Преобразование смешанных дробей в простые и обратно

Если данное дробное выражение представляет только частное от деления числителя на знаменатель и не содержит целого слагаемого или вычитаемого, то оно называется простой или одночленной дробью.

Если же данное выражение представляет сумму или разность дроби с целым выражением, то оно называется смешанной или многочленной дробью.

Смешанную дробь можно всегда преобразовать в простую. Для этого нужно умножить целое выражение на знаменатель дроби, приложить к произведению или вычесть из него (смотря по знаку, стоящему перед дробью) числитель дроби и весь полученный результат сделать числителем новой дроби, а знаменатель подписать прежний.

В более сложных случаях следует сначала только обозначить действия, не производя их сразу во избежание возможной ошибки. Приводим пример, наглядно указывающий рекомендуемый порядок вычислений:

Простые дроби также иногда преобразуют в смешанные. Обычно это делают только в тех случаях, когда целое выражение выделяется непосредственно при делении числителя на знаменатель. Тогда нужно разделить числитель на знаменатель и к полученному целому частному приложить дробь, числитель которой есть остаток деления, а знаменатель прежний.

Подобное преобразование полезно иногда делать для облегчения сокращения дроби, так как, отделяя целое выражение, мы часто получаем дробь более простого состава, а свойство сократимости ее всегда такое же, как и у данной дроби. Например:

Здесь числитель и знаменатель дроби довольно трудно преобразовываются в произведения, а после выделения целого слагаемого общий множитель a-b обнаруживается легко.