Деление многочленов

Деление степеней одного и того же числа

Пусть требуется разделить:

а ⁵: а ².

Так как делимое должно равняться делителю, умноженному на частное, а при умножении показатели одинаковых букв складываются, то в искомом частном показатель буквы а должен быть такое число, которое, сложенное с 2, составляет 5; такое число равно разности 5 - 2. Значит:

а ⁵: а ²= а ^5-2= а ³

Подобно этому найдем: x³: х² = х ; у⁴: у = у³ и т. п.

Значит, при делении степеней одного и того же числа показатель делителя вычитается из показателя делимого.Если только число, степени которого делятся, не равно нулю. Так, нельзя написать: 0^m: 0ⁿ = 0^m-n, так как это равенство означало бы: 0:0 = 0, тогда как частное 0:0 может равняться любому числу

Нулевой показатель

Если при делении степеней одного и того же числа показатель делителя окажется равным показателю делимого, то частное должно равняться 1; например: а³: а³ = 1, потому что а³= а³ • 1. Условимся производить вычитание показателей и в этом случае; тогда в частном мы получим букву с нулевым показателем:
а³: а³ = а^3-3= а⁰. Конечно, этот показатель не имеет того значения, которое мы придавали показателям ранее, так как нельзя повторить число сомножителем 0 раз. Мы условимся под видом а⁰ разуметь частное от деления одинаковых степеней буквы а, и так как это частное равно 1, то мы будем принимать а⁰ за 1.

Деление одночленов

Пусть дано разделить:

(12а³b²х) : (4а²b²).

Впрочем, ради краткости писания скобки в подобных обозначениях принято опускать. Согласно определению деления, частное, будучи умножено на делитель, должно составить делимое. Поэтому у искомого частного коэффициент должен быть 12 : 4, т. е. 3; показатель у буквы а получится вычитанием из показателя этой буквы в делимом показателя той же буквы в делителе, буква b совсем не войдет в частное, или-что все равно-войдет в него с показателем 0, а буква х перейдет в частное со своим показателем.

Таким образом: 12а³b²х : 4а²b² = 3ах. Поверка: 3ах • 4а²b²= 12а³b²х

Правило. Чтобы разделить одночлен на одночлен, надо коэффициент делимого разделить на коэффициент делителя, из показателей букв делимого вычесть показатели тех же букв делителя и перенести в частное, без изменения показателей, те буквы делимого, которых нет в делителе.

Примеры.

1) 3m³n⁴x : 4m²nx = ³/₄ m n³

2) - ax⁴y³: - ⁵/₆ axy² = + ⁶/₅x³у.

3) 0,8axⁿ : - 0,02ax = - 40x^n-1.

Признаки невозможности деления одночленов

Если частное от деления целых одночленов не может быть выражено точно целым одночленом, то говорят,что такое деление невозможно. Деление одночленов невозможно в двух случаях:

1. Когда в делителе есть буквы, которых нет в делимом.

   например, нельзя разделить 4аb² на 2ах, так как всякий одночлен, умноженный на 2ах дает произведение, содержащее букву х, а в нашем делимом такой буквы совсем нет.

2. Когда показатель какой-либо буквы в делителе больше показателя той же буквы в делимом.

   например, деление 10а³b² : 5аb³ невозможно, так как всякий одночлен, умноженный на 5аb³, дает в произведении такой одночлен, который содержит букву b с показателем 3 или с показателем, большим 3, тогда как в нашем делимом эта буква стоит с показателем 2.

Когда один одночлен не делится на другой одночлен, то частное может быть только указано посредством знаков деления; так частное от деления 4а²b : 2ас может быть указано

или так: 4а²b : 2ас, или так: \( \frac{4a^2b}{2ac} \)

Деление многочлена на одночлен

Пусть требуется разделить многочлен а + b - с на одночлен m, что можно выразить так:

(а + b - с) : m, или \( \frac{a+b-c}{m} \),

Многочлен а + b - с есть алгебраическая сумма, а чтобы разделить алгебраическую сумму на какое-нибудь число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно; поэтому:

В этом можно убедиться и поверкою: умножив многочлен ^a/_m + ^b/_m - ^c/_m на делитель m, мы получим делимое а + b - с

Правило. Чтобы разделить многочлен на одночлен, надо разделить на этот одночлен каждый член многочлена и полученные частные сложить.

Конечно, деление членов многочлена на одночлен производят по правилу деления одночленов.

Деление одночлена на многочлен

Пусть требуется одночлен а разделить на многочлен b+ с-d. Частное от такого деления не может быть выражено ни целым одночленом, ни целым многочленом, так как если допустим, что частное равно какому-нибудь целому одночлену или целому многочлену, то произведение этого частного на многочлен b + с - d дало бы тоже многочлен, а не одночлен, как требуется делением. Частное от деления а на b + с - d может быть только обозначено знаками деления:

а : (b + с - d), или \(\frac{a}{b+c-d}\)

Деление многочлена на многочлен

Частное от деления многочлена на многочлен только в редких случаях можно выразить в виде целого многочлена. например:

(a² + 2аb + b²) : (а + b) = а + b

так как (а + b) (а + b) = (а + b)² = a² + 2аb + b².

Вообще же подобные частные можно только обозначить знаком деления. например, частное от деления а - b + с на d - е выразится так:

\( \frac{a-b+c}{d-e} \), или (а - b + с ): (d - е).

Выразить частное в виде целого многочлена иногда удастся тогда, когда оба многочлена расположены по степеням одной и той же буквы. Покажем, как это сделать, на следующем примере:

(5x² - 19x³ + 17x + 6x⁴ - 4) : (1 - 5х + Зх²).

Напишем оба многочлена по убывающим степеням буквы х и расположим деление так, как оно располагается при делении целых чисел:

Предположим, что искомое частное равно какому-нибудь многочлену и что члены этого многочлена расположены тоже по убывающим степеням буквы х.

Делимое должно равняться произведению делителя на частное. Из умножения расположенных многочленов известно, что высший член произведения равен произведению высшего, члена множимого на высший член множителя. В делимом высший член есть первый, в делителе и частном высшие члены тоже первые. Значит, 1-й член делимого (6x⁴) должен быть произведением 1-го члена делителя (Зx²) на 1-й член частного. Отсюда следует: чтобы найти 1 й член частного, достаточно разделить 1-й член делимого на 1-й член делителя. Разделив, находим 1-й член частного 2x². Пишем его под чертою в частном.

Умножим все члены делителя на 1-й член частного и полученное произведение вычтем из делимого. Для этого напишем его под делимым так, чтобы подобные члены стояли под подобными, и у всех членов вычитаемого переменим знаки на обратные. Получим после вычитания 1-й остаток. Если бы этот остаток оказался равным нулю, то это значило бы, что в частном никаких других членов, кроме найденного 1-го, нет, т. е. что частное есть одночлен. Если же, как в нашем примере, 1-й остаток не есть нуль, то будем рассуждать так.

Делимое есть произведение всех членов делителя на каждый член частного. Мы вычли из делимого произведение всех членов делителя на 1-й член частного; следовательно, в 1-м остатке заключается произведение всех членов делителя на 2-й, на 8-й и следующие члены частного. Высший член в остатке есть 1-й; высший член делителя тоже 1-й; высший член в частном (не считая 1-го) есть 2-й член. Значит, 1-й член остатка (-9x³) должен равняться произведению 1-го члена делителя на 2-й член частного. Отсюда заключаем: чтобы найти 2-й член частного, достаточно разделить 1-й член 1-го остатка на 1-й член делителя. Разделив, находим 2-й член частного - Зх. Пишем его в частном.

Умножим на 2-й член частного все члены делителя и полученное произведение вычтем из 1-го остатка. Получим 2-й остаток. Если этот остаток равен нулю, то деление окончено; если же, как в нашем примере, 2-й остаток не равен нулю, то будем рассуждать так.

2-й остаток есть произведение всех членов делителя на 3-й, на 4-й и следующие члены частного. Так как из этих членов частного высший есть 3-й, то, подобно предыдущему, 3-й член частного найдем, если 1-й член 2-го остатка разделим на 1-й член делителя. Разделив, находим - 4. Умножив на -4 все члены делителя и вычтя произведение из остатка, получим 3-й остаток. В нашем примере этот остаток оказался нулем; это показывает, что в частном других членов, кроме найденных, не может быть. Если бы 3-й остаток был не 0, то подобно предыдущему, надо было бы делить 1-й член этого остатка на 1-й член делителя; от этого получился бы 4-й член частного, и т. д.

Можно было бы расположить делимое и делитель по возрастающим степеням одной и той же буквы и затем поступать так, как сейчас было сказано; при этом пришлось бы основываться на том, что низший член произведения равен произведению низшего члена множимого на низший член множителя.

Примеры.

Мы здесь не писали произведений 1-го члена делителя на 1-й, на 2-й и т. д. члены частного, потому что эти произведения всегда равны тем членам, под которыми они подписываются, и при вычитании всегда сокращаются. Обыкновенно так и делают. Кроме того, подписывая вычитаемые, мы писали их прямо с обратными знаками.

Подобным образом можем убедиться, что разности x⁵ - а⁵, х⁶ - а⁶... и вообще
x^m - а^m делятся без остатка на разность х - a, т. е. что разность одинаковых степенен двух, чисел делится на разность этих чисел без остатка.

Признаки невозможности деления многочленов

Из описанного процесса видно, что деление многочлена на многочлен нельзя выполнить в следующих случаях:

1. Если показатель главной буквы в высшем члене делимого меньше показателя той же буквы в высшем члене делителя, потому что тогда нельзя получить высшего члена частного.
2. Если показатель главной буквы в низшем члене делимого меньше показателя. той же буквы в низшем члене делителя, потому что тогда нельзя подучить низшего члена частного.
3. Если показатели главной буквы в высшем и низшем членах делимого не меньше, соответственно, показателей этой буквы в высшем и низшем членах делителя, то еще нельзя сказать, чтобы деление было возможно. В этом случае, чтобы судить о возможности или невозможности деления, надо приступить к выполнению самого действия и продолжать его до тех пор, пока окончательно не убедимся в возможности или невозможности получить частное в виде многочлена.

При этом надо различать 2 случая:

I. Когда многочлены расположены по убывающим степеням главной буквы, то продолжают действие до тех пор, пока в остатке не получится 0 (тогда деление возможно и закончено), или пока не дойдут до такого остатка, 1-й член которого содержит главную букву с показателем меньшим, чем показатель 1-го члена делителя (тогда деление невозможно). Например:

Деление невозможно, потому что мы дошли до такого остатка, у которого 1-й член не делится на 1-й член делителя.

II. Когда многочлены расположены по возрастающим степеням, то, сколько бы мы ни продолжали деление, никогда не получим такого остатка, у которого показатель 1-го члена был бы меньше показателя 1-го члена делителя, потому что при таком расположении показатели главной буквы в первых членах остатков идут увеличиваясь. Например:

Продолжая действие дальше, мы получили бы в частном член - 4a³, но если бы возможно было получить целое частное (без остатка), то последний член его должен был бы быть 5a² (от деления высшего члена делимого на высший член делителя); значит, деление невозможно.