найдите наибольшее значение функции на отрезке - страница 3
Найдите наибольшее значение выражения -X²+4X-18
Решение:Это квадратноеуравнение решаемое через дескриминант.
D=-b(во второй степени)-4ac=16-4(-1)(-18)=16-72=-56
Так как значение Дискриминанта равно 0, значит x1 и x2тоже равны нулю.
Ответ: 0
Данное задание решается при помощи выделения полного квадрата
-X²+4X-18=-(x²-4x+18)=-((x²-4x+4)+14)=-(x-2)²-14
наибольшее значение данного выражения равно -14 при х=2
Найдите наибольшее значение функции на отрезке y = x^3-18x^2+81x+73 на отрезке (0;7)
Решение:y=x^3-18x^2+81x+73
y’=3x^2-36x+81
y’=0
3x^2-36x+81=0
x^2-12x+27=0
D=b^2-4ac=144-108=36
x1,2=(-b±√D)/2
x1=(12+6)/2=9
x2=(12-6)/2=3
Критическая точка x=3, точка x=9 в исследуемый интервал не входит
Методов интервалов определяем, что функция возрастает от 0 до 3 и убывает от 3 до 7, если рассматривать функцию на отрезке (0;7)
y(0)=73
y(3)=181
y(7)=101
Max при x=3
Найдите наибольшее значение функции на отрезке Y = 11 + 24x -2x√x на отрезке [63;65]
Решение: Вычислим производную функции
$$ y’=24-3 \sqrt{x} $$
Приравниваем производную функции к нулю
$$ 24-3 \sqrt{x} =0\ \sqrt{x} =8\ x=64 $$
Вычислим значение функции на отрезке
$$ y(63)=11+24\cdot 63-2\cdot 63\cdot \sqrt{63} \approx522.906 $$
$$ y(65)=11+24\cdot 65-2\cdot 65\cdot \sqrt{65}\approx522.9065 $$
$$ y(64)=11+24\cdot 64-2\cdot 64\cdot \sqrt{64}=523 $$ - наибольшееНайдите наибольшее значение функции y=(x^2 + 64)/x на отрезке [-18;-4]
Решение: Y = x + 64/x
находим производную
y’ = 1 - 64/x^2
В точке 0 пр-дная не существует
точки в которых пр-дная равна 0
1 - 64/x^2 = 0
64/x^2 = 1
x^2 = 64
x = +- 8
из всех критических точек нас интересует только х = -8 (т.к. она расположена в заданном условием интервале)
при x = -18 y’(-18) > 0 функция возрастает
при x = -4 y’(-4) < 0 функция убывает
х=-8 точка максимума,
максимальное значение функции у(8) = -8 - 64/8 = -16
Найдите наибольшее значение функции Y=17x-17tgx-33 на отрезке [0;π/4]
Решение: Y=17x-17tgx-33
y’ = 17 - 17 =17 (1 - 1 ) = 17 (1 - (1+tg²x)) = 17(1-1-tg²x)=-17 tg²x
cos²x cos²x
-17 tg²x=0
tg²x=0
tgx=0
x=πn, n∈Z
При n=0 x=0
n=1 x=π
Отрезку [0; π/4] принадлежит только х=0.
х=0
у=17*0 - 17tg0 -33=-33 - наибольшее.
x=π/4 y=17*(π/4) - 17tg(π/4) -33=17π/4 - 17 -33 = 17π -50 ≈ -36.655
4
Ответ: у=-33 наибольшее значение функции.Y=15sinx-19x+17Найдите наибольшее значение функции на отрезке[0;П/2]
Решение: Сначала вычислим значения функции в критических точках, для этого найдём производную и приравняем её к 0
y’=(15sinx-19x+17)=15cosx-19=0
15cosx=19
cosx=19/15
x=+-arccos(19/15)+2πn, n∈Z
y=15*sin(-arccos(19/15))-19*(-arccos(19/15)+17
y=15*sin(arccos(19/15))-19*(arccos(19/15)+17
Нет критических точек.
Вычислим значения функции на концах отрезка
х=0
y=15sin0-19*0+17=0-0+17=17
x=π/2
y=15sin(π/2)-19*(π/2)+17=15*1-9,5π+17=32-9,5π≈2,1549
Ответ: 17y=x^5+20x^3-65x найдите наибольшее значение функции на отрезке [-4;0]
Решение:1). Находим производную: y’= 5 x^4 +60 x^2 - 65
2). Приравниваем к нулю: 5 x^4 +60 x^2 - 65=0, делим на 5 обе части и получаемx^4 +12 x^2 - 13=0
Представляем x^4 как (x^2) ^2 и делаем замену x^2=t, тогда получаем:
t^2+12t-13=0
Решаем квадратное уравнение:D=196
t=1 и t=-13, где второе нам не подходит, т.к. отрицательное число.
Возвращаемся к замене x^2=1 x=1 и x=-1, где x=1 не подходит, т.к. не входит в промежуток.3). Находим значение на концах промежутка и на получившемся корне:
y(-4)= -2044
y(0)=0
y(-1)=44
4). Ответ: 44Y=3√3tgx-4√3-2π\√3. Найдите наибольшее значение функции на отрезке \( [-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}] \)
Решение: $$ Y=3\sqrt{3}tgx-4\sqrt{3}x-\frac{2\pi}{\sqrt{3}} $$
на промежутке
$$ [-\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{4} ] $$
такое условие?
=3-4*1.73*0.52-3.62=-4.2
Для этого найдём производную функции и приравняем её к нулю. Значение x, в котором производная равна нулю - подозрительное на экстремум (max или min).
$$ (\sqrt{3}(3tgx-4x)--\frac{2\pi}{\sqrt{3}})’=\sqrt(3)(\frac{3}{cos^2x}-4) $$
$$ \sqrt{3}\frac{3}{cos^2x}-\sqrt{3}4=0 $$
$$ \sqrt{3}\frac{3}{cos^2x}=4\sqrt{3} $$
$$ cos^2x=3/4 $$
$$ cosx=\sqrt{3}/2 $$
$$ x_{1} =-\pi/6 $$
$$ x_{2}=\pi/6 $$
теперь вычислим значение этой функции в точках х1 и х2
\( y_{1}=3\sqrt{3}tg(-\pi/6)-4\sqrt{3}*(-\pi/6)-\frac{2\pi}{\sqrt{3}} \)
\( y_{1}=-3+3.6276-3.6276 \)
\( y_{2}=3\sqrt{3}tg(\pi/6)-4\sqrt{3}*(\pi/6)-\frac{2\pi}{\sqrt{3}} \)
\( y_{2}=3-3.6276-3.6276=-7.2552 \)
Значит максимум при \( x=-\pi/6 \)Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: y=6x в квадрате - x в кубе [0;3]
Решение: Решение
Находим первую производную функции:
y’ = -3x2+12x
или
y’ = 3x(-x+4)
Приравниваем ее к нулю:
3x(-x+4) = 0
x1 = 0
x2 = 4
Вычисляем значения функции
f(0) = 0
f(4) = 32
Ответ:
fmin = 0, fmax = 32
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y’’ = -6x+12
Вычисляем:
y’’(0) = 12> 0 - значит точка x = 0 точка минимума функции.
y’’(4) = -12< 0 - значит точка x = 4 точка максимума функции.
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: у = 2х^3 - 3х^2 - 12 [-2; 5]
Решение: Для начала найдем производную и приравняем ее к нулю:
$$ y`= 6x^2 - 6x=0 \\ 6x(x-1)=0 \\ x_1=0;x_2=1 $$
[-2]..+..{0}..-..{1}..+..[5]
$$ y_{max}=y(0)=-12 \\ y_{min}=y(1)=2-3-12=-13 $$Чтобы решать такие задачи, необходимо ученику знать, что такое производная.
Алгоритм решения таков:
1)Подставляем конечные точки (в вашем случае - от -2 до 5) в функцию. Сравниваем результаты
2)Находим производную, приравниваем к 0 (т.е. находим экстремум функции)
Начнем с 1.
-16-12-12=-40
250-75-12=163
-40<163.
Находим экстремум:
6x²-6x
6x(x-1)=0
x₁=0;
x₂=1.
Вставляем найденные значения в функцию
0-0-12=-12
2-3-12=-13
Раз значений меньше нет, значит min=-40; max=163
