Многочлен и одночлен

Алгебраическое выражение, составленное из нескольких других выражений, соединенных между собою знаками + или -, называется многочленом. Например:

Отдельные выражения, от соединения которых знаками + или - получился многочлен, называются его членами. Обычно члены многочлена рассматриваются вместе с теми знаками, которые стоят перед ними; например, говорят: член - а, член + b² и т. п. Перед первым членом, если перед ним не поставлено никакого знака, можно подразумевать энак + ; так, в нашем примере первый член есть аb или + аb.

Выражение, состоящее только из одного члена, называется одночленом, из двух членов - двучленом, из трех - трехчленом и т. п. Одночлен представляет собой или отдельное число, выраженное буквой или цифрами (например - а, + 10), или произведение (например аb), или частное (например ^а-b/₂ ) или степень (например b²); но одночлен не должен представлять собою ни сумму, ни разность, так как в противном случае это был бы двучлен, трехчлен, вообще многочлен.

Если одночлен представляет собою частное, то он называется дробным одночленом; все другие одночлены называются целыми. Так, в нашем примере одночлен ^{а - b}/₂ есть дробный, а все остальные члены многочлена целые. Так как в начале алгебры мы будем говорить только о целых одночленах, то для краткости мы будем их называть просто "одночленами".

Если все члены многочлена целые, то он также называется целым.

Коэффициент

Положим, дано произведение:

a 3ab (- 2),

в котором некоторые сомножители выражены цифрами, другие - буквами. Такие произведения можно преобразовать (пользуясь сочетательным и переместительным свойствами умножения), соединив в одну группу все сомножители, выраженные цифрами, в другую группу - все сомножители, выраженные буквой а, и т. д.:

3 (- 2) (аа)b,

что можно написать короче: - 6a²b;. Подобно этому:

- l0 axx ( - 2) = + 20ах², и т. п.

Выраженный цифрами сомножитель, поставленный впереди буквенных сомножителей, называется коэффициентом одночлена. Так, в одночлене - 6a²b число - 6 есть коэффициент.

Заметим, что если коэффициент есть целое положительное число, то он означает, сколько раз повторяется слагаемым то буквенное выражение, к которому он относится; так, 3ab = 3(ab) =(ab)•3=ab + ab + ab. Если коэффициент есть дробь, то он выражает, какая дробь берется от численной величины буквенного выражения. Так:
²/₃ ах = ах •²/₃, а умножить ах на ²/₃ - значит взять ²/₃ от числа ах.

Свойства многочлена

Всякий многочлен можно рассматривать как алгебраическую сумму его членов. например, многочлен

2а - b + с

есть сумма: 2а + (- b) + (+ с ) так как выражение + (- b) равносильно выражению - b и выражение + (+ с ) означает то же, что и + с. Вследствие этого все свойства суммы относительных чисел принадлежат также и многочлену. Напомним главнейшие из этих свойств:

1. Переместительное свойство: численная величина многочлена не изменяется при перемещении его членов (с их знаками).

   Положим, например, мы находим численную величину многочлена

   2а² - аb + b² - ¹/₂ а

   при а = - 4 и b = - 3. Для этого предварительно вычислим каждый член отдельно:

   2а² = 2(- 4)² = 2(- 4)(- 4) = 32; - аb = - (- 4) (- 3)= -12;

   b² =(- 3)² = (- 3)(- 3)= +9; - ¹/₂ а = - ¹/₂ (- 4)= +2.

   Теперь сложим все полученные числа или в той последовательности, в какой написаны члены многочлена:

   32 - 12 + 9 + 2 = 31,

   или в каком-нибудь ином порядке,- всегда получим одно и то же число 31.

2. Сочетательное свойство: численная величина многочлена не изменится, если какие-либо его члены мы заменим их алгебраической суммой.

   Так, если во взятом сейчас многочлене мы заменим члены - аb, + b² и - ¹/₂ а их алгебраической суммою, т. е. возьмем этот многочлен в таком виде:

   2а² + (- аb + b² - ¹/₂ а )

   то при а = - 4 и b = - 3 получим:

   32 + (- 12 + 9 + 2) = 32 + (- 1) = 31,

   т. е. получим то же самое число 31, которое получили прежде.

3. Заметим еще следующее важное свойство многочлена:

   Если перед каждым членом многочлена переменим знак на противоположный, то численная величина многочлена изменит также знак на противоположный, а абсолютная величина ее не изменится.

   например, численная величина многочлена 2а² - аb + b² - ¹/₂ а
   при а = - 4 и b = - 3 равна, как мы видели, 31, а численная величина многочлена - 2а² + аb - b² + ¹/₂ а при тех же значениях букв равна -31.

Сложение одночленов

Пусть требуется сложить несколько одночленов:

3а, - 5b, + 0,2а, - 7b и с. Их сумма выразится так:

3а + ( - 5b) + (+ 0,2а) + ( - 7b) + с

Но выражения: + ( - 5b), + (+ 0,2а) и + ( - 7b) равносильны выражениям: - 5b, + 0,2а и - 7b поэтому сумму данных одночленов можно переписать проще так:

что после приведения подобных членов даст: 3,2а - 12b + с. Значит, чтобы сложить несколько одночленов, достаточно написать их один за другим с их знаками и сделать приведение подобных членов.

Сложение многочленов

Пусть требуется к какому-нибудь числу или алгебраическому выражению m прибавить многочлен а - b + с. Искомую сумму можно выразить так:

m + (а - b + с).

Чтобы преобразовать это выражение, примем во внимание, что многочлен
а - b + с представляет собой сумму а + (- b ) + с, а, чтобы прибавить сумму, можно прибавить каждое слагаемое одно за другим; поэтому:

m + (а - b + с) = m + а + (- b ) + с

Но прибавить - b все равно, что вычесть b; поэтому:

m + (а - b + с) = m + а - b + с

Правило. Чтобы к какому-нибудь алгебраическому выражению прибавить многочлен, надо приписать к этому выражению все члены многочлена один за другим с их знаками (причем перед первым членом многочлена, если перед ним не стоит никакого знака, надо подразумевать знак +) и сделать приведение подобных членов, если они окажутся.

Пример.

3а² - 5ab + b² + (4ab - b² + 7a²).

Первое слагаемое, которое мы обозначали сейчас одной буквой m, дано в этом примере в виде многочлена 3а² - 5ab + b² . Применяя указанное правило, найдем:

3а² - 5ab + b² + (4ab - b² + 7a²) = 3а² - 5ab + b² + 4ab - b² + 7a² = 10а² - ab

Если данные для сложения многочлены содержат подобные члены (как в нашем примере), то слагаемые полезно писать одно под другим так, чтобы подобные члены стояли под подобными:

Вычитание одночленов

Пусть требуется из одночлена 10ax вычесть одночлен -3ax. Искомая разность выразится так:

10ax - (- 3ax).

Согласно правилу вычитания, вычитание - 3ax можно заменить прибавлением числа, противоположного числу - 3ax. Такое число есть + 3ax, поэтому:

10ax - (- 3ax) = 10ax + (+ 3ax) = 10ax + 3ax = 13ax.

Значит, чтобы вычесть одночлен, достаточно приписать его к уменьшаемому с противоположным знаком (и сделать приведение подобных членов, если они окажутся).

Вычитание многочленов

Пусть требуется из какого-нибудь числа или алгебраического выражения m вычесть многочлен а - b + с, что можно обозначить так:

m - (а - b + с).

Для этого, согласно правилу вычитания, достаточно прибавить к m число, противоположное числу а - b + с. Такое число есть - а + b - с; значит:

m - (а - b + с) = m + (- а + b - с)

Применяя теперь правило сложения многочленов, получим:

m - (а - b + с) = m - а + b - с.

Значит, чтобы из какого-нибудь алгебраического выражения вычесть многочлен, достаточно к этому выражению приписать все члены вычитаемого многочлена с противоположными знаками (и сделать приведение).

Если требуется вычесть из одного многочлена другой многочлен и в этиx многочленах имеются подобные члены, то вычитаемый многочлен полезно писать под уменьшаемым, переменяя знаки у вычитаемого многочлена на противоположные, и так, чтобы подобные члены стояли под подобными. например, вычитание
(7а² - 2аb + b²) - (5а² + 4аb - 2b²) лучше всего расположить так:

(в вычитаемом многочлене верхние знаки поставлены те, какие были заданы, а внизу они переменены на противоположные).

Раскрываем скобки, перед которыми стоит знак + или -

Пусть в выражении

2а + (а -3b + с) - (2а - b + 2с)

требуется раскрыть скобки. Это надо понимать так, что требуется над многочленами, стоящими внутри скобок, произвести те действия, которые указаны знаками, стоящими перед скобками. В нашем примере перед первыми скобками стоит знак +, перед вторыми знак-. Произведя сложение и вычитание по данным нами правилам, получим выражение без скобок:

2а + а -3b + с - 2а + b - 2с = а - 2 b - с

Таким образом, мы должны помнить, что, раскрывая скобки, перед которыми стоит знак +, мы не должны изменять знаки внутри скобок, а раскрывая скобки, перед которыми стоит знак -, мы должны перед всеми членами, стоящими внутри скобок, переменить знаки на противоположные.

Пусть еще требуется раскрыть скобки в выражении:

10р - [3p + (5p - 10) - 4].

Для этого всего удобнее раскрыть сначала внутренние скобки, а потом внешние:

10р - [3p + 5p - 10 - 4] = 10р - 3p - 5p + 10 + 4] = 2p + 14.

Заключение в скобки части многочлена

Для преобразования многочлена иногда бывает полезно заключить в скобки совокупность некоторых его членов, причем перед скобками иногда желательно поставить + т. е. изобразить многочлен в виде суммы, а иногда знак -, т.е. изобразить многочлен в виде разности. Пусть, например, в многочлене а + b - с мы желаем заключить в скобки два последних члена, поставив перед скобками знак +. Тогда пишем так:

а + b - с = а +( b - с),

т. е. внутри скобок оставляем те же знаки, какие были в данном многочлене. Что такое преобразование верно, убедимся, если раскроем скобки по правилу сложения; тогда получим снова данный многочлен.

Пусть в том же многочлене требуется заключить в скобки два последние числа, поставив перед скобками знак минус.

Тогда напишем так:

а + b - с = а - ( - b + с) = а - ( с - b ),

т. е. внутри скобок перед всеми членами переменяем знаки на противоположные. Что такое преобразование верно, убедимся, если раскроем скобки по правилу вычитания; тогда получим снова данный многочлен.

Замечание. Можно и весь многочлен заключить в скобки, поставив перед ними знак + или -. например, можно написать:

а - b + с = + (а - b + с) и а - b + с = - (- а + b - с).