Действия с дробями

Сложение и вычитание простых дробей

Для сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями нужно в первом случае сложить, а во втором вычесть их числители и результат сделать числителем новой дроби, а знаменатель подписать прежний.

Если знаменатели дробей различны, то нужно сначала привести все данные дроби к простейшему общему знаменателю.

При сложении или вычитании дробей с многочленными числителями и знаменателями в особенности важно не спешить с вычислениями и довольствоваться вначале одним обозначением промежуточных действий. Вообще говоря, следует вести вычисления в таком порядке:

• сначала подготовить дроби для приведения к общему знаменателю, для чего часто требуется разложить знаменатели дробей на первообразные множители.
• Затем составить простейший общий знаменатель, нужно выписать его под общей чертой деления, а над ней обозначить произведения числителей дробей на дополнительные множители к их знаменателям, отделяя эти произведения теми знаками сложения и вычитания, которыми были отделены данные дроби.
• После этого в полученном общем числителе нужно раскрыть скобки и сделать, если можно, приведение подобных членов.
• Наконец, нужно проверить, не допускает ли полученная дробь сокращения, и если допускает, то сократить ее на наибольший общий множитель ее членов.

Пример:

$$ \frac{3}{a+1}+\frac{1}{1-a}-\frac{2a}{1-a^2}=\frac{3}{a+1}+\frac{1}{1-a}-\frac{2a}{(1+a)(1-a)} =\\= \frac{3(1-a)+(1+a)-2a}{(1+a)(1-a)} = \frac{4-4a}{(1+a)(1-a)} = \frac{4}{1+a} $$

Иногда, при приведении дробей к общему знаменателю требуется изменить знак у одного из данных знаменателей. Эту перемену всегда можно сделать, но нужно вместе с этим переменить и знак числителя, или же, оставляя числитель прежним, поставить перед самой дробью знак противоположный тому, с которым она была дана. Например:

$$ \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}+\frac{b}{b-a}-\frac{b}{b+a}=\frac{a^2+b^2}{(a+b)(a-b)}-\frac{b}{a-b}-\frac{b}{a+b} =\\= \frac{a^2+b^2-b(a+b)-b(a-b)}{(a+b)(a-b)}= \frac{a^2-2ab+b^2}{a^2-b^2}=\frac{a-b}{a+b} $$

1. чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, можно сложить их числители и под суммой подписать тот же знаменатель;
2. чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, можно вычесть их числители и под разностью подписать тот же знаменатель;

Если данные для сложения или вычитания дроби имеют разные знаменатели, то предварительно их следует привести к одному знаменателю. Например:

В результате вычитания получим:

$$ \frac{(x+1)^2 - (x^2+3)}{2(x+1)(x-1)}=\frac{x^2+2x+1-x^2-3}{2(x+1)(x-1)}=\frac{2x-2}{2(x+1)(x-1)}=\frac{1}{x+1} $$

Умножение дробей

Для умножения дроби на целое выражение, а также для умножения целого выражения на дробь, нужно умножить целое на числитель дроби и полученное произведение сделать числителем результата, а знаменатель подписать прежний:

$$ \frac{a}{b}\cdot c = \frac{ac}{b} \;\;\; и \;\;\; a\cdot\frac{b}{c}=\frac{ab}{c} $$

В особых случаях, когда знаменатель дроби делится нацело на целое выражение, то для перемножения дроби с целым выражением можно разделить на целое знаменатель дроби и оставить прежний числитель, например:

$$ \frac{a}{c^2} = \frac{a}{c} $$

В общем случае, чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и сделать это произведение числителем результата, затем перемножить также знаменатели и сделать это второе произведение знаменателем результата; таким образом $$ \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} $$

После умножения дробей получаются часто сократимые дроби и поэтому, выполнив умножение, следует позаботиться о сокращении полученного результата: $$ \frac{2a^2b}{3cd^2}\cdot\frac{5cd}{2ab} = \frac{10a^2bcd}{6abcd^2} = \frac{5a}{3d} $$

Сокращение можно делать и до умножения, когда произведение дробей только еще обозначено: так как все множители числителей переходят в числитель результата, а все множители знаменателей в знаменатель результата, то можно сокращать множители любого числителя с множителями любого знаменателя; например

$$ \frac{2a^2b^2}{3m^2n^2}\cdot\frac{5m^2n^3}{4p^3q^2}\cdot\frac{3p^2q^2}{7c^2d^2} = a^2b^2\cdot\frac{5n}{2p}\cdot\frac{1}{7c^2d^2} = \frac{5a^2b^2n}{14c^2d^2p} $$

В частном случае, если числитель одной из перемножаемых дробей равен знаменателю другой, то эти члены дробей вполне уничтожаются сокращением, и приходится только оставшийся числитель разделить на оставшийся знаменатель:

$$ \frac{x}{y}\cdot\frac{y}{z}=\frac{x}{z} $$

При перемножении дробей, у которых числители и знаменатели многочленные выражения, нужно только обозначать умножение числителей и знаменателей, но не производить эти действия немедленно, потому что в таком случае сокращение результата будет затруднено.

Ради той же цели сокращения результата, а также и для упрощения умножения, полезно иногда еще до выполнения умножения дробей разложить их числители и знаменатели на множители.

Деление дробей

Для деления дроби на целое выражение нужно умножить знаменатель дроби на целое выражение и сделать это произведение знаменателем результата, а числитель переписать прежний:

$$ \frac{a}{b} : c = \frac{a}{bc} $$

В особых случаях, когда числитель дроби делится нацело на целый делитель, можно разделить числитель на этот делитель и оставить прежний знаменатель: $$ \frac{ab}{c} : b = \frac{a}{c} $$

Чтобы разделить целое или дробное выражение на дробь, нужно умножить делимое на дробь, обратную делителю; таким образом

$$ a : \frac{b}{c} = \frac{ac}{b}, \;\;\; \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc} $$

Иначе говоря, для деления целого на дробь, нужно умножить целое на знаменатель дроби и разделить на ее числитель; для деления дроби на дробь, нужно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй и сделать это произведение числителем результата, затем умножить знаменатель первой дроби на числитель второй и сделать это второе произведение знаменателем результата.

После деления дробей могут получаться сократимые дроби и потому, выполнив деление, следует позаботиться о сокращении полученного результата:

$$ \frac{6a^2b^3}{5c^3d^2} : \frac{2a^4b}{3c^2b^3} = \frac{18a^2b^3c^2d^3}{10a^4bc^3d^2} = \frac{9b^2d}{5a^2c} $$

Сокращение можно делать и до деления, когда частное дробей только еще обозначено: а именно, можно сокращать общие множители, отдельно в обоих числителях, или в обоих знаменателях; так, имея то же предыдущее частное, находим:

$$ \frac{6a^2b^3}{5c^3d^2} : \frac{2a^4b}{3c^2b^3} = \frac{3b^2}{5c} : \frac{a^2}{3d} = \frac{9b^2d}{5a^2c} $$

В частном случае, когда делятся дроби с одинаковыми знаменателями, то знаменатели можно прямо отбросить и составить частное от деления числителей, например, \( \frac{x}{y} : \frac{z}{y} = \frac{x}{z} \); когда делятся дроби с одинаковыми числителями, то можно отбросить числители и составить обратное частное от деления знаменателей, т.е. разделить второй знаменатель на первый, например, \( \frac{x}{y} : \frac{x}{z} = \frac{z}{y} \)

Замечания: 1) Так как ^ad/_bc = ^a/_b • ^d/_c , то правило деления можно высказать иначе: чтобы разделить дробь на дробь, можно первую дробь умножить на обратную второй.

2) Всякое целое алгебраическое выражение можно рассматривать как дробь, у которой числитель есть это целое выражение, а знаменателем служит 1; например,

a = ^a/₁ ; 3x² = 3x² /1 и т. п.

При делении дробей, у которых числители и знаменатели многочленные выражения, нужно только обозначать умножение числителя одной дроби на знаменатель другой, но не спешить производить эти умножения немедленно, потому что всегда следует иметь в виду возможность сокращения дроби, получаемой в результате.

Ради той же цели сокращения результата, а также и для упрощения деления, полезно иногда еще до производства деления дробей разложить их числители и знаменатели в произведения первоначальных множителей.