Сравнение степеней

Теорема 1. Из двух степеней с одинаковыми показателями и положительными основаниями больше та, основание которой больше. Другими словами, если а > b > 0, то при любом натуральном n

аⁿ > bⁿ.

Это свойство было доказано в разделе про неравенства.

Пример. Какое число больше: 2³⁰⁰ или 3²⁰⁰ ?

Для решения этой задачи представим данные числа в виде степеней с одинаковыми показателями, используя тождество

а^mn = (а^m)ⁿ.

Имеем:

2³⁰⁰ = 2^3•100 = (2³)¹⁰⁰ =8¹⁰⁰ 3²⁰⁰ = 3^{2 • 100} = (3²)¹⁰⁰ = 9¹⁰⁰

Так как 9 > 8, то 9¹⁰⁰ > 8¹⁰⁰ . Следовательно,

3²⁰⁰ > 2³⁰⁰

Теорема 2. Если 0 < а < 1, то из двух степеней а^m и аⁿ больше та, показатель которой меньше.

Если а >1, то из двух степеней а^m и аⁿ больше та, показатель которой больше.

Доказательство. Пусть m > n. Тогда т = n + k, где k — некоторое натуральное число. Поэтому

а^m = а^n+k =аⁿа^k.

Если 0 < а < 1, то 0 < а^k < 1. Следовательно, а^m = аⁿ • а^k < аⁿ.

Если же а > 1, то а^k > 1. Следовательно, а^m = аⁿ • а^k > аⁿ.

Например, ( ¹/₃ )¹⁰⁰ < ( ¹/₃ )⁵⁰; 3¹⁰⁰ > 3⁵⁰