Преобразование смешанных дробей в простые и обратно

Если данное дробное выражение представляет только частное от деления числителя на знаменатель и не содержит целого слагаемого или вычитаемого, то оно называется простой или одночленной дробью.

$$ \frac{a-b}{a+b} $$

Если же данное выражение представляет сумму или разность дроби с целым выражением, то оно называется смешанной или многочленной дробью.

$$ a - \frac{b^2}{a-b} \;\;\; смешанная дробь $$

Смешанную дробь можно всегда преобразовать в простую. Для этого нужно умножить целое выражение на знаменатель дроби, приложить к произведению или вычесть из него (смотря по знаку, стоящему перед дробью) числитель дроби и весь полученный результат сделать числителем новой дроби, а знаменатель подписать прежний.

В более сложных случаях следует сначала только обозначить действия, не производя их сразу во избежание возможной ошибки. Приводим пример, наглядно указывающий рекомендуемый порядок вычислений:

$$ a - 2b - \frac{a^2 - ab}{a+b} = \frac{(a-2b)(a+b)-(a^2-ab)}{a+b}=\\=\frac{a^2 -ab-2b^2-a^2+ab}{a+b} = \frac{-2b^2}{a+b} = -\frac{2b^2}{a+b} $$

Простые дроби также иногда преобразуют в смешанные. Обычно это делают только в тех случаях, когда целое выражение выделяется непосредственно при делении числителя на знаменатель. Тогда нужно разделить числитель на знаменатель и к полученному целому частному приложить дробь, числитель которой есть остаток деления, а знаменатель прежний.

Подобное преобразование полезно иногда делать для облегчения сокращения дроби, так как, отделяя целое выражение, мы часто получаем дробь более простого состава, а свойство сократимости ее всегда такое же, как и у данной дроби. Например:

$$ \frac{6a^3 -5a^2b-ab^2}{3a^2-4ab+b^2}=2a +\frac{3a^2b-3ab^2}{3a^2-4ab+b^2} =\\= 2a+\frac{3ab(a-b)}{3a^2-4ab+b^2} = 2a+\frac{3ab}{3a-b} $$

Здесь числитель и знаменатель дроби довольно трудно преобразовываются в произведения, а после выделения целого слагаемого общий множитель a-b обнаруживается легко.



« назад