Сокращение дробей и приведение их к общему знаменателю

Основное свойство дроби

Так как дробь есть частное от деления числителя на знаменатель, а частное не изменяется от умножения (или деления) делимого и делителя на одно и то же число (кроме нуля), то это же свойство принадлежит и дроби, т. е. величина дроби не изменяется, если её числитель и знаменатель умножить (или разделить) на одно и то же число (кроме нуля). Например, если мы умножим числитель и знаменатель дроби

$$ -\frac{2}{3} : \frac{7}{5} = -\frac{10}{21} $$

к примеру, на -⁴/₉, то будем иметь новую дробь:

$$ [(-\frac{2}{3})\cdot(-\frac{4}{9})] : [\frac{7}{5}\cdot(-\frac{4}{9})] = (+\frac{8}{27}) : (-\frac{28}{45}) =\\= -\frac{8\cdot 45}{27\cdot 28} = -\frac{360}{756} = -\frac{10}{21}$$

мы видим, что величина дроби осталась прежняя.

Пользуясь этим свойством дроби, мы можем выполнять над алгебраическими дробями такие же преобразования, какие в арифметике указываются для дробей арифметических, т. е. мы можем сокращать, если возможно, дроби и приводить их, если нужно, к одному знаменателю. Рассмотрим эти преобразования и укажем еще некоторые, которые в арифметике не применяются.

Приведение членов дроби к целому виду

Если случится, что члены дроби сами содержат в себе дроби, то, умножая их на выбранное надлежащим образом число или на алгебраическое выражение, мы можем освободиться от этих дробей.

Примеры.

$$ 1)\;\; \frac{\frac{3}{4}a}{b}; \;\; \text{умножив оба члена на 4, получим} \;\;\frac{3a}{4b} \\ 2)\;\; \frac{7a}{2\frac{3}{5}b}=\frac{7a}{\frac{13}{5}b}; \;\; \text{умножив оба члена на 5, получим} \;\;\frac{35a}{13b} \\ 3)\;\; \frac{\frac{2}{3}m}{\frac{7}{8}n}; \;\; \text{умножив оба члена на 24, получим} \;\;\frac{16m}{21n} \\ 4)\;\; \frac{ax-1}{1-\frac{1}{x}}; \;\; \text{умножив оба члена на x, получим} \;\;\frac{ax^2-x}{x-1} \\ $$

Перемена знаков у членов дроби

Переменить знак на противоположный перед числителем и знаменателем дроби - это все равно, что умножить их на -1, от чего величина дроби не изменится. Так:

$$ \frac{-8}{-4}=2\;\;\; \text{и}\;\;\; \frac{+8}{+4}=2;\;\;\;\frac{-10}{+2}=-5 \;\;\; \text{и}\;\;\; \frac{+10}{-2}=-5 $$

Заметим, что если переменим знак перед каким-нибудь одним членом дроби и в то же время переменим знак перед самою дробью, то величина дроби тоже не изменится; например:

$$ \frac{-10}{+2}=-5;\;\;\; -\frac{-10}{-2}=-5; \;\;\; -\frac{+10}{+2}=-5 $$

Этими свойствами дроби можно иногда воспользоваться для некоторого ее преобразования; например:

$$ \frac{m^2 -n^2}{n-m}=\frac{m^2 -n^2}{-(m-n)}= -\frac{(m+n)(m-n)}{m-n}= -(m+n) $$

Сокращение дробей

Чтобы сократить алгебраическую дробь, надо, если возможно, предварительно найти такое алгебраическое выражение, на которое оба члена дроби делятся, и затем их разделить на это выражение. Рассмотрим, как это всего удобнее делать в следующих двух случаях.

1. Возьмем дробь, у которой оба члена - целые одночлены; например:
   $$ \frac{12a^2x^3}{20ax^2} $$

   Коэффициенты 12 и 20 делятся на 4, а буквенные выражения делятся на а и на x², Значит, эту дробь можно сократить на 4аx²:

   $$ \frac{12a^2x^3}{20ax^2} \stackrel{4ax^2}{=} \frac{3ax}{5} = \frac{3}{5}ax $$

   (над дробью мы написали те общие множители, на которые дробь сокращаем; вместо деления 3ax на 5 мы разделили на 5 только коэффициент 3).

2. Если у дроби числитель или знаменатель (или тот и другой) - многочлены, то надо предварительно разложить эти многочлены на множители; если в числе их окажутся одинаковые, то на них дробь можно сократить.

Пример.

$$ \frac{x^2-1}{2x+2}=\frac{(x+1)(x-1)}{2(x+1)}=\frac{x-1}{2}=\frac{1}{2}(x-1) $$

(вместо деления на 2 поставлено умножение на ¹/₂ что равносильно делению на 2).

Приведение дробей к общему знаменателю

а) Пусть требуется привести к общему знаменателю дроби со знаменателями, выраженными цифрами, например такие:

$$ \frac{a}{3},\;\;\; \frac{2a^2}{15},\;\;\; \frac{5a^2}{18} $$

Для этого разложим знаменатели на простые множители:

3; 15 = 3 • 5; 18 = 2 • 3 • 3

и найдем их наименьшее кратное; это будет 2 • 3 • 3 • 5 = 90. Теперь найдем для каждого знаменателя дополнительный множитель, на который надо умножить этот знаменатель, чтобы получить вместо него 90. Эти дополнительные множители будут:

90 : 3 = 30; 90 : 15 = 6, 90 : 18 = 5.

Чтобы дроби не изменили своей величины, надо и числители умножить на те же числа, на которые умножаем знаменатели:

$$ \frac{a}{3}\stackrel{30}{=}\frac{30a}{90},\;\;\; \frac{2a^2}{15}\stackrel{6}{=}\frac{12a^2}{90},\;\;\; \frac{5a^2}{18}\stackrel{5}{=}\frac{25a^2}{90} $$

(над дробями написаны дополнительные множители).

б) Возьмем теперь дроби, у которых знаменатели - буквенные одночлены; например:

$$ \frac{a}{2b},\;\;\; \frac{c}{3ab},\;\;\; \frac{d}{5ab^2} $$

За общий знаменатель можно, очевидно, взять 30аb². Дополнительными множителями тогда будут: 15аb, 10b и 6:

$$ \frac{a}{2b}\stackrel{15ab}{=}\frac{15a^2b}{30ab^2},\;\;\; \frac{c}{3ab}\stackrel{10b}{=}\frac{10bc}{30ab^2},\;\;\; \frac{d}{5ab^2}\stackrel{6}{=}\frac{6d}{30ab^2} $$

в) Далее возьмем дроби, у которых знаменатели многочлены; например:

$$ \frac{x}{a-b},\;\;\; \frac{y}{a+b},\;\;\; \frac{z}{a^2-b^2} $$

Разложим каждый знаменатель на множители. Первые два не разлагаются, а третий = (a + b) (a - b). Значит, общим знаменателем будет a² - b², и мы получим:

$$ \frac{x}{a-b}\stackrel{a+b}{=}\frac{ax+bx}{a^2-b^2},\;\;\; \frac{y}{a+b}\stackrel{a-b}{=}\frac{ay-by}{a^2-b^2},\;\;\; \frac{z}{a^2-b^2} $$

г) Может, случиться, что никакая пара знаменателей не имеет общих множителей. Тогда надо поступить так, как это делается в подобном случае в арифметике, а именно: умножить числитель и знаменатель каждой дроби на произведение знаменателен всех остальных дробей. Например: