Многочлен и одночлен

Алгебраическое выражение, составленное из нескольких других выражений, соединенных между собою знаками + или -, называется многочленом. Например:

$$ ab-a+b^2-10+\frac{a-b}{2} $$

Отдельные выражения, от соединения которых знаками + или - получился многочлен, называются его членами. Обычно члены многочлена рассматриваются вместе с теми знаками, которые стоят перед ними; например, говорят: член - а, член + b2 и т. п. Перед первым членом, если перед ним не поставлено никакого знака, можно подразумевать энак + ; так, в нашем примере первый член есть аb или + аb.

Выражение, состоящее только из одного члена, называется одночленом, из двух членов - двучленом, из трех - трехчленом и т. п. Одночлен представляет собой или отдельное число, выраженное буквой или цифрами (например - а, + 10), или произведение (например аb), или частное (например а-b/2 ) или степень (например b2); но одночлен не должен представлять собою ни сумму, ни разность, так как в противном случае это был бы двучлен, трехчлен, вообще многочлен.

Если одночлен представляет собою частное, то он называется дробным одночленом; все другие одночлены называются целыми. Так, в нашем примере одночлен а - b/2 есть дробный, а все остальные члены многочлена целые. Так как в начале алгебры мы будем говорить только о целых одночленах, то для краткости мы будем их называть просто "одночленами".

Если все члены многочлена целые, то он также называется целым.


Коэффициент

Положим, дано произведение:

a 3ab (- 2),

в котором некоторые сомножители выражены цифрами, другие - буквами. Такие произведения можно преобразовать (пользуясь сочетательным и переместительным свойствами умножения), соединив в одну группу все сомножители, выраженные цифрами, в другую группу - все сомножители, выраженные буквой а, и т. д.:

3 (- 2) (аа)b,

что можно написать короче: - 6a2b;. Подобно этому:

- l0 axx ( - 2) = + 20ах2, и т. п.

Выраженный цифрами сомножитель, поставленный впереди буквенных сомножителей, называется коэффициентом одночлена. Так, в одночлене - 6a2b число - 6 есть коэффициент.

Заметим, что если коэффициент есть целое положительное число, то он означает, сколько раз повторяется слагаемым то буквенное выражение, к которому он относится; так, 3ab = 3(ab) =(ab)•3=ab + ab + ab. Если коэффициент есть дробь, то он выражает, какая дробь берется от численной величины буквенного выражения. Так:
2/3 ах = ах 2/3, а умножить ах на 2/3 - значит взять 2/3 от числа ах.


Свойства многочлена

Всякий многочлен можно рассматривать как алгебраическую сумму его членов. например, многочлен

2а - b + с

есть сумма: 2а + (- b) + (+ с ) так как выражение + (- b) равносильно выражению - b и выражение + (+ с ) означает то же, что и + с. Вследствие этого все свойства суммы относительных чисел принадлежат также и многочлену. Напомним главнейшие из этих свойств:

  1. Переместительное свойство: численная величина многочлена не изменяется при перемещении его членов (с их знаками).

    Положим, например, мы находим численную величину многочлена

    2а2 - аb + b2 - 1/2 а

    при а = - 4 и b = - 3. Для этого предварительно вычислим каждый член отдельно:

    2а2 = 2(- 4)2 = 2(- 4)(- 4) = 32; - аb = - (- 4) (- 3)= -12;

    b2 =(- 3)2 = (- 3)(- 3)= +9; - 1/2 а = - 1/2 (- 4)= +2.

    Теперь сложим все полученные числа или в той последовательности, в какой написаны члены многочлена:

    32 - 12 + 9 + 2 = 31,

    или в каком-нибудь ином порядке,- всегда получим одно и то же число 31.

  2. Сочетательное свойство: численная величина многочлена не изменится, если какие-либо его члены мы заменим их алгебраической суммой.

    Так, если во взятом сейчас многочлене мы заменим члены - аb, + b2 и - 1/2 а их алгебраической суммою, т. е. возьмем этот многочлен в таком виде:

    2а2 + (- аb + b2 - 1/2 а )

    то при а = - 4 и b = - 3 получим:

    32 + (- 12 + 9 + 2) = 32 + (- 1) = 31,

    т. е. получим то же самое число 31, которое получили прежде.

  3. Заметим еще следующее важное свойство многочлена:

    Если перед каждым членом многочлена переменим знак на противоположный, то численная величина многочлена изменит также знак на противоположный, а абсолютная величина ее не изменится.

    например, численная величина многочлена 2а2 - аb + b2 - 1/2 а
    при а = - 4 и b = - 3 равна, как мы видели, 31, а численная величина многочлена - 2а2 + аb - b2 + 1/2 а при тех же значениях букв равна -31.


Сложение одночленов

Пусть требуется сложить несколько одночленов:

3а, - 5b, + 0,2а, - 7b и с. Их сумма выразится так:

3а + ( - 5b) + (+ 0,2а) + ( - 7b) + с

Но выражения: + ( - 5b), + (+ 0,2а) и + ( - 7b) равносильны выражениям: - 5b, + 0,2а и - 7b поэтому сумму данных одночленов можно переписать проще так:

$$ \underline{3a}-\underline{\underline{5b}}+\underline{0,2a}-\underline{\underline{7b}}+c $$

что после приведения подобных членов даст: 3,2а - 12b + с. Значит, чтобы сложить несколько одночленов, достаточно написать их один за другим с их знаками и сделать приведение подобных членов.


Сложение многочленов

Пусть требуется к какому-нибудь числу или алгебраическому выражению m прибавить многочлен а - b + с. Искомую сумму можно выразить так:

m + (а - b + с).

Чтобы преобразовать это выражение, примем во внимание, что многочлен
а - b + с представляет собой сумму а + (- b ) + с, а, чтобы прибавить сумму, можно прибавить каждое слагаемое одно за другим; поэтому:

m + (а - b + с) = m + а + (- b ) + с

Но прибавить - b все равно, что вычесть b; поэтому:

m + (а - b + с) = m + а - b + с

Правило. Чтобы к какому-нибудь алгебраическому выражению прибавить многочлен, надо приписать к этому выражению все члены многочлена один за другим с их знаками (причем перед первым членом многочлена, если перед ним не стоит никакого знака, надо подразумевать знак +) и сделать приведение подобных членов, если они окажутся.

Пример.

3а2 - 5ab + b2 + (4ab - b2 + 7a2).

Первое слагаемое, которое мы обозначали сейчас одной буквой m, дано в этом примере в виде многочлена 3а2 - 5ab + b2 . Применяя указанное правило, найдем:

3а2 - 5ab + b2 + (4ab - b2 + 7a2) = 3а2 - 5ab + b2 + 4ab - b2 + 7a2 = 10а2 - ab

Если данные для сложения многочлены содержат подобные члены (как в нашем примере), то слагаемые полезно писать одно под другим так, чтобы подобные члены стояли под подобными:

$$ \begin{matrix}3a^2-5ab+b^2 \\ +\underline{7a^2+4ab-b^2} \\ 10a^2-ab \end{matrix} $$

Вычитание одночленов

Пусть требуется из одночлена 10ax вычесть одночлен -3ax. Искомая разность выразится так:

10ax - (- 3ax).

Согласно правилу вычитания, вычитание - 3ax можно заменить прибавлением числа, противоположного числу - 3ax. Такое число есть + 3ax, поэтому:

10ax - (- 3ax) = 10ax + (+ 3ax) = 10ax + 3ax = 13ax.

Значит, чтобы вычесть одночлен, достаточно приписать его к уменьшаемому с противоположным знаком (и сделать приведение подобных членов, если они окажутся).


Вычитание многочленов

Пусть требуется из какого-нибудь числа или алгебраического выражения m вычесть многочлен а - b + с, что можно обозначить так:

m - (а - b + с).

Для этого, согласно правилу вычитания, достаточно прибавить к m число, противоположное числу а - b + с. Такое число есть - а + b - с; значит:

m - (а - b + с) = m + (- а + b - с)

Применяя теперь правило сложения многочленов, получим:

m - (а - b + с) = m - а + b - с.

Значит, чтобы из какого-нибудь алгебраического выражения вычесть многочлен, достаточно к этому выражению приписать все члены вычитаемого многочлена с противоположными знаками (и сделать приведение).

Если требуется вычесть из одного многочлена другой многочлен и в этиx многочленах имеются подобные члены, то вычитаемый многочлен полезно писать под уменьшаемым, переменяя знаки у вычитаемого многочлена на противоположные, и так, чтобы подобные члены стояли под подобными. например, вычитание
(7а2 - 2аb + b2) - (5а2 + 4аb - 2b2) лучше всего расположить так:

$$ \begin{matrix}7a^2-2ab+b^2 \\ \color{red} {-}\underline{5a^2\color{red} {-}4ab\color{red} {+}2b^2} \\ 2a^2-6ab+3b^2 \end{matrix} $$

(в вычитаемом многочлене верхние знаки поставлены те, какие были заданы, а внизу они переменены на противоположные).


Раскрываем скобки, перед которыми стоит знак + или -

Пусть в выражении

2а + (а -3b + с) - (2а - b + 2с)

требуется раскрыть скобки. Это надо понимать так, что требуется над многочленами, стоящими внутри скобок, произвести те действия, которые указаны знаками, стоящими перед скобками. В нашем примере перед первыми скобками стоит знак +, перед вторыми знак-. Произведя сложение и вычитание по данным нами правилам, получим выражение без скобок:

2а + а -3b + с - 2а + b - 2с = а - 2 b - с

Таким образом, мы должны помнить, что, раскрывая скобки, перед которыми стоит знак +, мы не должны изменять знаки внутри скобок, а раскрывая скобки, перед которыми стоит знак -, мы должны перед всеми членами, стоящими внутри скобок, переменить знаки на противоположные.

Пусть еще требуется раскрыть скобки в выражении:

10р - [3p + (5p - 10) - 4].

Для этого всего удобнее раскрыть сначала внутренние скобки, а потом внешние:

10р - [3p + 5p - 10 - 4] = 10р - 3p - 5p + 10 + 4] = 2p + 14.


Заключение в скобки части многочлена

Для преобразования многочлена иногда бывает полезно заключить в скобки совокупность некоторых его членов, причем перед скобками иногда желательно поставить + т. е. изобразить многочлен в виде суммы, а иногда знак -, т.е. изобразить многочлен в виде разности. Пусть, например, в многочлене а + b - с мы желаем заключить в скобки два последних члена, поставив перед скобками знак +. Тогда пишем так:

а + b - с = а +( b - с),

т. е. внутри скобок оставляем те же знаки, какие были в данном многочлене. Что такое преобразование верно, убедимся, если раскроем скобки по правилу сложения; тогда получим снова данный многочлен.

Пусть в том же многочлене требуется заключить в скобки два последние числа, поставив перед скобками знак минус.

Тогда напишем так:

а + b - с = а - ( - b + с) = а - ( с - b ),

т. е. внутри скобок перед всеми членами переменяем знаки на противоположные. Что такое преобразование верно, убедимся, если раскроем скобки по правилу вычитания; тогда получим снова данный многочлен.

Замечание. Можно и весь многочлен заключить в скобки, поставив перед ними знак + или -. например, можно написать:

а - b + с = + (а - b + с) и а - b + с = - (- а + b - с).



« назад