Умножение многочленов

Умножение степеней одного и того же числа

Пусть надо умножить а³ на а², что можно обозначить так: а³а², или подробнее: (ааа) (аа). Здесь произведение ааа умножается на другое произведение аа. Но чтобы умножить какое-нибудь число на произведение, можно умножить это число на первый сомножитель, полученный результат умножить на второй сомножитель, и т. д.; поэтому:

а³а² = (ааа)(аа) = (ааа) аа,

что может быть написано и без скобок, так как порядок действий остается и без скобок такой же, какой указан скобками:

а³а² = ааааа = а⁵.

Значит, при умножении степеней одного и того же числа показатели их складываются.

Таким образом: х³х = х⁴, m²m³ = m⁵, y² y y³ = y⁶, и т. д.

Умножение одночленов

3ах²(- 5аbх) .

Так как одночлен - 5аbх есть произведение, то достаточно умножить множимое на первый сомножитель -5, результат умножить на второй сомножитель а, и т. д. Значит:

3ах²(- 5аbх) = 3ах²(- 5)аbх.

В этом произведении, пользуясь сочетательным свойством умножения, сгруппируем сомножители в такие группы:

(+3)(- 5) (аа) b (х²х).

Произведя умножение в каждой группе, получим:

- 15 a²b х³.

Значит, чтобы умножить одночлен на одночлен, надо перемножить их коэффициенты, сложить показатели одинаковых букв, а те буквы, которые входят только во множимое или только во множитель, перенести в произведение с их показателями.

Примеры.

1) 0,7a³х (3a⁴х²у²) = 2,1a⁷х³у²

2) ( ¹/₂ m х³ )² = ¹/₂ m х³ ( ¹/₂ m х³ ) = ¹/₄ m² х⁶

3) -3,5 х²у ( ³/₄ х³) = - ²¹/₈ х⁵у

Умножение многочлена на одночлен

Пусть дано умножить многочлен а + b - с на одночлен m, что можно выразить так:

(а + b - с) m.

Многочлен а + b - с есть сумма относительных чисел а + b + (- с). Но, чтобы умножить сумму, можно умножить каждое слагаемое отдельно и результаты сложить (распределительное свойство); значит:

(а + b - с) m = [ а + b + (- с) ] m = аm + bm + (- с)m .

Но (- с)m = - cm и + (-cm) = - cm; поэтому

(а + b - с) m = аm + bm - сm.

Правило. Чтобы умножить многочлен на одночлен, надо умножить на этот одночлен каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Так как произведение не изменяется от перестановки мест сомножителей, то это правило применимо также и к умножению одночлена на многочлен; таким образом:

m(а + b - с) = mа + mbm- mс.

Примеры.

1) (3x² - 2ах + 5а²) (-4ах).

Здесь умножение членов многочлена на данный одночлен надо производить по правилу умножения одночленов, принимая во внимание также и правило знаков: одинаковые знаки при умножении дают +, а разные знаки дают -. Умножаем отдельно каждый член многочлена на одночлен:

(3x²)(-4ах) = - 12аx³; (- 2ах) (-4ах) == + 8а²x²; (+ 5а²) (-4ах) = - 20а³x .

Теперь сложим полученные результаты:

- 12аx³ + 8а²x² - 20а³x.

2) (а² - ab + b²) (3а) = а² (3а) - (ab) (3а) + b² (3а) = 3а³ - 3а²b + 3ab²

3) ( 7x³ + ³/₄ ах - 0,3) (2,l а²x) = (7x³) (2,l а²x) + ( ³/₄ ах ) (2,l а²x) - 0,3 (2,l а²x) =
= 14,7а²x⁴ + 1,575а³x² - 0,63 а²x.

4) 2а (3а - 4 ах + ¹/₂ x²) = 6а² - 8а²x + аx²

Умножение многочлена на многочлен

Пусть требуется произвести умножение:

(а + b - с) (m - n).

Рассматривая множитель m - n как одно число (как одночлен), применим правило умножения многочлена на одночлен:

а (m - n) + b (m - n) - с (m - n).

Рассматривая теперь выражение m - n как многочлен (двучлен), применим правило умножения одночлена на многочлен:

(am - an) + (bm - bn) - (cm - cn).

Наконец, раскрыв скобки по правилам сложения и вычитания, окончательно найдем:

(а + b - с) (m - n) = am - an + bm - bn - cm + cn

Правило. Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить.

Конечно, при умножении членов первого многочлена на члены второго многочлена нужно руководствоваться правилами знаков: одинаковые знаки дают + разные знаки -.

Пример, (а² - 5аb + b² - 3) (а³ - 3аb² + b³ )

Умножим сначала все члены множимого на 1-й член множителя:

(а² - 5аb + b² - 3) а³ = а⁵ - 5а⁴b + а³b² - 3а³

Затем умножим все члены множимого на 2-й член множителя:

(а² - 5аb + b² - 3) (- 3аb²) = - 3а³b² + 15а²b³ - 3аb⁴ + 9аb²

Далее, умножим на третий член множителя:

(а² - 5аb + b² - 3) (b³ ) = а²b³ - 5аb⁴ + b⁵ - 3b³

Наконец, сложим все полученные произведения и сделаем приведение подобных членов; окончательный результат будет:

а⁵ - 5а⁴b - 2а³b² - 3а³ + 16а²b³ - 8аb⁴ + 9аb² + b⁵ - 3b³

Замечания. 1) Чтобы при умножении многочлена на многочлен не пропустить ни одного из произведений членов, полезно всегда держаться какого-нибудь одного порядка умножения; например, как это мы сейчас делали, умножить сначала все члены множимого на 1-й член множителя, затем умножить все члены на 2-й член множителя, и т. д.

2) В применении к арифметическим числам правило умножения многочленов может быть наглядно истолковано геометрически. Возьмем, например, 4 отрезка прямой а, b, m и n и построим два прямоугольника: один с основанием а + b и высотою m + n, другой с основанием а + b ,и высотою m - n.

Площадь первого равна (а + b) (m + n), а площадь второго будет (а + b) (m - n). Из чертежей непосредственно видно, что первая площадь равна am + bm + an + bn, а вторая равна am + bm - an - bn.

Примеры.

1) (а - b) (m - n - р) = am - bm - an + bn - аp + bр.

2) (x² - у²) (x + у) = x³ - xу² + x² у - у³

3) (3аn + 2n² - 4a²) (n² - 5an) = 3аn³ + 2n⁴ - 4a²n² - 15a²n² - 10an³ + 20a³n =
= -7аn³ + 2n⁴ - 19a²n² + 20a³n

4) (2a² - 3)² = (2a² - 3) (2a² - 3) = (2a²)² - 3 (2a²) - (2a²) 3 + 9 =
= 4a⁴ - 6a² - 6a² + 9 = 4a⁴ - 12 a² + 9

Умножить

3х - 5 + 7x² - x³ на 2 - 8x² + х.

Расположив оба многочлена по убывающим степеням буквы х, пишут множитель под множимым и под ними проводят черту:

Умножают все члены множимого на 1-й член множителя (на - 8x²) и полученное произведение пишут под чертою. Умножают затем все члены множимого на 2-й член множителя (на + х) и полученное второе произведение пишут под первым так, чтобы подобные члены стояли под подобными. Также поступают и далее. Под последним произведением (на + 2) проводят черту, под которою пишут полное произведение, складывая все остальные произведения.

Можно также оба многочлена расположить по возрастающим степеням главной буквы и затем производить умножение в том порядке, как было сейчас указано.

Высший и низший члены произведения

Из рассмотрения этих примеров следует:

Высший член произведения равен произведению высшего члена множимого на высший член множителя.

Низший член произведения равен произведению низшего члена множимого на низший член множителя.

Остальные члены произведения могут получиться от соединения нескольких подобных членов в один. Может даже случиться, что в произведении, после приведения подобных членов, все члены уничтожатся, кроме первого и последнего (высшего и низшего), как это видно на следующем примере:

Число членов произведения

Пусть во множимом будет пять членов, а во множителе три члена. Умножив каждый член множимого на 1-й член множителя, мы получим 5 членов произведения; умножив затем каждый член множимого на 2-й член множителя, мы получим еще 6 членов произведения и т.д.; значит, всех членов в произведении окажется 5 • 3, т. е. 15. Вообще, число членов произведения, до соединения в нем подобных членов, равно произведению числа членов множимого на число членов множителя.

Так как высший и низший члены произведения не могут иметь себе подобных членов, а все прочие члены могут уничтожиться, то наименьшее число членов произведения после приведения в нем подобных членов равно 2.

Некоторые формулы умножения двучленов

Полезно запомнить следующие формулы умножения двучленов:

а) (а + b)² = (а + b) (а + b) = a² + аb + аb + b² = a² + 2аb + b².

например: 17² = (10 + 7)² = 10² + 2 • 10 • 7 + 7² = 100 + 140 + 49 = 289.

Таким образом, квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

б) (а - b)² = (а - b) (а - b) = a² - аb - аb + b² = a² - 2аb + b².

например: 19² = (20 -1)² = 20² - 2 • 20 • 1 + 1² = 400 - 40 + 1 = 361

Таким образом, квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Замечание. Полезно заметить, что возвышение в степень по отношению к сложению и вычитанию не обладает распределительным свойством; так, (2+3)² не равно
2² + 3², или (8 - 6)² не равно 8² - 6².

в) (а + b) (а - b) = a² + аb - аb - b² = a² - b²

например: 25 • 15 = (20 + 5) (20 - 5) = 20²- 5² = 400 - 25 = 375.

Таким образом, произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.

г) (а + b)³ = (а + b)² (а + b) = (a² + 2аb + b²)(а + b) =
= a³ + 2а²b + ab² + а²b + 2ab² + b³ = a³ + 3а²b + 3ab² + b³

например: 12³ = (10 + 2)³= 10³ + 3 • 10² • 2 + 3 • 10 • 2² + 2³ = 1000 + 600 + 120 + 8=1728.

Таким образом, куб суммы, двух чисел равен кубу первого числа, плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго, плюс куб второго числа.

д) (а - b)³ = (а - b)² (а - b) = (a² - 2аb + b²)(а - b) =
= a³ - 2а²b + ab² - а²b + 2ab² - b³ = a³ - 3а²b + 3ab² - b³

например:19³ = (20 - 1)³ = 20³ - 3 • 20² • 1 + 3 • 20 • 1² - 1³ = 8000 -1200 + 60 - 1= 6869.

Таким образом, куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго, минус куб второго числа.