Умножение многочленов

Умножение степеней одного и того же числа

Пусть надо умножить а3 на а2, что можно обозначить так: а3а2, или подробнее: (ааа) (аа). Здесь произведение ааа умножается на другое произведение аа. Но чтобы умножить какое-нибудь число на произведение, можно умножить это число на первый сомножитель, полученный результат умножить на второй сомножитель, и т. д.; поэтому:

а3а2 = (ааа)(аа) = (ааа) аа,

что может быть написано и без скобок, так как порядок действий остается и без скобок такой же, какой указан скобками:

а3а2 = ааааа = а5.

Значит, при умножении степеней одного и того же числа показатели их складываются.

Таким образом: х3х = х4, m2m3 = m5, y2 y y3 = y6, и т. д.

Умножение одночленов

Мы уже говорили раньше, как можно преобразовать произведение одночленов (3а) (2а) в одночлен 6а2. Повторим теперь сказанное тогда на другом примере. Пусть дано умножить:

3ах2(- 5аbх) .

Так как одночлен - 5аbх есть произведение, то достаточно умножить множимое на первый сомножитель -5, результат умножить на второй сомножитель а, и т. д. Значит:

3ах2(- 5аbх) = 3ах2(- 5)аbх.

В этом произведении, пользуясь сочетательным свойством умножения, сгруппируем сомножители в такие группы:

(+3)(- 5) (аа) b (х2х).

Произведя умножение в каждой группе, получим:

- 15 a2b х3.

Значит, чтобы умножить одночлен на одночлен, надо перемножить их коэффициенты, сложить показатели одинаковых букв, а те буквы, которые входят только во множимое или только во множитель, перенести в произведение с их показателями.

Примеры.

1) 0,7a3х (3a4х2у2) = 2,1a7х3у2

2) ( 1/2 m х3 )2 = 1/2 m х3 ( 1/2 m х3 ) = 1/4 m2 х6

3) -3,5 х2у ( 3/4 х3) = - 21/8 х5у

Умножение многочлена на одночлен

Пусть дано умножить многочлен а + b - с на одночлен m, что можно выразить так:

(а + b - с) m.

Многочлен а + b - с есть сумма относительных чисел а + b + (- с). Но, чтобы умножить сумму, можно умножить каждое слагаемое отдельно и результаты сложить (распределительное свойство); значит:

(а + b - с) m = [ а + b + (- с) ] m = аm + bm + (- с)m .

Но (- с)m = - cm и + (-cm) = - cm; поэтому

(а + b - с) m = аm + bm - сm.

Правило. Чтобы умножить многочлен на одночлен, надо умножить на этот одночлен каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Так как произведение не изменяется от перестановки мест сомножителей, то это правило применимо также и к умножению одночлена на многочлен; таким образом:

m(а + b - с) = mа + mbm- .

Примеры.

1) (3x2 - 2ах + 5а2) (-4ах).

Здесь умножение членов многочлена на данный одночлен надо производить по правилу умножения одночленов, принимая во внимание также и правило знаков: одинаковые знаки при умножении дают +, а разные знаки дают -. Умножаем отдельно каждый член многочлена на одночлен:

(3x2)(-4ах) = - 12аx3; (- 2ах) (-4ах) == + 8а2x2; (+ 5а2) (-4ах) = - 20а3x .

Теперь сложим полученные результаты:

- 12аx3 + 8а2x2 - 20а3x.

2) (а2 - ab + b2) (3а) = а2 (3а) - (ab) (3а) + b2 (3а) = 3а3 - 3а2b + 3ab2

3) ( 7x3 + 3/4 ах - 0,3) (2,l а2x) = (7x3) (2,l а2x) + ( 3/4 ах ) (2,l а2x) - 0,3 (2,l а2x) =
= 14,7а2x4 + 1,575а3x2 - 0,63 а2x.

4) 2а (3а - 4 ах + 1/2 x2) = 6а2 - 8а2x + аx2

Умножение многочлена на многочлен

Пусть требуется произвести умножение:

(а + b - с) (m - n).

Рассматривая множитель m - n как одно число (как одночлен), применим правило умножения многочлена на одночлен:

а (m - n) + b (m - n) - с (m - n).

Рассматривая теперь выражение m - n как многочлен (двучлен), применим правило умножения одночлена на многочлен:

(am - an) + (bm - bn) - (cm - cn).

Наконец, раскрыв скобки по правилам сложения и вычитания, окончательно найдем:

(а + b - с) (m - n) = am - an + bm - bn - cm + cn

Правило. Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить.

Конечно, при умножении членов первого многочлена на члены второго многочлена нужно руководствоваться правилами знаков: одинаковые знаки дают + разные знаки -.

Пример, (а2 - 5аb + b2 - 3) (а3 - 3аb2 + b3 )

Умножим сначала все члены множимого на 1-й член множителя:

(а2 - 5аb + b2 - 3) а3 = а5 - 5а4b + а3b2 - 3а3

Затем умножим все члены множимого на 2-й член множителя:

(а2 - 5аb + b2 - 3) (- 3аb2) = - 3а3b2 + 15а2b3 - 3аb4 + 9аb2

Далее, умножим на третий член множителя:

(а2 - 5аb + b2 - 3) (b3 ) = а2b3 - 5аb4 + b5 - 3b3

Наконец, сложим все полученные произведения и сделаем приведение подобных членов; окончательный результат будет:

а5 - 5а4b - 2а3b2 - 3а3 + 16а2b3 - 8аb4 + 9аb2 + b5 - 3b3

Замечания. 1) Чтобы при умножении многочлена на многочлен не пропустить ни одного из произведений членов, полезно всегда держаться какого-нибудь одного порядка умножения; например, как это мы сейчас делали, умножить сначала все члены множимого на 1-й член множителя, затем умножить все члены на 2-й член множителя, и т. д.

2) В применении к арифметическим числам правило умножения многочленов может быть наглядно истолковано геометрически. Возьмем, например, 4 отрезка прямой а, b, m и n и построим два прямоугольника: один с основанием а + b и высотою m + n, другой с основанием а + b ,и высотою m - n.

правило умножения многочленов может быть наглядно истолковано геометрически

Площадь первого равна (а + b) (m + n), а площадь второго будет (а + b) (m - n). Из чертежей непосредственно видно, что первая площадь равна am + bm + an + bn, а вторая равна am + bm - an - bn.

Примеры.

1) (а - b) (m - n - р) = am - bm - an + bn - аp + bр.

2) (x2 - у2) (x + у) = x3 - xу2 + x2 у - у3

3) (3аn + 2n2 - 4a2) (n2 - 5an) = 3аn3 + 2n4 - 4a2n2 - 15a2n2 - 10an3 + 20a3n =
= -7аn3 + 2n4 - 19a2n2 + 20a3n

4) (2a2 - 3)2 = (2a2 - 3) (2a2 - 3) = (2a2)2 - 3 (2a2) - (2a2) 3 + 9 =
= 4a4 - 6a2 - 6a2 + 9 = 4a4 - 12 a2 + 9

Умножение многочленов всего удобнее производить так, как будет показано на следующем примере.

Умножить

3х - 5 + 7x2 - x3 на 2 - 8x2 + х.

Расположив оба многочлена по убывающим степеням буквы х, пишут множитель под множимым и под ними проводят черту:

пишут множитель под множимым и под ними проводят черту

Умножают все члены множимого на 1-й член множителя (на - 8x2) и полученное произведение пишут под чертою. Умножают затем все члены множимого на 2-й член множителя (на + х) и полученное второе произведение пишут под первым так, чтобы подобные члены стояли под подобными. Также поступают и далее. Под последним произведением (на + 2) проводят черту, под которою пишут полное произведение, складывая все остальные произведения.

Можно также оба многочлена расположить по возрастающим степеням главной буквы и затем производить умножение в том порядке, как было сейчас указано.

Высший и низший члены произведения

Из рассмотрения этих примеров следует:

Высший член произведения равен произведению высшего члена множимого на высший член множителя.

Низший член произведения равен произведению низшего члена множимого на низший член множителя.

Остальные члены произведения могут получиться от соединения нескольких подобных членов в один. Может даже случиться, что в произведении, после приведения подобных членов, все члены уничтожатся, кроме первого и последнего (высшего и низшего), как это видно на следующем примере:

все члены уничтожатся, кроме первого и последнего (высшего и низшего)

Число членов произведения

Пусть во множимом будет пять членов, а во множителе три члена. Умножив каждый член множимого на 1-й член множителя, мы получим 5 членов произведения; умножив затем каждый член множимого на 2-й член множителя, мы получим еще 6 членов произведения и т.д.; значит, всех членов в произведении окажется 5 • 3, т. е. 15. Вообще, число членов произведения, до соединения в нем подобных членов, равно произведению числа членов множимого на число членов множителя.

Так как высший и низший члены произведения не могут иметь себе подобных членов, а все прочие члены могут уничтожиться, то наименьшее число членов произведения после приведения в нем подобных членов равно 2.

Некоторые формулы умножения двучленов

Полезно запомнить следующие формулы умножения двучленов:

а) (а + b)2 = (а + b) (а + b) = a2 + аb + аb + b2 = a2 + 2аb + b2.

например: 172 = (10 + 7)2 = 102 + 2 • 10 • 7 + 72 = 100 + 140 + 49 = 289.

Таким образом, квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

б) (а - b)2 = (а - b) (а - b) = a2 - аb - аb + b2 = a2 - 2аb + b2.

например: 192 = (20 -1)2 = 202 - 2 • 20 • 1 + 12 = 400 - 40 + 1 = 361

Таким образом, квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Замечание. Полезно заметить, что возвышение в степень по отношению к сложению и вычитанию не обладает распределительным свойством; так, (2+3)2 не равно
22 + 32, или (8 - 6)2 не равно 82 - 62.

в) (а + b) (а - b) = a2 + аb - аb - b2 = a2 - b2

например: 25 • 15 = (20 + 5) (20 - 5) = 202- 52 = 400 - 25 = 375.

Таким образом, произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.

г) (а + b)3 = (а + b)2 (а + b) = (a2 + 2аb + b2)(а + b) =
= a3 + 2а2b + ab
2 + а2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3а2b + 3ab2 + b3

например: 123 = (10 + 2)3= 103 + 3 • 102 • 2 + 3 • 10 • 22 + 23 = 1000 + 600 + 120 + 8=1728.

Таким образом, куб суммы, двух чисел равен кубу первого числа, плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго, плюс куб второго числа.

д) (а - b)3 = (а - b)2 (а - b) = (a2 - 2аb + b2)(а - b) =
= a3 - 2а2b + ab
2 - а2b + 2ab2 - b3 = a3 - 3а2b + 3ab2 - b3

например:193 = (20 - 1)3 = 203 - 3 • 202 • 1 + 3 • 20 • 12 - 13 = 8000 -1200 + 60 - 1= 6869.

Таким образом, куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго, минус куб второго числа.



« назад