найти значение »
найдите наибольшее значение функции на отрезке - страница 2
Найдите наибольшее значение функции y=x³+27x+8 на отрезке [-7;6]
Решение: Находим первую производную функции:
y’ = 3*(x^2) + 27
Приравниваем ее к нулю:
3*(x^2) + 27 = 0
Глобальных экстремумов нетНаходите производную:
f’(x)=3x^2+27
приравниваете к 0 и получаете
x^2=9, x1,2=-+3
выносите на числовую прямую f’x и fx
получаете точку max=-3, min=3
подставляете в функцию max и промежуточные значения:
x(-7)=-524
x(-3)=-208
x(6)=386Найдите наибольшее значение функции f(x)=-2x3 -12x2+4 на отрезке [-3;3].
Решение: f’=-6x^2-24xx=-3
f’(-3)= -6*9+24*3=-54+72=18
x=3
f’(3)=-6*9-24*3=-54-72=-126
ответ 18 при x=-3
$$ f(x)=-2x^{3}-12x^{2}+4 $$
$$ f`(x)=-6x^{2}-24x=-6x(x+4) $$
$$ -6x(x+4)=0 $$
х=0 или х=-4
Отрезку [-3;3] принадлежит только х=0
Находим значение функции в найденной точке и в концах отрезка:
f(0)=4 - наибольшее
f(-3)=-50
f(3)=-158
Найдите наибольшее значение функции y=-x^2+6x-4
Решение: Находим первую производную функции:
y’ = -2•x+6
Приравниваем ее к нулю:
-2•x+6 = 0
x1 = 3
Вычисляем значения функции
f(3) = 5
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y’’ = -2
Вычисляем:
y’’(3) = -2<0 - значит точка x = 3 точка максимума функции.
Функция возрастает$$ y=-x^2+6x-4 $$
1. Вычислим значение абсцисы
$$ m=- \frac{b}{2a} = \frac{-6}{-2} =3 $$ -
Тогда значение функции
$$ y=-(3)^2+6\cdot3-4=-9+18-4=5 $$ - наибольшее значение функции
Окончательный ответ: наибольшее значение функции: y = 5Как найти наибольшее/наименьшее значение линейной функции на определённом отрезке? Например, найдите наибольшее значение линейной функции y=3-2x на отрезке (2;4)
Решение: Поскольку функция линейная, она монотонно возрастает или убывает на определенном интервале. (В данном случае убывает). Чтобы найти максимальное или минимальное значение линейной функции достаточно найти значение этой функции на концах отрезка и выбрать минимальное или максимальное. у(2)=-1 у(4)=-5. соответственно минимальное значение -5, максимальное -1.Найдите наибольшее значение x+y, если пара чисел (x,y) удовлетворяет соотношению(x^2-6|x|+10)(y^2+4y+7)=3
Решение: Во-первых, обозначим |x|=t.Тогда,x^2=t^2/
(t^2-6t+10)(y^2+4y+7)=3. Выделим полные квадраты в скобках:
(t^2-6t+9+1)(y^2+4y+4+3)=3
((t-3)^2+1)((y+2)^2+3)=3
Первое выражение больше или равно 1, а второе больше или равно 3.
Тогда их произведение будет равно 3 только в том случае, когда первое равно 1, а второе 3.Значит t-3=0, у+2=0, откуда t=3, у=-2. Вернемся к х:
|x|=t, значит |x|=3 и х=3 или х=-3.Тогда наибольшее значение х+у будет:
х+у=3+ (-2)=1.Найдите наибольшее значение функции x^5+5x^3-20x на отрезке (-5; 0)
Решение: $$ y= x^{5} +5 x^{3} -20x $$
Найдем производную
$$ y`=5 x^{4} +15 x^{2} -20 $$
Приравняем ее к 0
$$ 5 x^{4} +15 x^{2} -20=0 =0 $$
Пусть $$ x^{2} =t $$
решим квадратное уравнение по теореме Виета
$$ t^{2} +3 t -4=0 \\ t1+t2=-3; t1*t2=-4 \\ t1=-4; t2=1 $$
1)Если $$ t=-4 $$, то $$ x^{2} =-4 $$
Нет корней, так как выражение в четной степени всегда неотрицательное
2) Если $$ t=1 $$, то $$ x^{2} =1 $$
$$ x=1 $$ или $$ x=-1 $$
$$ 1∉ (-5;0) $$
$$ -1 ∈(-5;0) $$
1)При $$ x=-5 \\ y=-3125+625+100=-2400 $$
2)При $$ x=-1 \\ y=(-1)-5+20=14 $$
3)При $$ x=0 \\ y=0 $$
Наибольшее значение на промежутке $$ (-5;0) y=14 $$Найдите наибольшее значение функции x^{2}+49/2 на отрезке [-19;-1]
Решение: 385.5 - Это ответ... т.к. крафик функции парабола(ветви вверх) то подставляем наибольшее значение -19 и решая получим наибольшее значение1)берём производную -она =2х 2)приравниваем к 0 -2х=0 х=0 -критическая точка 3)смотрим х=0 принадлежит отрезку-19 -1 нет 4)ищем значение ф-ции в точках -19 и -1 5)выбираем наибольшее
Найдите наибольшее значение функции x^5-3x^3+4x на отрезке [-3;-1]
Решение: y = x⁵ - 3x³ + 4x на отрезке [-3;-1]
Находим первую производную функции:
y’ = 5x⁴ - 9x² + 4
Приравниваем ее к нулю:
5x⁴ - 9x² + 4 = 0
x² = t, t ≥ 0
5t² - 9t + 4 = 0
D = 81 - 4*5*4 = 1
t₁ = (9 - 1)/10 = 4/5
t₂ = (9 + 1)/10 = 1
x² = 4/5
x₁ = - 0,.894
x₂ = 0,894
x² = 1
x₃ = - 1
x₄ = 1
Вычисляем значения функции на концах отрезка
f(-1) = - 2
f(1) = 2
f(- 0,894) = - 2,004
f(0,894) = 2,004
f(- 3) = - 174
f(- 1) = - 2
Ответ: fmin = - 174, fmax = - 2
Найдите наибольшее значение функции -x^3+3x^2+9х-29 на отрезке[-1;4]
Решение: -x³+3x²+9х-29 найдем производную данной функции (-x³+3x²+9х-29)’ = -3x²+6x+9 приравниваем к 0 -3x²+6x+9=0 -3(x²-2x-3)=0 решаем Д=4 х1=(2+4)/2=3 и х2=(2-4)/2=-1 найденные точки 3 и -1 принадлежат данному отрезку [-1;4], поэтому вычисляем значения этой функции в этих точкахf(3)=-x³+3x²+9х-29= -(3)³+3*(3)²+9*3-29=-27+27+27-29=-2
f(-1)=-x³+3x²+9х-29= -(-1)³+3*(-1)²+9*(-1)-29=1+3-9-29=-34
Наибольшее значение этой функции -2
Найдите наибольшее значение выражения x^2/x-1Если x^2+ (x/x-1)^2=8
Решение: Решаем уравнение $$ x^2+ ( \frac{x}{x-1})^2=8 $$
1) Домножаем все на (x-1)² и переносим все в одну сторону, получаем
x²(x-1)²+x²-8(x-1)²=0
2) Раскрыв скобки, имеем: $$ x^4-2x^3-6x^2+16x-8=0 $$
3) Разложим на множители левую часть делением многочлена на двучлен (постепенно):
(x-2)²(x²+2x-2)=0
x-2 = 0 или х²+2х-2=0
Отсюда: $$ x_1=2,\ x_2= -1-\sqrt3,\ x_3=-1+\sqrt3. $$
Вычислим значения дроби $$ \frac{x^2}{x-1} $$ для каждого решения х, и выберем наибольшее значение:
$$ x_1=2 = > \frac{2^2}{2-1}=4 $$
$$ \\ x_2= -1-\sqrt3\ = > \frac{(-1-\sqrt3)^2}{-1-\sqrt3-1}=\frac{4+2\sqrt3}{-2-\sqrt3}=\frac{2(2+\sqrt3)}{-(2+\sqrt3)}=-2 $$
$$ x_3= -1+\sqrt3\ = > \frac{(-1+\sqrt3)^2}{-1+\sqrt3-1}=\frac{4-2\sqrt3}{-2+\sqrt3}=\frac{2(2-\sqrt3)}{-(2-\sqrt3)}=-2 $$
Наибольшее - число 4.
