первообразная »

найдите первообразную для функции - страница 3

  • Для функции f(x)=2 x в квадрате + x найдите первообразную, график функции которой проходит через точку A(1;1).


    Решение: $$ f(x)=2x^2+x; $$

    $$ F(x)=\frac{2x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+C $$, C є R

    $$ F(1)=1; 1=\frac{2*1^3}{3}+\frac{1^2}{2}+C;C=-\frac{1}{6} $$

    отвте

    $$ F(x)=\frac{2x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-\frac{1}{6} $$

    $$ F(x) = \frac{2x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + C $$

    Подставляем А(1; 1)

    $$ 1 = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + C $$

    $$ C = - \frac{1}{6} $$

    Ответ:

    $$ F(x) = \frac{2x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{6} $$

  • Для функции f(x)=x^2 - 1 найдите какую-нибудь первообразную, значение которой в точке х=2 отрицательное число.


    Решение: 1. f(x)=x^2 - 1 F(2) < 0;
    F(x) = x^(2+1) / 3 - x + C= x^3/3 - x + C.
    2^3/3 - 2 + C < 0;
    8/3- 2 +C < 0;
    1/3 + C < 0;
    C < - 1/3.
    Возьмем ближайшую точку С, удовлетворяющую условию неравенства.
    Например, С = - 1.
    Тогда первообразная будет иметь вид
    F(x) = x^3/3 - x - 1.
    Проверка.
    F2) = 8/3 - 2 - 1 = 8/3 - 3 = - 2/3 < 0.

  • Для функции f(x)=2(x-1): a) найдите общий вид первообразных; б) напишите первообразную, график которой проходит через точку А(2;4)


    Решение: F(x)=2(x-1)=2x2;
    F(x)=2x²/2-2x+C=x²-2x+C;
    A(2;4)⇒
    4=2²-2·2+C=4-4+C=C;
    C=4;⇒
    F(x)=x²-2x+4;

    для функции f(x)=2(x-1): a) найдите общий вид первообразных;
    б) напишите первообразную, график которой проходит через точку А(2;4)

    a) F(x)= (x-1)²+C,

    б) напишите первообразную, график которой проходит через точку А(2;4). Найдем С, если х=2, F=4.
    4=(2-1)²+C ⇒ C=4-1=3,
    и

    F(x)= (x-1)²+3 - первообразная, график которой проходит через точку А(2;4).

  • 1) Найти первообразные функции: f(х)=х2+2х+3.f(х)=х2-6х+8 2) вычислить интеграл: 1S0(х2-2х+1)dх 3) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: Y=4х-х2 и осью абцисс


    Решение: 1)

    $$ \int{x^2+2x+3}\, dx=\frac{x^3}3+x^2+3x+C \\ </span>\int{x^2-6x+8}\, dx=\frac{x^3}3-3x^2+8x+C<span> $$

    2)

    $$ </span>\int\limits^1_0 {x^2-2x+1} \, dx=(\frac{x^3}3-x^2+x)|_0^1=\frac{1}3-1+1=\frac{1}3<span> $$

    3)

    $$ \int\limits^4_0 {4x-x^2} \, dx=(2x^2-\frac{x^3}3)|_0^4=32-\frac{64}3=\frac{32}3 $$

    1, f(x)= x2+2x+3;

    F(x)= x3/3 + x2 + 3x.

      f(x)=x2 - 6x + 8

    F(x)= x3/3 - 3x2 + 8x. (То как это сделать на словах не обяснить так как нужно знать таблицу первообразных)

    2. Данный интеграл= x3/3 - x2 + x(дальше после этого всего нужно поставить линию ! вот как этот знак только длинее и без точки и с боку возле этой линии написать сверху "1" снизу "0")=(теперь это 1 и 0 подставляем вместо х вот что выходит) 1/3 - 1 + 1 - 0 + 0 - 0= 1/3

    3. Тут нужно рисовать но для рисунка этой функции нужно найти точки вершины а находим их так. есть формула что Х верха равен минус b и делится на 2а где b в нашем случае 4, а=1 когда все подставить в формулу то Х вершины= 2. Чтоб найти У вершины просто Х вершины подставляем в функции и тогда У=4

    Нужно найти нули функции

    Саму функцию (4х-х2) равняете к нулю то есть пишете

    4х-х2=0 и это нужно решить. Очень легко выносищь х за скобки и выходит

    х(4-х)=0 тогда ответ х=0 и х=4. По этому всему рисуете примерный график. 

    с графика будет видно что у нас выходит интеграл от 0 и до 4 той функции что тебе данна теперь считаем

    4S0(4x- x2)dx= 2x2 - x3/3(и опять та линия только теперь сверху 4 а снизу 0)=(снова подставляем это 4 и 0 только сначала берется 4) 32 - 64/3 -0 +0=32/3

    вот и ответ

  • 1) Найти первообразные функции: f(х)=х^2+2х+3.f(х)=х^2-6х+8 2) вычислить интеграл: 1S0(х^2-2х+1)dх 3) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: Y=4х-х^2 и осью абцисс


    Решение: 1. F(x) = F(х^2+2х+3) = x^3/3 + 2x^2/2 + 3x+ C = x^3/3 + x^2 + 3x + C

    2. 1 - верхний предел, а 0 - нижний

    $$ \int\limits^1_0 {(x^2 - 2x + 1)} \, dx = \frac{x^3}{3} - x^2 + 1x = \frac{1^3}{3} - 1^2 + 1*1 = \frac{1}{3} $$

    3. Построим график функции y = 4х - х^2 (построить в интернете или на листке)

    Получилась парабола, которая пересекается с осью абсцисс(OX) в точках 0 и 4

    не сложно догадаться, что пределы интегрирования будут [0;4]. Эти числа будут пределами интегрирования. 0 - нижний предел, 4 - верхний

    $$ \int\limits^4_0 {(4x - x^2)} \, dx = \frac{4x^2}{2} - {x^3}{3} = {4 * 4^2}{2} - \frac{4^3}{3} = {4 * 16}{2} - \frac{64}{3} = 10 \frac{2}{3} $$ $$ \int\limits^4_0 {(4x - x^2)} \, dx $$ = 4x^2/2 - x^3/3 = (4 * 4^2/2) - (4^3/3) = (4 * 16/2) - (64/3) = 10 целых 2/3 ед^2 или 10.66667 ед^2

  • Вычислить первообразную от данной в интеграле функции \( \int^{\sqrt2}_{0}{\sqrt{2-x^2}}dx\)


    Решение: Обратим внимание что ОДЗ: х∈[-√2;√2]
    Тогда можем сделаем замену: х=√2·sinω, где ω=arcsin(x/√2) и dx=√2·cosω dω
    Получим: √(2-2sin²ω)=√(2(1-sin²ω))=√(2cos²ω)=√2·cosω
    а в итоге с заменой на dx будет: 2cos²ω используя формулу понижения степени получим: 2cos²ω=cos2ω+1
    по правилу: интеграл суммы равен сумме интегралов получим:
    {cos2ω dω+{1 dω
    Для первого интеграла сделаем замену: 2ω=s и ds=2dω
    Получим: {(coss)/2 ds+{1 dω
    В итоге найдем интеграл (первообразную):
    (sins)/2+ω+C
    Вернем замену s=2ω
    Получим после применения формулы двойного аргумента: sinω·cosω+ω+C
    Вернем замену: ω=arcsin(x/√2)
    В конце концов получим: 1/2·(√(2-x²))·x+arcsin(x/√2) +C

<< < 123