac{ 2 }{ x^{2} }+ \frac{2 ^{x} }{ln2} +C $$
Проверка
$$ F`(x)=(\frac{1}{2}sin6x+ \frac{ 2 }{ x^{2} }+ \frac{2 ^{x} }{ln2} +C)`= \\ =(\frac{1}{2}sin6x)`+ (\frac{ 2 }{ x^{2} })`+ (\frac{2 ^{x} }{ln2})` +(C)`= \\ =\frac{1}{2}(sin6x)`+ 2( x^{-2})`+ \frac{1}{ln2}(2 ^{x} )` +(C)`= \\ =\frac{1}{2}cos6x(6)`+ 2\cdot(-2)( x^{-3})+ \frac{1}{ln2}(2 ^{x} )\cdot \ln2 +0= \\ =3cos6x- \frac{4}{ x^{3} } +2 ^{x} $$
Для функций f(x) найдите первообразную, график которой проходит через точку А f(x)=2x^2+x. A(1;1).
Решение: Поехали.
Предположим, что наша f(x) - производная от какой то функции g(x). g(x) - есть первообразная f(x) и она проходит через точку A(1;1)
Надеюсь, Вы уже вкурсе, что первообразные, обычно, через интегралы ищут.
∫f(x)dx = g(x)
∫(2x² + x)dx = g(x)
∫(2x²)dx + ∫xdx = g(x)
Интегрируем через табличку интегралов, получаем:
2x³/3 + x²/2 + C = g(x) где С - константа, которую нам надо найти. Используя данные точки A, найдем С
2*1³/3 + 1²/2 + С = 1
2/3 + 1/2 - 1 = -С
С = 1/3 - 1/2 = -1/6
Откуда наша первообразная это функция:
g(x) = 2x³/3 + x²/2 - 1/6Для функции f(X) найдите первообразную, график которой проходит через точку А.
f(x)=4x^3+1; А(-1;4)
Решение: Найдем первообразную
Потом Найдем значение первообразной в данной точкеВо первых найдем первообразные данной функции:
$$ \int{(4x^3+1)}dx = \frac{4x^{3+1}}{x^{3+1}}+x+C= x^4+x+C $$
C- это любое число.
Теперь, найдем первообразную в данной точке, то есть подставим данные значения координат в уравнение:
$$ y=x^4+x+C $$
$$ 4=(-1)^4-1+C $$
$$ 4=C $$
Отсюда следует следующее уравнение:
$$ y=x^4+x+4 $$
Это и есть уравнение первообразной, проходящей через данную точку.
Для заданной функции f (x) найдите первообразную F (x), график которой проходить через данную точку М (x, y) 1)f (x) 2x^4 M (-1;2) 2) f(x)=sin2x M (0;1) 3) f (x)=4x^2+9x^-2 M (3;-2)
Решение: 1) F(x)=∫2*x⁴*dx=2*x⁵/5+C. Используя условие F(-1)=2, получаем уравнение 2=-2/5+C, откуда C=12/5. Ответ: F(x)=2*x⁵/5+12/5.
2) F(x)=∫sin(2*x)*dx=1/2*∫sin(2*x)*d(2*x)=-1/2*cos(2*x)+C. Используя условие F(0)=1, получаем уравнение 1=-1/2*+C, откуда C=3/2. Ответ:F(x)=-1/2*cos(2*x)+3/2.
3) F(x)=∫(4*x²+9/x²)*dx=4*x³/3-9/x+C. Используя условие F(3)=-2, получаем уравнение -2=33+C, откуда C=-35. Ответ: F(x)=4*x³/3-9/x-35.
Для функции f(x)=sin3x найдите первообразную, график которой проходит через данную точку А(п/3;1/3)
Решение: Находим интеграл $$ \int{sin3x} \, dx =- \frac{1}{3}cos3x+C $$/
Поскольку график полученной функции проходит через точку А, то координаты этой точки должны удовлетворять наше уравнение F(x)=-1/3cos3x+C. Подставим координаты данной точки $$ \frac{1}{3}=- \frac{1}{3}cos3* \frac{ \pi }{3} +C $$.
Откуда С=0. Имеем первообразную $$ F(x)=- \frac{1}{3}cos3x $$Для функции y=f(x) найдите первообразную F(x), график которой проходит через точку M(a;b), если: \( f(x)=x^{-3}+cosx, х∈(0;\infty), M(0,5\pi; - \frac{1}{2 \pi ^{2}}) \)
Решение: Для функции y=f(x) найдите первообразную F(x)? график которой проходит через точку М(а;b), если: $$ f(x)=x^{-3}+cosx $$, где х∈(0;oo),M(0,5π;$$ - \frac{1}{2 \pi ^{2}} $$);
Решение:
Найдем первообразную
$$ F(x)= \int {(x^{-3}+cosx)} \\ dx = \int {x^{-3}} \\ dx+ \int {cosx} \, dx = -\frac{1}{2}x^{-2}+sinx+C $$
Найдем значение С подставив значение координат точки М в уравнение первообразной
$$ F(x)= -\frac{1}{2}x^{-2}+sinx+C $$
$$ -\frac{1}{2}( \frac{ \pi}{2})^{-2}+sin( \frac{ \pi }{2})+C =- \frac{1}{2 \pi^{2} } $$
$$ -\frac{2}{\pi^{2}}+1+C = - \frac{1}{2 \pi^{2} } $$
$$ C =\frac{2}{\pi^{2}}-\frac{1}{2 \pi^{2} }+1 $$
$$ C = \frac{3}{2\pi^{2}} -1 $$
Запишем уравнение первообразной функции f(x) проходящей через точку М
$$ F(x)= -\frac{1}{2}x^{-2}+sinx+ \frac{3}{2\pi^{2}} -1 $$
3. Для функции f(x)=2x-2 найдите первообразную F график
которой проходит через A(2:1)
4. Точка движется по прямой так что её скорость в момент
времени t равна V(t)=3+0,2t
Найдите путь пройденный точкой за время от 1 до 7секесли
скорость измеряется в м/сек.
5 Найдите площадь криволинейной трапеции ограниченной
линиями y=2x^2, y=0 x=2
Решение: 3. Для функции f(x)=2x-2 найдите первообразную F график
которой проходит через A(2:1)
F(x)=x²-2x+C
Подставляем координаты точки А
1=2²-2*2+C
С=1
Ответ: x²-2x+1
4. Точка движется по прямой так что её скорость в момент
времени t равна V(t)=3+0,2t
Найдите путь пройденный точкой за время от 1 до 7 сек, если скорость измеряется в м/сек.
Поскольку скорость есть производная от пути, то путь - первообразная.
$$ s= \int\limits^7_1 {3+0.2t} \, dt =3t+0.1t^2|_1^7=3*7+0.1*7^2-3*1-0.1*1^2= \\ =21+4.9-3-0.1=22,8 $$
Ответ: 22,8 м
5 Найдите площадь криволинейной трапеции ограниченной
линиями y=2x^2, y=0 x=2
$$ S= \int\limits^2_0 {2x^2} \, dx = \frac{2x^3}{3} |_0^2= \frac{2*2^3}{3}= \frac{16}{3}=5 \frac{1}{3} $$
Для функции f(x)=2/(Sin^2 3x), найдите первообразную, график которой проходит через точку М(pi/6;3)
Решение: Для функции f(x)=2/(Sin^2 3x), найдите первообразную, график которой проходит через точку М(pi/6;3)
Решение:
Найдем интеграл функции f(x)=2/(sin^2(3x))
F(x)=$$ int\ { \frac{2}{sin^2(3x)}} \, dx= \frac{2}{3} \int\ { \frac{1}{sin^2(3x)}} \, d(3x)=-\frac{2}{3}ctg(3x)+C $$
Найдем значение константы С подставив координаты точки М(pi/6;3)
$$ -\frac{2}{3}ctg(3* \frac{\pi}{6} )+C=3 $$
$$ -\frac{2}{3}ctg(\frac{\pi}{2} )+C=3 $$
C=3
Поэтому можно записать, что
F(x)=-(2/3)ctg(3x)+3
Для функции \( f(x)=\frac{3}{5+3x} \) найдите первообразную на промежутке (\( -\frac{5}{3} \); +\( \infty \))
Решение: f(x)=3/(5+3x)
F(x)=F(3/(5+3x))=3F(1/(5+3x))=3*1/3 * ln|5+3x| + C = ln|5+3x|+C
Так как x = (-5/3;+беск), то |5+3x|=5+3x
=> F(x)=ln(5+3x)+CДля начала найдем первообразную функции на всей числовой прямой:
$$ \int{\frac{3}{5+3x}}\, dx=ln|5+3x|+C $$
Знак модуля ставится ввиду того, что производная от модуля существует как в отрицательном значении, так и положительном, но так как задан промежуток интегрирования, на котором интегрируема функция получаем:
$$ 5+3x=0 $$
$$ x=-\frac53 $$
Получаем, что в данном промежутке произвадная существует только при положительном значении модуля, поэтому получаем:
$$ \int{\frac{3}{5+3x}}\, dx=ln|5+3x|+C=ln(5+3x)+C $$
Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f ’(x) или дифференциала f ’(x)dx данной функции f(x)
В интегральном исчислении решается обратная задача:
Дана функция f(x); требуется найти такую функцию F(x), производная которой равна f(x) или дифференциал которой равен f(x)dx в области определения функции f(x), т.е. в этой области функции f(x) и F(x)...