Действительные числа и действия с ними

В предыдущем параграфе мы убедились, что для измерения отрезков рациональных чисел не хватает. Напомним еще раз, что рациональные числа - это числа, представимые в виде бесконечных периодических десятичных дробей. А длины некоторых отрезков выражаются бесконечными непериодическими десятичными дробями. Таким образом, задача измерения отрезков приводит нас к необходимости расширить множество рациональных чисел путем присоединения к нему положительных бесконечных непериодических десятичных дробей. С такой же необходимостью мы столкнулись, по существу, и при рассмотрении квадратных уравнений вида х² = а, где а - некоторое рациональное (даже натуральное) число. Потребности алгебры (например, выполнимость действия вычитания) указывают на то, что наряду с положительными целесообразно сразу же ввести в рассмотрение и отрицательные бесконечные непериодические десятичные дроби. Поэтому в дальнейшем, говоря о бесконечных непериодических дробях, мы будем иметь в виду как положительные, так и отрицательные дроби.

Числа, которые можно представить в виде бесконечных непериодических десятичных дробей, называются иррациональными (то есть «нерациональными»).

Примером иррациональных чисел, может служить любое из чисел \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) и т. д. Не следует, однако, думать, что иррациональные числа получаются только при извлечении корней. Как было показано в предыдущем параграфе, к иррациональным числам приводит и задача измерения отрезков. А измерение отрезков, вообще говоря, не обязательно связано с извлечением корней.

Классический пример иррационального числа, происхождение которого также не имеет никакого отношения к извлечению корней, дает число π = 3,1415926535... (отношение длины окружности к ее диаметру). К сожалению, мы не можем привести здесь других убедительных примеров. Но примеры такие существуют. Поэтому извлечение корней из целых чисел - далеко не единственный источник образования иррациональных чисел. Более того, среди всех иррациональных чисел в известном смысле больше как раз таких чисел, которые своим происхождением никак не связаны,с извлечением корней. Однако вопрос этот довольно сложен; подробно останавливаться на нем мы здесь не можем.

Все рациональные и все иррациональные числа, взятые вместе, образуют множество действительных, или вещественных, чисел. К изучению этого множества мы приступим в следующем параграфе.

Некоторыми иррациональными числами математики пользовались еще в древние времена. К ним приводили многие задачи геометрии, которые не могли быть решены на базе существовавшей тогда арифметики. Однако в те времена иррациональные числа рассматривались не как равноправные с рациональными, а как какие-то исключительные числа, нарушающие гармонию арифметики и геометрии. По этой причине некоторые предлагали даже изгнать иррациональные числа из математики.

Строгая теория иррациональных чисел была построена лишь во второй половине XIX века. Основная заслуга а этом принадлежит немецким ученым Дедекинду (1831-1916), Кантору (1845 - 1918) и Вейерштрассу (1815-1897)

Сравнение действительных чисел

В этом параграфе, говоря о действительных числах, мы будем предполагать, что все они заданы нам в виде бесконечных десятичных дробей. Сначала рассмотрим лишь положительные числа.

Два положительных действительных числа называются равными, если все соответственные десятичные знаки их одинаковы (бесконечные периодические десятичные дроби с периодом 9 мы исключаем из рассмотрения).

Если же одно из чисел содержит знак, не совпадающий с соответственным знаком другого числа, то числа называются неравными. Например, число 5,6389... не равно числу 3,6389...; число 0,146... не равно числу 0,148... и т. д.

Пусть α и β - не равные между собой положительные действительные числа. Если целые части этих чисел различны, то большим считается то из них, которое имеет большую целую часть. Например,

5,6348... > 3,9901...;
1,0000... > 0,5777... .

Предположим теперь, что целые части неравных чисел α и β равны между собой. Тогда сравним их первые после запятой десятичные знаки. Если эти знаки различны, то большим будет то из чисел α и β, которое содержит больший первый десятичный знак. Если же и эти знаки одинаковы, то сравним вторые после запятой знаки. Большим из чисел α и β будет то, у которого второй после запятой десятичный знак больше. Если же и эти знаки одинаковы, то сравниваем третьи после запятой знаки и т. д. Рано или поздно мы придем к разным знакам: в противном случае числа α и β были бы равны друг другу.

Примеры

37,1269... > 37,0394...;
110,0057... > 110,0049...;
0,3333... > 0,3332... .

Теперь покажем, как сравниваются между собой отрицательные действительные числа.

Два отрицательных действительных числа α и β называются равными, если равны их абсолютные значения:

| α | = | β |.

Если же | α | \(\neq\) | β | , то отрицательные числа α и β называются неравными. Например:

- 5,6389... \(\neq\) - 3,6389...;
- 0,146... \(\neq\) - 0,147... .

Из двух отрицательных чисел большим считается то, абсолютная величина которого меньше.

Например:

- 37,1269... < - 37,0394..., так как 37,1269... > 37,0394...;

- 0,3333... < - 0,3332...., поскольку 0,3333... > 0,3332... .

Нам осталось установить, как сравниваются между собой действительные числа разных знаков. Естественно считать, что любое положительное число больше любого отрицательного числа и числа 0, а число 0, в свою очередь, больше любого отрицательного числа.

Геометрическое изображение действительных чисел

Геометрически действительные числа, так же как и рациональные числа, изображаются точками прямой.

Пусть l - произвольная прямая, а О - некоторая ее точка. Каждому положительному действительному числу α поставим в соответствие точку А, лежащую справа от О на расстоянии в α единиц длины.

Если, например, α = 2,1356..., то

2 < α < 3
2,1 < α < 2,2
2,13 < α < 2,14

и т. д. Очевидно, что точка А в этом случае должна находиться на прямой l правее точек, соответствующих числам

2; 2,1; 2,13; ... ,

но левее точек, соответствующих числам

3; 2,2; 2,14; ... .

Можно показать, что эти условия определяют на прямой l единственную точку А, которую мы и рассматриваем как геометрический образ действительного числа α = 2,1356... .

Аналогично, каждому отрицательному действительному числу β поставим в соответствие точку В, лежащую слева от О на расстоянии в | β | единиц длины. Наконец, числу «нуль» поставим в соответствие точку О.

Так, число 1 изобразится на прямой l точкой А , находящейся справа от О на расстоянии в одну единицу длины (рис.), число - \(\sqrt{2}\) - точкой В, лежащей слева от О на расстоянии в \(\sqrt{2}\) единиц длины, и т. д.

Покажем, как на прямой l с помощью циркуля и линейки можно отыскать точки, соответствующие действительным числам \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{4}\), \(\sqrt{5}\) и т. д. Для этого прежде всего покажем, как можно построить отрезки, длины которых выражаются этими числами. Пусть АВ есть отрезок, принятый за единицу длины (рис.).

В точке А восставим к этому отрезку перпендикуляр и отложим на нем отрезок АС, равный отрезку АВ. Тогда, применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику ABC, получим: $$ ВС = \sqrt{{АВ}^2 + {АС}^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} $$

Следовательно, отрезок ВС имеет длину \(\sqrt{2}\). Теперь восставим перпендикуляр к отрезку ВС в точке С и выберем на нем точку D так, чтобы отрезок CD был равен единице длины АВ. Тогда из прямоугольною треугольника BCD найдем:

Следовательно, отрезок BD имеет длину \(\sqrt{3}\). Продолжая описанный процесс дальше, мы могли бы получить отрезки BE, BF, ..., длины которых выражаются числами \(\sqrt{4}\), \(\sqrt{5}\) и т. д.

Теперь на прямой l легко найти те точки, которые служат геометрическим изображением чисел \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{4}\), \(\sqrt{5}\) и т. д.

Откладывая, например, справа от точки О отрезок ВС (рис.), мы получим точку С, которая служит геометрическим изображением числа \(\sqrt{2}\). Точно так же, откладывая справа от точки О отрезок BD, мы получим точку D’, которая является геометрическим образом числа \(\sqrt{3}\), и т. д.

Не следует, однако, думать, что с помощью циркуля и линейки на числовой прямой l можно найти точку, соответствующую любому заданному действительному числу. Доказано, например, что, имея в своем распоряжении только циркуль и линейку, нельзя построить отрезок, длина которого выражается числом π = 3,14 ... . Поэтому на числовой прямой l с помощью таких построений нельзя указать точку, соответствующую этому числу Тем не менее такая точка существует.

Итак, каждому действительному числу α можно поставить в соответствие некоторую вполне определенную точку прямой l. Эта точка будет отстоять от начальной точки О на расстоянии в |α| единиц длины и находиться справа от О, если α > 0, и слева от О, если α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой l. В самом деле, пусть числу α соответствует точка А, а числу β - точка В. Тогда, если α > β, то А будет находиться правее В (рис. а); если же α < β, то А будет лежать левее В (рис.).

Говоря о геометрическом изображении рациональных чисел, мы поставили вопрос: любую ли точку прямой можно рассматривать как геометрический образ некоторого рационального числа? Тогда мы не могли дать ответ на этот вопрос; теперь же мы можем ответить на него вполне определенно. На прямой есть точки, которые служат геометрическим изображением иррациональных чисел (например, \(\sqrt{2}\)). Поэтому не всякая точка прямой изображает рациональное число. Но в таком случае напрашивается другой вопрос: любую ли точку числовой прямой можно рассматривать как геометрический образ некоторого действительного числа? Этот вопрос решается уже положительно.

В самом деле, пусть А - произвольная точка прямой l, лежащая справа от О (рис.).

Длина отрезка ОА выражается некоторым положительным действительным числом α. Поэтому точка А является геометрическим образом числа α. Аналогично устанавливается, что каждая точка В, лежащая слева от О, может рассматриваться как геометрический образ отрицательного действительного числа - β, где β - длина отрезка ВО. Наконец, точка О служит геометрическим изображением числа нуль. Понятно, что две различные точки прямой l не могут быть геометрическим образом одного и того же действительного числа.

В силу изложенных выше причин прямая, на которой указана в качестве «начальной» некоторая точка О (при заданной единице длины), называется числовой прямой.

Вывод. Множество всех действительных чисел и множество всех точек числовой прямой находятся во взаимно однозначном соответствии.

Это означает, что каждому действительному числу соответствует одна, вполне определенная точка числовой прямой и, наоборот, каждой точке числовой прямой при таком соответствии отвечает одно, вполне определенное действительное число.

Десятичные приближения действительных чисел

Пусть α есть некоторое положительное действительное число, представленное в виде бесконечной дроби. Вначале мы предположим, что эта дробь не является периодической с периодом 0. (Например, в качестве α не может выступать число 0,5 = 0,5000... .) Тогда десятичные приближения числа α с недостатком определяются как числа, которые получаются в результате последовательного отбрасывания всех его цифр, стоящих после запятой, начиная с первой цифры, потом со второй, затем с третьей и т. д. Например, для числа \(\sqrt{2}\) = 1,41421... такими приближениями будут:

1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; ... .

Если последнюю цифру каждого из десятичных приближений числа α увеличить на 1, то мы получим последовательные десятичные приближения числа α с избытком. Например, для числа \(\sqrt{2}\) такими приближениями будут:

2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143; 1,41422; ....

Очевидно, что число α больше любого своего десятичного приближения с недостатком, но меньше любого своего десятичного приближения с избытком. Например, для числа \(\sqrt{2}\)

1< \(\sqrt{2}\)< 2

1,4< \(\sqrt{2}\)< l,5

1,41 \(\sqrt{2}\)< 1,42

1,414 < \(\sqrt{2}\)< 1,415

1,4142 < \(\sqrt{2}\)< 1,4143

1,41421 < \(\sqrt{2}\)< 1,41422

и т. д.

Теперь предположим, что α есть периодическая десятичная дробь с периодом 0. Примером такого числа может служить число 1,47 = 1,4700 ... . Десятичные приближения этого числа с недостатком естественно определить как числа

1; 1,4; 1,47; 1,470; 1,4700; ...,

а десятичные приближения с избытком - как числа

2; 1,5; 1,47; 1,470; 1,4700; ... .

Вообще, пусть нулевой период числа α начинается с k-го десятичного знака после запятой (например, Для числа 1,47 = = 1,470000... k = 3). Тогда его первые k - 1 десятичных приближений с недостатком и первые k - 1 десятичных приближений с избытком определяются так же, как и в случае, когда рассматриваемая дробь не является периодической с периодом 0. Все же остальные десятичные приближения считаются равными числу α. Так, для числа 0,373 = 0,37300... десятичными приближениями будут:

с недостатком 0; 0,3; 0,37; 0,373; 0,3730; 0,37300; ...,

с избытком 1; 0,4; 0,38; 0,373; 0,3730; 0,37300; ... .

Очевидно, что в этом случае число α не меньше любого своего десятичного приближения с недостатком и не больше любого своего десятичного приближения с избытком.

Мы показали, как составляются десятичные приближения (с недостатком и с избытком) для любых положительных действительных чисел. Аналогично можно определить десятичные приближения и для произвольных отрицательных чисел. Не будем приводить здесь общих определений; покажем лишь, как следует находить десятичные приближения отрицательных чисел на примере числа -\(\sqrt{2}\) = - 1,41421... .

Как известно, из двух отрицательных чисел больше тo, абсолютная величина которого меньше. Поэтому из полученных выше соотношений

1< \(\sqrt{2}\)< 2

1,4< \(\sqrt{2}\)< l,5

1,41 \(\sqrt{2}\)< 1,42

1,414 < \(\sqrt{2}\)< 1,415

1,4142 < \(\sqrt{2}\)< 1,4143

1,41421 < \(\sqrt{2}\)< 1,41422

..................................................

вытекает, что

-2 <-\(\sqrt{2}\)<-1

- 1,5 <- \(\sqrt{2}\)<-1,4.

- 1,42 < -\(\sqrt{2}\)<-1,41

- 1,415 < - \(\sqrt{2}\)< -1,414

- 1,4143 < - \(\sqrt{2}\) < - 1,4142

- 1,41422 < - \(\sqrt{2}\) <- 1,41421

Числа, стоящие в левых частях этих неравенств, естественно назвать десятичными приближениями числа - \(\sqrt{2}\) с недостатком, а числа, стоящие в правых частях, - десятичными приближениями числа -\(\sqrt{2}\) с избытком. Очевидно, что число -\(\sqrt{2}\) больше любого своего десятичного приближения с недостатком, но меньше любого своего десятичного приближения с избытком. Добавим, наконец, что для действительного числа 0 также можно построить десятичные приближения с недостатком и десятичные приближения с избытком. Каждое из таких приближений считается равным нулю.

Итак, с каждым действительным числом α можно связать две бесконечные последовательности чисел:

α₁’, α₂’, α₃’, α₄’, ...;

α₁’’, α₂’’, α₃’’, α₄’’, ... .

Первая последовательность состоит из десятичных приближений числа α с недостатком, а вторая - из десятичных приближений числаα с избытком. При этом

α₁’ < α < α₁’’

α₂’ < α < α₂’’

α₃’ < α < α₃’’

α₄’ < α < α₄’’

и т. д.

Важно отметить, что каждое из десятичных приближений числа α является рациональным числом, хотя само число α может быть и иррациональным.

Сложение действительных чисел

Пока что мы умеем складывать друг с другом лишь рациональные числа. Как мы знаем,

А вот какой смысл вкладывается в сумму двух чисел, из которых хотя бы одно иррационально, этого мы еще не знаем. Нам предстоит сейчас дать определение того, что понимается под суммой α + β двух произвольных действительных чисел α и β.

Для примера рассмотрим числа ¹/₃ и \(\sqrt{2}\). Представим их в виде бесконечных десятичных дробей

¹/₃ = 0,33333...;

\(\sqrt{2}\)=1,41421... .

Сначала сложим соответственные десятичные приближения данных чисел с недостатком. Эти приближения, как отмечалось в конце предыдущего параграфа, представляют собой рациональные числа. А складывать такие числа мы уже умеем:

0+1 = 1
0,3+1,4= 1,7
0,33+1,41 = 1,74
0,333 + 1,414 = 1,747
0,3333 + 1,4142= 1,7475
0,33333 + 1,41421 = 1,74754
.................................................................

Затем сложим соответственные десятичные приближения данных чисел с избытком:

1 +2 = 3
0,4+ 1,5 = 1,9
0,34+ 1,42= 1,76
0,334 + 1,415 = 1,749
0,3334 + 1,4143=1,7477
0,33334+ 1,41422= 1,74756
..........................................................

Можно доказать, что существует и притом единственное действительное число γ, которое больше всех сумм десятичных приближений чисел ¹/₃ и \(\sqrt{2}\) с недостатком, но меньше всех сумм десятичных приближений этих чисел с избытком:

1 < γ < 3

1,7 < γ < 1,9

1,74 < γ < 1,76

1,747 < γ < 1,749

1,7475 < γ < 1,7477

1,74754 < γ < 1,74756

По определению это число γ и принимается за сумму чисел ¹/₃ и \(\sqrt{2}\):

γ = ¹/₃ + \(\sqrt{2}\)

Очевидно, что γ = 1,7475....

Аналогично может быть определена и сумма любых других положительных действительных чисел, из которых хотя бы одно иррационально. Суть дела не изменится и в том случае, если одно из слагаемых, а может быть, и оба будут отрицательными.

Итак, если числа α и β рациональны, то сумма их находится по правилу сложения рациональных чисел.

Если же хотя бы одно из них иррационально, то суммой α + β называется такое действительное число, которое больше всех сумм соответственных десятичных приближений этих чисел с недостатком, но меньше всех сумм соответственных десятичных приближений этих чисел с избытком.

Определенное таким образом действие сложения подчиняется следующим двум законам:

1. коммутативному закону:
   

   α + β = β + α

2. ассоциативному закону:
   

   (α + β) + γ = α + ( β + γ).

Доказывать этого мы не будем. Учащиеся могут сделать это самостоятельно. Отметим лишь, что при доказательстве придется использовать уже известный нам факт: сложение рациональных чисел подчинено коммутативному и ассоциативному законам.

Умножение действительных чисел

В этом параграфе мы покажем, как можно прийти к естественному определению произведения двух действительных чисел α и β, из которых хотя бы одно является иррациональным. При этом мы будем исходить из того, что умножение рациональных чисел нами уже изучено.

Сначала предположим, что числа α и β положительные.

Пусть, например, α = ¹/₃, а β = \(\sqrt{2}\) Представим эти числа в виде бесконечных десятичных дробей:

¹/₃ = 0,33333 ... ; \(\sqrt{2}\)= 1,41421 ... .

Перемножим соответственные десятичные приближения данных чисел с недостатком. Эти приближения представляют собой рациональные числа. А перемножать такие числа мы уже умеем:

0 • 1 = 0
0,3 • 1,4 = 0,42
0,33 • 1,41 = 0,4653
0,333 • 0,414 = 0,470862
0,3333 • 1,4142 = 0,47135286
0,33333 • 1,41421 = 0,4713986193
.................................................................

Затем перемножим соответственные десятичные приближения данных чисел с избытком:

1 • 2 = 2
0,4 • 1,5 = 0,6
0,34 • 1,42 = 0,4828
0,334 • 1,415 = 0,47261
0,3334 • 1,4143 = 0,47152762
0,33334 • 1,41422 = 0,4714160948
.............................................................

Можно доказать, что существует и притом единственное число γ, которое больше всех произведений десятичных приближений чисел ¹/₃ и \(\sqrt{2}\) с недостатком, но меньше всех произведений десятичных приближений этих чисел с избытком:

0 < γ < 2
0,42 < γ < 0,6
0,4653 < γ < 0,4828
0,470862 < γ < 0,47261
0,47135286 < γ < 0,47152762
0,4713986193 < γ < 0,4714160948
............................................................

По определению это число γ и принимается за произведение чисел ¹/₃ и \(\sqrt{2}\):

Очевидно, что γ = 0,471... . Аналогично может быть определено и произведение любых других положительных действительных чисел, из которых хотя бы одно иррационально.

Теперь нужно рассмотреть случай, когда хотя бы один из сомножителей α и β отрицателен. Если отрицательными являются оба сомножителя α и β то

α • β = |α| • |β|.

Если же один из сомножителей α и β положителен, а другой отрицателен, то

α • β = - |α| • |β|.

Например,

(- ¹/₃ ) • (-\(\sqrt{2}\)) = ¹/₃ • \(\sqrt{2}\)= 0,471 ... ;

(- ¹/₃ ) • \(\sqrt{2}\) = - ( ¹/₃ • \(\sqrt{2}\))= 0,471 ... ;

Наконец, если хотя бы один из сомножителей равен нулю, то и произведение считается равным нулю. Например,

\(\sqrt{2}\) • 0 = 0,

0 • (-\(\sqrt{2}\)) = 0

и т. д.

Теперь мы можем дать общее определение произведения двух действительных чисел.

Если числа α и β рациональны, то произведение их находится по правилу умножения рациональных чисел .

Если хотя бы одно из чисел α и β иррационально и оба они положительны, то произведением их называется такое действительное число, которое больше всех произведений соответственных десятичных приближений этих чисел с недостатком, но меньше всех произведений соответственных десятичных приближений этих чисел с избытком.

Если оба числа α и β отрицательны, то

α • β = |α| • |β|

Если одно из чисел α и β является Положительным, а другое отрицательным, то

α • β = - (|α| • |β|)

Наконец, если хотя бы одно из чисел α и β равно нулю, то

α • β = 0.

Нетрудно показать, что определенное таким образом действие умножения подчиняется следующим законам:

1) коммутативному закону:

α • β = β • α;

2) ассоциативному закону:

(α • β) • γ = α • ( β • γ).

Кроме того, для любых действительных чисел α, β и γ выполняется соотношение

(α + β) γ = α γ + βγ,

которое выражает дистрибутивный закон умножения относительно сложения.

Вычитание и деление действительных чисел

Основными алгебраическими действиями в множестве всех действительных чисел, так же как и в множестве всех рациональных чисел, являются сложение и умножение. Что же касается вычитания и деления, то эти действия определяются как обратные по отношению к действиям сложения и умножения.

1. Вычитание действительных чисел

Разностью α - β двух действительных чисел α и β называется такое число γ, которое в сумме с β дает α.

Другими словами, разность α - β определяется как корень, уравнения

β + х = α. (1)

Как и в случае рациональных чисел, уравнение (1) всегда имеет и притом единственное решение. Таким образом, для любых действительных чисел α и β разность α - β существует и определена однозначно.

Покажем, например, как могут быть найдены приближенные значения разности

\(\sqrt{2}\)- ¹/₃

Заменив в этом выражении число \(\sqrt{2}\) его любым десятичным приближением с недостатком (1; 1,4; 1,41; 1,414; ...), а число ¹/₃ его любым десятичным приближением с избытком (1; 0,4; 0,34; 0,334; . . . ), мы получим, очевидно, приближенное значение разности \(\sqrt{2}\)- ¹/₃ недостатком. Наоборот, если в выражении \(\sqrt{2}\)- ¹/₃ число \(\sqrt{2}\) заменить его любым десятичным приближением с избытком (2; 1,5; 1,42; 1,415; . . . ), а число ¹/₃ его любым десятичным приближением с недостатком (0; 0,3; 0,33; 0,333; . . . ), то полученная разность будет, очевидно, представлять собой приближенное значение \(\sqrt{2}\)- ¹/₃ с избытком. В частности,

1 - 1 < \(\sqrt{2}\)- ¹/₃ < 2 - 0,

или

. 0 < \(\sqrt{2}\)- ¹/₃ <2.

Это слишком грубое неравенство. Для получения более точных данных о разности \(\sqrt{2}\)- ¹/₃ возьмем другие приближения \(\sqrt{2}\) и ¹/₃:

1,4 - 0,4 < \(\sqrt{2}\)- ¹/₃ < 1,5 - 0,3

или

1,0 < \(\sqrt{2}\)- ¹/₃ < 1,2.

Это неравенство дает уже гораздо больше информации о разности \(\sqrt{2}\)- ¹/₃. Из него, в частности, вытекает, что с точностью до 0,1

\(\sqrt{2}\)- ¹/₃ ≈ 1,1.

Если и такая точность нас не устраивает, мы можем продолжить наши рассуждения:

1,41 - 0,34 < \(\sqrt{2}\)- ¹/₃ < 1,42 - 0,33

или

1,07 < \(\sqrt{2}\)- ¹/₃ < 1,09.

Отсюда, в частности, получаем, что с точностью до 0,01

\(\sqrt{2}\)- ¹/₃ ≈ 1,08.

Описанный способ нахождения приближенных значений разности \(\sqrt{2}\)- ¹/₃ можно было бы продолжать и дальше. При этом будут получаться все более и более точные значения этой разности. (Заметим, однако, что ни на каком шаге мы не можем получить точного значения этой разности.)

2. Деление действительных чисел

Частным α : β от деления действительного числа α на действительное число β называется такое число γ, которое при умножении на β дает α.

Другими словами, частное α : β определяется как корень уравнения

β • х = α. (2)

Можно доказать, что если β \(\neq\) 0, то уравнение (2) имеет и притом единственный корень. Если же β = 0, то это уравнение либо вообще не имеет корней (при α \(\neq\) 0), либо имеет бесконечно много корней (при α = 0); в последнем случае любое число является корнем уравнения (2).

Поэтому, если β \(\neq\) 0, то частное α : β существует и определено однозначно; при β = 0 частное α : β не определено.

Покажем, например, как могут быть найдены приближенные значения Частного α : β при α = 1,532. . .., β = 2,037 ... .

Если в выражении α : β число α заменить его любым десятичным приближением с недостатком (1; 1,5; 1,53; 1,532; . . .). а число β - его любым десятичным приближением с избытком (3; 2,1; 2,04; 2,038; . . . ), то полученное частное будет, очевидно, представлять собой приближенное значение α : β с недостатком

Наоборот, если в выражении α : β число α заменить любым егс десятичным приближением с избытком (2; 1,6; 1,54; 1,533; . . . ) а число β- любым его десятичным приближением с недостатком (2; 2,0; 2,03; 2,037; . . .), то полученное частное будет служить очевидно, приближенным значением α : β с избытком.

В частности,

1,532 : 2,038 < α : β < 1,533 : 2,037,

или

0,7516 < α : β < 0,7526.

Это дает по меньшей мере два верных десятичных знака (после запятой) частного:

α : β = 0,75 ... .