Сравнение степеней

Теорема 1. Из двух степеней с одинаковыми показателями и положительными основаниями больше та, основание которой больше. Другими словами, если а > b > 0, то при любом натуральном n

аn > bn.

Это свойство было доказано в разделе про неравенства.

Пример. Какое число больше: 2300 или 3200 ?

Для решения этой задачи представим данные числа в виде степеней с одинаковыми показателями, используя тождество

аmn = (аm)n.

Имеем:

2300 = 23•100 = (23)100 =8100 3200 = 32 • 100 = (32)100 = 9100

Так как 9 > 8, то 9100 > 8100 . Следовательно,

3200 > 2300

Теорема 2. Если 0 < а < 1, то из двух степеней аm и аn больше та, показатель которой меньше.

Если а >1, то из двух степеней аm и аn больше та, показатель которой больше.

Доказательство. Пусть m > n. Тогда т = n + k, где k — некоторое натуральное число. Поэтому

аm = аn+k =аnаk.

Если 0 < а < 1, то 0 < аk < 1. Следовательно, аm = аnаk < аn.

Если же а > 1, то аk > 1. Следовательно, аm = аnаk > аn.

Например, ( 1/3 )100 < ( 1/3 )50; 3100 > 350



« назад